Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Сумма произведений элементов любой стр<жи (столбца) па <огебраическис дополне>и(я с<ни.встствуюгцнх элемси) ов другой строки (столбца) равна ну)по. 1<ОЛО,<анныьс>ай<а. 11усть даи ОП1н!Д(ли >ель ~<а<> ... а<„.... а>Й ... а>„' а» а»л - а>Й а>ы )а>> ... О ... <<>,„! <а>н ... О ... аа„ (а< ... ИЙ ... а„„! 11о т< ореме 2.2 /А> ! = а>ЙА<Й, /А>! =- а>ЙН1ай, ..., !Л»! == а»ЙЛ»Й> где Лц>(1 =- 1, ....и) алгебраически(' дополнения к элементам а,>,. матрицы А.
Следователю<о, !А! = >> Л,тА,ь. и формула ».—.— (2.4) доказйнй. С(ютй<г> ствую>нйя формула (2.о) для рйзлож< ния цо строк< легко получается аналогично нли нримсисиием свойства 1. отличй<О<цийся лии>ь <('.и. ИтО в Й-и столоце с>оят со(пнет( тйук»цис элем(н"сы 1-го столбов (Й у: 1). Опрсд(глн>нль !А)! равен нуля>, так как имеет двй одинаковых столбца. Ра>)1>ожив его по э>и>ментйм Й-гс> столбца, нолучим !А>! =- ацЛ>Й + а »Аа>, + .. + О»„з1»ь =- О, по и требовалось дока:)ать, так как;1>Й (1, = 1,,...н) алгебраи кскнс дополнения элем(нтов а>ь Й-го столбца матриць> Л( равны алгебраическим доно:и<синям элементов 1'->.о столбца матрицы Л.
Унрао<снение 2.,). Вычислите опр(д(лптс:и, ~0 0 ... и„ » .=. ! — !)'"'-' ' Па> О а» ... О а> О ... О тремя сиособами: а) пе1>встав><яя столбцы; б) но опрсдслсникк в) разложением <ю столбцу, В упражнениях 2А и 2.5 матрицы А> и Л> порядка Й и 1 соот- В()Т<ГГВ(>ПНИ. Уирао<снение 2.4. Докажи гс. что Унраа<сиение в.а. Докажит(», тго а„> а„н . а»Й .. а„„ Докажем <>вой(тво для элеме>ггов >-го столбца. Рассмотрим дру- гой оцрсдслигсл>, !а)1 а( а> . а>н !аа< . а<и а), .
аа„ а) а> аи, . а„„ Определение 2.2. Рассмотрим прямоуп>льную матрицу Л рйзмсрй н> х и,. Пу<"гь Й ~. >н и Й ~ в. Выд(<лим й эгей мйтрнце какие-нибудь Й сгрок и Й столб> <ов. В.) эл< м< нтов» стоягцнх на (ге1>ес(с<сини ныл('ленных строк и с'<*олбцов, сост»вим Он!к(д<о>и- тель Й-го порядка. Все такие опрсд<>лнтслн иьхзывгиотся мина!и; ми Й-ео н>>1>лдка ми>лрицы Л. Ра>ь>ал< г(А)»«а>л1>н«м А на:>ывается нйивьк гний порядок о<си< >иых оч нуля миноров этой мат- РИЦЫ, 63 ! 1акнм Оора:|Ом, ('слп ран!' мзтрпцы 1Н(!и*н Г. '1О с1кли мипароа чтОЙ )1ат|нсцы с сп . !И) крайнс!11 мс 1хх Олин х!инар 3'-ГО НОрялка, от:ш'|ный аз нссц(.
и н(х ( с ьпгиоры 13 + 1)-1.() порядка и иьп|н равны ну.по. Для нычислеш(я раиса матрицы се можно спича;и приводить к но:|можно более' простому ни.:~) с |юмо|цьк) зл«(и и.- спарина 1)рсс)ббх!)ас;с!3()п!1 г. е, преобразований вида: ° транспопнраванис: ° !н рс сттиювка двух строк илп сталбцок ° ухп(с)жс ни( а(ех члсм( нтов ст1юки 1н:|н его;!бца) 1(а л!Обас )ис ло с, отл и пюе от пуля; ° 10)ибавленис ко ж ем алехи)н (и(х( строки !или счо)!бца) с'оот- ас)п т|!И1О|цпх элем(')гго)3 друго)1 строки 1)сли ( з олбца), 1 множсн- НЫХ 1!П О;П1О и !'и )КС П1С)Ю, У)трал(с)сес(1(е 2.6.,)окажите, по при элементарных прсск)- раэонан|ц|х мгприцы ес ранг н( и( няется.
1)у|!с)1 обозначап, А П, (тли м(ггри(са В полу "нится |г| А с помапп !о )л( хн|ГПОИ1ых но(абра)оиалнй, 3 2 1 Пример 2.4. !3ычислим ран| хит)рицы А:-- 2 Π— 1 1 О 4 5 1 111!П(тия и (трсэгьсй строки у;п(осин)у(о пс рву|о, сокран!ы| Нгоро(1 столосц па ' и вьг(итая нос)н) это|.а из нераога столбца утросн') пый нторой. и|тре3п(то второй и нз и'пиртсио удвоенный в горой.
