Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 14
Текст из файла (страница 14)
называется $>(з,>я((7>7( юглъю нростргик-пю и Г>бов>ни чается (1(Г) или (1>ш $ . Определение 2.8. Совокупность н линейно н(т!!з!>й(>з!Мых векторов о-мери(н.о пространен!а наиывапгся гп> бани:ом. Теорема 2.8. Каждый вектор .г линей!«но н-мерного щн>- сГ$)нлсГВВ МОж!К) щкдстаВить, и !9)итОМ единств('и!и!м ('(ю(О- бом. в >зид(' линейной комбинации векторгиз ба:зиса, До>гола>>!с>>ь>(»а(зо, Пусть (!. (2...
>» Н$>ойз!>ол>*Из!Й базис и-мерного щкктранства $', и 2. Е Г. Так как любыс н + 1 векторов из Г линейно зависимы, то найд)ли»в 'числа из,ит, ....и„,и. не все равные нуля>. такие, гго и! ('! + и2Г2 + ° + и»('«+ их: О. П$>и зчОМ и ф О, Гак как ина'н' н(з Посл(дн«СО рав('н('тиа !«)>1у 1или « бы ~~» и,с, =. О, н>зо нс может быть, так как с,, >,' =.
1, 2, ..., н, > —.1 базис. Значит и! ии и„ Х = — !'! —. --('2 —... — — ГЗ . и и и и, Пол>н ая х, = — —, будем иметщ и х ="' х!('! +:Гю*> + ., +.г,('« = ч) 2: (',. >== ! (2.8) Это нредстаклгтни> сдийствщшо. П самом деле, е(.ли сеть ещ( о. (- « н щ >д:т ..;: =-- ~~ 1д',,"1' (р! — х!)>з! 1' (92 — хи>)('2 +... + (ц« — Х,)('« Отсюда, так как «1,(2, ...,С„линейно незави(имы. Иолу !Исм. что у> — х, ==- 1). т. е. р, =. х> для .»юбых 1 =- 1.
2, ..., и. ° Определенис 2,9. Пусть г!.(2, ...,««б(кзз!с в нространсгв( 12 и .г (-' Г. Тогда инла.гз,х», .,,и„в представлении (2.8) называются коо1>(1анол>а(17! оек>во1>а х о (ю>нгс г>, (2..,, (*„. У1«ИО> 'ГГО (сли у двух Вю«ГО$>О1> коО$)дииаты совначв!ОГ., 11> и В(зктО$)ы (Озз!Нес(аю!1 «ледОватсльно,:задаваГь вскто$)ы мОжнО координатами ио известному бес!и«у: (2 9) Х = ! Хз, .Г>, .....Г„) . У>зрел>снение 2.17. Докажите, что: 1) нри сложении векторов их соответствующие координаты ( клады ваклтя: 1! т х --- ((й + х!)«! + .
+ (Й» +:г»)г> =- (у! + хз; .. Р +х)): 2) И$>й умйож(>ний йа число !)с(> коордийатьз в(>кто$>а умножаются на это ч и( ло: их =-- их!с! + их>('*> + + иг>,Г» =- (иа !...,, Гкг,>); 3) у нулевого и( ктора вес координаты в лк)бом базисе равны НУ2!Ю: О =- (1$, .... О): 4) у !9)отйиозю>!Ожнозо !кито)>а коо$>динаты умножают('я на — 1: -х =- (-х(, ..., —.г«). Замечание.
Соответ(-п>««(2.(2). котор(к «о»учено и(-жлу алей««- тами >7-мсрнОГО !>«кто!»зо>ч> «$»>ст$)ан«чеза я а кыснГамя из Е» у«О- рядо «йиь!мн Гтзюкамя из н чисел, н«выяви!Тя ивоморфилмом. Ивано!к))йзм ио >воля('> «в(("Гй й з)"'««!к> «войс( в 1Й>ой >волы«» О»-и( $»«» о вектор!юго пр(к тран(твв к й>зучсиик> про(траш >нза 1(.".
Теорема 2.9. Если «1, «2.., с„линейно нсзависимьк" векторы нростра!Ктва Г и каждый вектор х е Г линейно выража(т(я через сз.с>, ...,(>„. то в( кторы Г>, е>..... (, обр щук>т базис и Г. Доки!он>с>>оси>оо. Нужно до!Очна>ч» что е(гли а>,Ц2, ...,а«« -. любая сйсгсма в(>к!Оров й з Г й н> 'л и. то векто$)ы аз, аи, линейно зависимы. 1!о ус>!овию а! = из,с, -$ ...
