Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 18
Текст из файла (страница 18)
а <-е < с < а+с. (3.7) Положим (('15 — и)ах(%; 1511; (еф То(еда в силу (3.6) и (3.7) Ч и Х(5 =-а а — й < Ь,( 4 а,а ..' С„,; ц+ Сч т. Е. ) аа — а) < Е. 1(то и О)нй'!пег, чтО 1пп а»( .= (3,. а-"е Онредеа!ег(не 3.3. П(хо(!еч(овй!сап»ноет( (а„) ий.')ывйег(я 61)схо)а)чно агало(1» ()ели 1пп а»( = О. а )е В рвов((рну)ом виде чтО можнО записйть так: '.(е > 0 В 1")(: 'а'п Э,")( = (а„) < е.
а а а —.— а, . п-- а «:довательпо. Н.„> — > О. Слу гай а < О аиалопг!еп. И Теорема З.б (о азажатой неременнойь ). Пусть дйпы три («ха(доватсльно(ти (аа)» (Ьа) и (са), удовлетворяющие следу««цим условиям: (3.9) а„: — -. а+ и„., 1де 1ш! м„=. О. к — .*к' Х ! ) ) 1 к !,-'»! а'„=: (а„ж ~») ж у„. 1'еорема 3.6 (о связи пределов с бескоггеиио чалыми). Предал ОО(ти".ш!>а!(>ль!шсти (а,) равш! а, ТОГИВ и ТОЛЬ~О ТОГ 1а, кшда вьш(микст(я (Оотиош! пи( Дока>аи)сги(а>ао.
13 самом деле, пуси 1ии а„.== а. Положим к >к а„=. а,, —. а. ПО Оиределеии«О !)ра>ила .:>11! !О)шили к 13.3), а )!О:пилит. чго1и„! бе(кии(*!ИО м)ьшя, Отку,ш и полу !аезся (3.9). Пусть и перь. паоборат, выпиши ни 13.9). ТО!да сирия р!иг)О (3.3), НО а„, =, а„- а: зиа иг>; е ьО ЯХ! 1>п и Х ",**а,,— а! <е, т.с. 1Ш1 а-,.= а. и к.
-.х. Быяси!и !Пп рь !1( кого)и « .В(пи 1. и 6(( кши чио милых. Теорема 3.7. Сумма (ра:шо(ть) двух 6еск(ии" шо малых есть й'('к(ииеп1О мал>о1. Дакс!Та>!«(1>!1 (п>и>а. Пусть 1пи и„=- О и 1)и! )1)я = О. Положим к-.к к "!к -- а~ -"- ~» Позьхигм '(' а л О. Поделим ата пи ЛО па еи 13 си:!у (3.8) -') Х>. '>'и ьв Х> -) Х>: )> и ка Хя Полагто! Х:.= п!>гх(Х«, Х>). получим.:!то" ,и -.
Х вьпюлпяк)>пи Обп !и равеисгва 13.19), а тогда ~ у„) =-! а„.>! 15„~! < ! а„~ + ', (1,>! С -- +; =-. а. Пиа и!т, 1ип у,, =- О. и Следствие. Сумма (ра паять) >>гоби! О кои( *>ИО«О !Ис.,>а йс(- кии( ию малых есть бескина"и!О малая. л()к(>к>аи!(ь!1 (шбо. „'1ейст1апелыи .
е(ли (и„), (',)„) и (Уа) 6(скши чио мальв. то их (УммУ )а мо>кио ИР(иставить в ВиДе П(К! И 1ииа. Стив)иая В ОКО()Как, яи!!ж"!.Ся О( ( КОИЕ 1ИО иго!Ой ИО Т! О- р( ме 3.7. ПО .«той же теореме бу.пп б( скопе шо ма;юй сумма и(- !и >ииы и скобках и у„, г. е. й„. >ми«ЛО> и"!Иые р итуждспия можа(> ИРОВ(х'п1 и В спу*>а(' >ИООО!и кО)и*'и!О>*О *>и('лв слаГ>и'мь>х. (а Теорема 3.8. Пр(>и !ж!ж иис 6(х кою *ию мал()й иа и! Рапи~>(иапоо есть Ое( к(яи"пю малая. >гокаиа1асльо>а>и«. Пж'*и (ач) 6(скОп!"И1О ма.1ВЯ. а (ак) Ограни и иная.