+ из,>с»; а> — — и21е! + + и2»(.>' а -"= и 1«! +... '+ и»( « 79 а)1 а(2/ ... а!л агп а22 ''' аз //л! /!л2 ' ' ' алл а ! ( ! +... + Пь/1 + аь, ! ь» ! --- О. а! а>; /'1 (1 =" Г'! "' ' (/1. а!. „! аь,) Х, -= а!ЕХ! + а!'/Х/ +... + П(лХ„: ,/ х ГГ2 = а;Х, -; а/2Х2 +... + а л.с„; (2.10) 7"л "-.'- /1»1.!'! + П»2.!'2 + . /1/«л ! !, а(! .. Пы Ра(смотрим матрицу А == .....,......, .. В этой матрице а/л1 ' ' ' ат// ГГ! (7й .» и ) ("! ))Ок и й ("1О«юнов.
С,лс/Гона!е>!ьно«ОГ) )н(нГ г(А) С 71 "- < Гй, и:!на пп, ее с!0)окн линейно зависимы. Это означа("г, «гго ЛИП("ЙНО ЗВВИСИМЫ И ВЕК !Х)РЫ а,), а...., Ол,, ОтКУДа СЛ("ДУЕЗ, Чта , (л>...., !л баЗИС. УПРПО/СИЕИМЕ 2..(8. ДОКажнтс, Чта ПРОСтР«ННЗ НО Вл й-МЕР- но. (.)/Каза!!Нс. Докажите. Ето и)кторы (!!((,О, ...,0),(гв(0.1/О« ....О)...., ел(0.0, ..., 1) обРа !Укп'бжпк В езл.) Пример 2. > а. Простран(7сво Рл м!Кого !ленов (тепснп не вь(- нн', и иън ет ра!Кп рн(к;Гь й. + 1, Действительно.
МПО! О'111(нь1 ). х« ха....../;л линейно незави(.имы и любой многочлен р (=. Рл вь!ражапгся через ннх о к!ви;Гным образом. 'хеореьеа 2АГО. )) консчномсрном нросгрюктве каждое множе("пго линейно незав)н имых век горов можно вк почить в неко- '!Орый базис. ./(Ока)а!//Г»71/(!Г/оа. ПусГь е!. г)..... «1. (истем 1 лп)н йпо не :!/(ГИП нмых в(кторов нз (/'. Ес:ш лк>бой нз о(.тальных векторов прострап(тва р ли!и',!и!о выражает(я чсрп! /.!.Сз, ...,СГ, то с!.
базис. Если пай;Естся какой-нибудь в! к гор ! 1..1/ который л)пн;йпо !(>рс( с1,( /, ..., СГ и( ГИ1ражастся, 1О присоединим (го к ',./.2, ...,Гы Получим липей(н) нсзависиму!о с!н"и/му е!. (е>, ...,е!.,(1..„! Из )Г+ ) векторов. Д(чЕСТВН7И л!/По, ((ли !О либо а!/,1:= О, и з(нда а((11 + ... + а!(., =- О, и значит, а, =- О. / =- ), ...,й. н с),г2, ...,с(.с(.; ! Гн!Пейн(/ п(»!Нвисимь): либо а(, 1 э( О, то!да п (1,. „! линейно выража(тся н рс! с),(>....,с( .
Нротивор("Гпе. Далее Гп>вторж м докажп.е>!Ьство. (1)юпе(т когда-нибудь .!ако1!'и!т("я, так к(1к и,')Остра!К!!ВО Р ко1н"!нОмер!ю. т. (ь и Ен)м МО- ж(*Г (Отнес'и!Ова'1е тОлькО кОН(1'п1О(' 'пнм!О лин('Йно н(с!Нви('нмых В()К ГОРОВ. И Пу('! ь в пространстве 7(.л пм( к«птя два базиса: ( 1,(л/« ..., ! „ (6))ем навьи!ать его л(зарый») и (Е,е!/, ...,/,', «новыйм Каж- ДЫЙ:)ЛСМСН1 К НОВОГО» !)а!И('«З МОЖНО РЕИЛОЖИ!'!/ ПО ЭЛЕМ('Н1«1М «ОЕ араго»: > с, = а)!с! + а !с/ т,,. + ал!/л: ;= а 12Е ! + П>2Г2/ +...
+ а/«2(1!, .' (/, = /!Глс! + П2//(2 '"" ° * + алл(' л ° так по коэффициенты разложения можно записап, но (толбцам В М!1ГРНЦ(1 Матрица А назь!!ни т(м .(И)7/!)/Гг!(!й 7>СГ)еатл)а от базиса ( !. С>« ..., Сл К ба!!Иеу (.*!. ('/, .... (, . Определитель матрицы (А) .;Г- О, так как в протиенюм случае столбцы сс были бы линейно .зависимы, а зна !Нт, были бы лнн(йпо з !Висимы и Век!О))11 (",. (",„.с',„!Ого быть н( мо)к(г.