Тогда выполи>и пи соотпии!ение (3.>>). Положим '.5>, =- а)а„, Пельш и )у с л 11 и ио>клим его иа С. где ! ' !>О(1 Ояи!шя и ! (3.3>). 11 силу (3.!)1) 9Х); " и Ъ .'«! =-, '(х ) < --„. г" Взяв Р а .='= 1ш(х1 Х, Х1 ). Ииг!у'1им, '1ти СЛВРК вате.!ЬИО, (()„) (х (КОИ * ии ма.шя, и Следствие )., Пронин".л(«ипе двух (кскои( шо малых епп (я'скО1и' ию малая, „'.(ок(к!О>а(ьп,(>и!ао, П саа>ом „и.и, и!сп, (а„) и (,."„.; Лвс 6с(- каис !ИО мп;и и паслсдават(ль!мсти, 1)й ()кои(-ши м(ош* (1>к ) Яв,шшпя (хпш!вейся !Якхидо!и>ельиошъю и. сп)юиа гелши>. в силу теоремы 3.9 Ограни'и иа.
Примеш1в '!х'араму 33О к иро)г«вод(- пи)п (а„,3, 1. !юлу шм )Пкбусмо( упи>ржаеиие. аГ Сл(«дствие 2, Пгяшзведшшс лкхяпи кои("шаго числа 6(ш(ОПс ШО МВШ,(Х (ттгв 6ЕСКОИ( и!и МаЛая. .'1иказа1с>!ь( 1ВО и1Я>ВОдиа(я пип.,ки н'п1О тиму. как ПО д(лаь ~сь в ! Леде! вии к т(ОР(ъи! 3.7.
Определение 3.4, 19>следи>и( и льиаст ь (а„) и!Лын(и тся бе(- >(аиг юо оа.и >поп, е("ли '"С .. О л Х: '>'2> .,'. Х =-' )а„) гя С. ,(3.11) )коротка 13.11) заиисывас!(я в виде )ип а„=- -.х;. 3амеч>и!Ия, Г. 11 ятай;>аи!яв (имвол «х:> ва являепя игк!лс>ка> ха >*и!Ом емькскч 1к отому )хаги" мы О ир(кастах з>к с(, жкхя)п' 1 О1кц)я, 1я> 1~Ы(Ю.!ИЯКП(.*Я. 1,6,2Д!.3,0,, 0.7»,,О...
(нп ип --.«1)гн ()„=- О. и .»«»« - 'я бс"скопе нкь оольшая. Тогда ! ! ! 1) ! а 1 ) гвс: )У7( вч Ю «-~ !(),»«) '' — . 1огда нри тех жс и 1 1 1 1 .)Пачн'1«1!гп --- .== О »« -.х. ап Далее !Ь! Положим е — -- — ' .> О. Т(нпдв 2 лой В %; '(77) (Ь,' »~» .=„, фа! .- ап = а+ ив И Ьп =-. 6+(с)п« !03 2. Хотя каждая бесконе шо болывая нс буды ограниченной, существу»от неограниченные последователь!я)сти. которьн сн )есовлетворякп.
Условны (3. ! 1). '1 акой, на!О)имер, явлен)! ся н(я )не(овв гс.сьпос и 3. Если бе( коне шо большая величина, кроме того, сохраняет онрелшсенный внак, хотя бы псспп(ая ( некоторого вом» рв, (с))то яаннгыва(от слс"(у»ощим обрн»ом: !ш! ап ==+ос влн Оп! ип:=- --к.. п-,н П— ,»(оката!)(а»)ьс(ссс(с!. Действительно, возьмем ))с > О. Положим ! С == — и применим (3.11): Уг)ров(снег(ие 3.1.
Докажите, что если (ап»! Оес"жн(ечно малая» причем ап ф О, то ( — ) бесконе гно бог(ынвя. Докаяа м п:!п рь ряд пор(м») действиях с пред(лами. Теорема 3.10. Пуст! !Пп ап == а, и 1пп Ьп «и 6. То(да Рйн (а, Р Ьп) =.= а т. Ь. »~ ге Дс)кс»)асс(ель(»77(ся). РЗ силу теоремы 3.6 где (ап) и ф„) бесксяне~»о малые. Повтому ап+ Ьп =-- (а ~ Ь) + (ап =»( Вп), 1!о свойс)ваы бескопе нк) малых п(кл»дона((»льность (у„), где !»» — ап, п ° ! ! —:Е В, и ляетгя бесконечно малой. Но то!»да в силу той же тео к«мы,),6 1 1нн (ап + Ьп ) =-.
а:Ь 6. »»-"-:« Теорема 3.11. Пус;ть 1ии ап:= а н 1(п! Ьп --=- Ь. Тогда »»--,я и- -г йп! (а„Ьп) =. аЬ. гв Дс)кс!.!»)7(с(я)ьссгн)а. С'повн по тео!)емс 3.6 пысч«ы: а. — --. а+ап н Ьп .== Ь-» (!»». (где апЬп =- (а, -» ап) (6 1- Р»» ) == СГЬ + (С)Рп + Ич6 + а»»!)»») . П силу свойств бесконечно мгмпях выражение, стоящее в скобках, являет(я Ое'скО!и',ч)со мвлОй, и пО '(еОреви" ЗЗ) пОЛ!»чсн)м тр(. буехе«е утш ржд» нне. 1(*(»!я*ма О сйя)дс.с( чакт(кно докаяывв(з(:я слож(кн, поагому нр днврсггслын» сцхн ((.чся донес)а(! одну л( мму.
Лемма !.2, 1!ус)с, нося(.;:(онатель(сос(! (Ьп) удовлагворжт 1. !»ссувнпнм «(чн)нн«(м: 1) йгн 6п::;. 6: '2) Ь ф О, Ьп у! О с! и б М. ! 1 '1'О(гда !Пп — =- —. п-ьг Ьп 6 7«гека((атсь)ьс!77)с(с). Как и ранее. по тео!к'мс' 3.6 Ьп == Ь Н! рп, гдс 1!и! (1„= О. — — — — (з.(з) Ьп 6 -'6+В,, '6 Ь(6»В) в силу определения бе('конечно ма- Испо,и зуЯ свойсггно модулЯ, находим ф ф /6+ ~„! '> !6! ~В„(:> 16! — -',—., х<ки)у: )иегигзе д;ш таких а вьшолпж"!Тя еоотноик"Епк' 1 ! 2 2 6(6 е 3„) ( ',6(16+ е)„(,6(!"! 16!'-' ))3' Хаким обри<я)е!. 1кк'деловит('..'и ИО<"Гь — — — —, езходе!- 6(6+ ~„П)) ' щйя в (3.!3!.
як!я(тся ограни инной. По свойствам 6(х капе 1- по малых вся прпиш ча<"и (3.13) е("и <к<кепс<по малая (у„). Иэ (3.13! находим 1 1 — -.= — и у„, 1ш! у„-- О. 6„6 О'зезшв(1те;ЕьпО. Ею теоре',ме' 3.6 ) твержден<ев и('хзх<ы Верш), ° Зеьмечаеееее. 1!торо( зтловв .и ммы 32 можно и<сколько ослабить. убрав 'гре'<к)Р(ееи)с Й„у- !1, п<к'зй)льку 11 <'пле' тех)1)емы О <'охрйвенив:и<йкй Есм. Теор< му 31!. <тзн 6 А П, !о, пй пиюй ( 1!ей<по!юга померз, вс(' 6„ ! 1")ут нм<'11 !о< яи' '!Нйк, '1) о и 6, й игйчи!.
О))!1"1' От:И*1ны <л н)сьз. Теорема 3.12, Пусзь пос.,к<ловил,зьиогти (а,)) и (6В) );еоВ, НГГВОРЯ КОЕ СЛ< ДУК НЦ ИМ УС. )ОВП ЯМ: Йш а„=- а, )пп 6„=-6; к *-. 2) 6~11. а„а (езда Рпп е е.к 6,„6' а, ! Де)ма)за)11<'.<акчпва.',1)изипи и дробь -- й Вид() Ейх)иеия)д('нвя '6, ги! а „вЂ”. 6„" 6„' Приме нив и орему,'1.! 1 и .и мму 3.2.