Гак как с, . г,',...., Сл базис. ))Окаж(м, как сВязаны кООрдинап*( в()ктО))а;г В ««с(аром» и «новом» базисе, 1)п;ть / /,/ /, / х х =- > !(! +.Г2(2 +... + хлгл = х!е! + х)се+... +.» с ПОдстаВИВ Вмесх О (/! ('ГО ра ЗлОж('.ни(* е! ««с!ПЕ))ом/> базисе, НОлу'ЕИМ х = .ГГ(а!1( 1 + агн ('*/ +... + а/! !(/«) Ф + /г2(а!2(ч + а22(2 +... + а!,2е,) +... + ,/ +,Гл(а!»С! + аз»с> !....
+ алл('л)-- х,/ ! .-- (а!!.!, -1 а!2!2 (-... +/Ол:сл)//!+ т (а2!х1 1' ° ° + П2/ х )(!2 + . + / ,/ + (ал!Х, +... + аллгл)(л ввиду едипспк нности разложения вектора по базису с(, са, (л. 12.11) 1'аззенствй 12.10) мо)кно зйпнсйть й матрйчйом вйде / л! Х! =«1: или я=лг.
Теорема 2.11. Вели Х ! и Х по»»простргзнст»за йскт( нро( »ранстйа Г., !о (!!и! Х ! + (!)п! Хе = (!!Пз»Х ! «» Хв) + (1)п!» Х ! + Х '>). (рормул! ! 12.10) й 12.1!) Назыйгиот «Х>о«г((у«»(зхзн и(«!>«>хо()й к г(о«5(ьзгу бй,) !!с)л ХХрихзер В.ХЯ. Пусть (>,сз базис на плоскости, (о(тоящий йз (динй »нь»х й(зкзо»хпз, йшй)а! Пешзых по Осяь! »0>ямозд ольйой системы координат. Повернув осн нй уго?! С> против часовой с»р(лки, полу*зйм новый бйзйс е,. (':,. Прз! (езз (-, = ( ! (Ов«у + +евйш«)>! се = -с! Н»п«)> + (е сок«о. Тйк что мат!?йдй п(>р(ходй к новому бгсзису имеет йпд (с(>к «1» — ип «рз) '» >йп«е сок«о ) ' Определение 2.10.
ХХо(Х«з)>«>«п»рансппзоз! Х векторно! о П1к>- ст1»ан(тВй 1«назывйется зшОжестВО иО э?зем(>НГОВ«сам(? яйля»ои((яз(гя Век горных! П1х>с! ргзпст»зоы о ги(х;йте:зызо йй! д>пзных й Ъ' он(зра»»зн! сложш»йя й(кторой и уыйож(йия на число. Ущипа;ж;нение 2. 19. Докажите, !'»и: 1) й т1?(.'хморйом и!?О(зт)?аис'!'»5( >зек»х>ро»з подпро("»рвнс»в!»ыи будут в((' векторы. Парал;и л ьньк какой-либо пло( кости нлп нряМОй: 2) В пространств( Р„многочл(нов степени не выпи> и множество Ра, Х ..
и. буде» подпр(х:транством: 3) Р„подпространство в нрострйнс! >з! в(ех кп»огочлеио»з: «1) мпожсспк> всех многочлсшш зюдпространстгя> в простраш твс непрерывных функпий: б) множество решений сист(мы и линейных однородных уравпшшй с и пеизв(ггными с ыгз»рнн(й козффициспзов «! будет ноднростра»п твом В В"' размерности А; =- п — г!А).
Определение 2.11. Х)еретесче>аий! Х.з =- Х ! «» Х, гзо(»зз!)ос>йрипшав Х! с 'г и Х в «Х !' назьпзвется множ('ство й(евозможпь(х векторов из Г. принадлежащих одновременно Х ! и Х,в. Суммой Х,з -=- Х» + Ая нгсз»*из>!ется множес! >>О всех Векторов вида и + г„где и е Х !. ! Е Х,з>. :кирил(снение 2.2(?. Докажите, гго пересеч(пгие и сумма двух подпрострйнстй явля>от( я иодпро(трапгпзамн. '(>2 ,«!ок«»зон!с«зьсзпз(зо. В Агз =- Х! «> Хз выберем какой-нибудь е», ..., («ь и ДОНО«!Ннз! егО ЛО Оазиса »5 Х! .' ('! ° (>а Хвг »;Х». и до базиса в Х.вг сз, ..,.Сь, дзгз.!...,,«Хц.
Покажем, >п»и>кторы сз, ....Св, Л;е! ° Х!«да!! нейно независимы. Тогда. так как ?и(Бой = е Х,» = — Х ! + Х нейно выражается крез «», ...,«г,- Х!.з! ° Х!«д! ! ! буд(т базис и Е!. Пусть и! с ! + аз се +... + ((а('! +»»аз ! Хь- ! ч .. + ). «), Х, + .«ь. ! (Хь „! -1 ... -0 у, д, =. О. Гогда вектор о =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