По:!у шм а„ 1 1 а 1)ш — — — — 1)ш аи 1)п< — — -- а — --= —. п.,хбй и ге ') .- 6„6 6 ! еп(рь нужно ввести, Еовольно тонкие <пиьгиш .1 )сивий ве рхЕн Й и гочпой иижек й грйвей пекоторого мп<икж 1!ш. 1';ксмотрим Еккозорый охре'зок (а.6. ви,<й (.Г: а < .1 =' 6). П этом множ(стасе(гг!и о к видно.
Наибольший (6) и пйимеш;ший< (а) эл( и< н гы. В то ж( вр<)мя в ииге)рвзел( (а. 6). З <Ч МПОЖЕ<гтас Впда (Х: а Ге Х С 6) !К т ИИ СВ МОГО 6ОЕЬЕПО- го. Ип самого малс!и кого гон мептош х<и я ж по. Ето пз(ло 6 го 1- !НЕ вс<тоогрйни бывает(а,б) сверху, й Еи(ло<1 спизу. Число 6 и бра<'т в этом случае точпой! Ве"рхе<е'Й, а число а точпой Нижне п Ерйзо<ми мзк)же стай (а,б). УЗти же !Пс зй е)уэе) г, <О<хи)аз<-ия-нпо.
1 *шой Ве рхпей и !о !Иой ппж)н й ГрйнЯМН и длЯ Отрезка (а. 6!. 1и рейд("ги теперь к точным опре;п деев(им. Определение 3.5. 6(иожество А нйзьшается а«1)а<и<! <е!О<Во(! «и рлр (шпмр), если О6: ЕУО 6 А - а Ь.: 6 Еа .=" 6). (испо 6 П3)и этОМ н!В1ывси т(я йг1хзта'й (и(виси<и! В1хз!е!1«<*<1, мпож<х) пзй А. Определение 3.6. 76 гной верги( й «раеииа мпе)же!'Мза А называется наимеиьшйя згз его верхних грюзюе, и ( го Еиа Ошй а(!ж!— ней «1х!Не,)а нйибо;зьп!Вя и'3 (!!'» Нижпих 1'рйпиц. Дз(я тО'1нОЙ В(рхн( Й и ГО1НОЙ нижзп Й Ерши.й хи1Ож((тВВ А п( подьэтлот обозиачешш йпрЛ и !ПЕЛ ( оответствеппо.
((Ьг<иется: «супре мум Л~ и й и!к)изх(ухе А». ) Дйв твко( опр<едслепи<. Нам прпд<'гся,(оказать его корректпо(п . П самой!,<елеч ве Еь 1Н у всякого мнОжееияе им(ется ийим()н(,и!ив ')де)еи)зи; кйк пока(зывйе",т прз(хзе1) ипте'рвй 1й (а,. 6). Отк)зю может возпикпу!ь увере)пио(че в том. Жи) <реди Еи рхпих г;вши ц мпожеттвй А такой 'е и)ме!Гг юзи,к тся') ,1ля мого с<е!)армуд!зри м о,еп).
аке:иону нз тж)рии п)сел. Аксиома 3.1 (аксиома отделимости). Пусть зйд шы два <исловых мзн)жех"1 вй Л и В, при низ для лк)бых зле)к)нтов а Е Л и 6 Е' В выползи<'ия услоюн а "- 6. То<у(ее сущ<)стиует !пело <х такое, что '<<а Е-- Л И 1«66 В гя а. =:<:.,6. 13.1-1) По ьмем ичк (п в кв'и ств( Л о 'рани ен кх'св(рху и жество. й В кйчесГВ(', В мпОжествО СГО В1)рхних П)внии. 3Озута В <'илу 13.14) < оответствукиц< е число с 6)лег, с одпой 1"тороны, о,и<ой ж! Верхпих границ мпожества Л !(а ~'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