Нсю.н'донательно |н)лу нц!м Л-- 2 О .-1 1 2 О --1 1 2 Π— 1 !'1рибааляя к третьей строке утраенну|о вторун), сакра!Цая на 2 н(риый (тО.(0(*ц и Вы|птая и( чст|к;1ГГ(ИО, нрпбан;|яя (н рнып к Г|и'ть(!Х1у. и помс'пян м('О Гам|1 |п"риьи' Лпа 1"1 О)|бца. ПО(|х'|им О 1 0 0 0 1 О О О ! О О Л- 2О -11 - 1О-11 - 1О-1О о о о о о о о о о о о о О 1 О 0 ! О О О 1 0 О 0 О 1 О О ОООО ОООО Обо 3на |им строки матрицы Л п) примера 2А н)р(з ("1 =:= 13.2, 1,2), с) = 12.0,1,1), с;1 .— — 113,4,5,1). О сени;ню.
имеет место раиеисгн() (1 .= 2( 1 -3(). Нонимас)к|ос' н смьцан) позлемс|ги|а| о сложения. !1(к)б)це, если с|,си, ...,(,„, (.траки какой-то х|атри!(ы Л и. на10)имер, С.п, — — и|С|+. иии ' ... С- и„, !С„, где и)., 1, --= 1, п) — 1 каки(ь)3116)у(ь числа, то 61;1см Говори гь.
по пья строка атой матрицы лц)(с.сиса выра;)и!аспюл и ре) пер- ПЬН !П вЂ” '1 СтрОК, ИЛИ Чта С(„, )1()С!!ЯС)31(!Л ЛНГИС!Йпай Касмбаиац)Н Й строк (1, ( ), ..., с;„, 1. В атом случае Е иаеа + + с(„, |С„, 1 — (Э„, =- О. где 0 понимас тся как нулевая с)'1х)ка 1т) е. строка из п нулей), Определение 2.3. !э)и!ем говорить, что строки .1, е!), ..., с„, матрицы Л лсинс|аю аааисамм, если можно подобран такие числа и|., и, ..., и„„|н' равные нулн) с)дноарс менно, что и|С| + инеи + ° ° + исн(сс) Если таких !Иссл и,, ! =- 1, ..., Гп не су|цествует.
т. (. последнее равенство имс)ет мск то только в том случае. когда ас е и, = О, го |анорят. Мо с)роки (.),ся, ....с „, „|инсйпо нсзаипсимы. Упраа(ст(еэ(юе ь.7. 2!Окажичть 1тО ст|х)ки с!|,ст, ...,с„, ли- 1П)йнО '3а!Мн'имы 'гсн (а и тОлькО то|да, кО1да, |н) крайисй хн)рсх одна из строк линейно ныражае.гся через остальпыс.. Аналоги нн)е нс)н)ггие липс йнс)й;(ас)исимостн хюжно ввести и для столбцов матрицы.
Теорема 2.3 1о ранге матрицы). Гслн ранг магрицы ра; В('и 3', 'ГО 13 я'ГОЙ мат|Пик! мОжнО пайтн Г ли1И(йнс) пс'1ааисимых с трок )сголбцов), через которые линейно ныражаклся |не осттмп ньи". Ге строки )сто)(бцы), Дана()а)31( )ьа)с!Оа. Пусть мат|и!Ца А р!К)мсра )н х и ихн|е| Ранг Г. !1е огРаничиная об!Цностн мож|ю считатть что отличный от пуля минор О 1'-го !К)рядка 1так на:|ыиаемый сх|(31(сны(! 3манор) распО)|Ожс."и н В(!рх!и:,м леаОм уГ)|у маГрицы. т. (, !та а|1 .. П|, С!1)с а|1 а|) -.
а|с пя| аия аи аг| - а, ас„; П =- = с О. Зна и! и 3|Л) == 2. !С!11 аси " ' ' С(сс а,„„| . и„„, а„„, а)! а(г . а!» ан ,аг! агг аг, агя Н(".ГО И Т. Д. а«! аг - а,, а! агг . Нв» ам 3 2 2~ =0; 2 [1 1~= О -1 аь! = — а)ай + а;)аг! 1 ... + а»а, !. (2.6) ел =- а)е! д а)с)+... + а»(,. а)! а!) ... а)о аг! агг ... аго а»о! а„„.. а;„„ а)! а(2 « ° ("! аг! агг ... аг)) а~о! агог ° ') соо 66 67 Докажсл(, что йервь)е г строк матрицы А линейно независимы. Предположим, наоборот, что эти с(1к)ки линейно зависймь!. 1огда Одйа йз ййх. для анре)(сг(~.;ин«)«'Ги с:,,ньи«ййо НС,)рая(весси к)рез остаа)*иь(е! Г.
— а)с! сг а2(2 +... ) а.. ((' !. 11ы пем из )-й строки матрицы А первую, улн)оженйук) йа а), втор)")о. умйожейиую йа а), й так 2(гьис«до 1» — 1)-Й. ) л)нож()й- нОЙ на а; !. 1ОГда )'-я стрОка матрицы Л Окажс')ся сО('тО)шеей )с! одних пулей. Отсюда следует, (то определитель 12 равен ну- 2)ю П1к)тивО1х'ч)нь О л()ловят(',ль)п). первые 'Г стрОк ма"Г1)иць! Л лийеййо независимы. Докажел! топор(ь )то и(.( осзпльньк) с(роки мат1н(цы .4 лийсйпо вьц)ажак)тся перс'! нервы«г ("(р«)к. 11усть !' с; 1( - Га и 1 < 1 < н.
Рассмогрим онределитель1г+ 1)-го порядка Он ракен нулю при всех )( л г и всех 1, так как если / ". г, то н(ГО два Одйнвковых ("Голб)ца, еслй ж!' 1:> Г, Го з)о мнпор 1!'+ 1)-ГО йОрядка матрицы ранга». 1 332)ожим (.л ПО з)(емснтал( последн("Го с"Голбца 0 .=- анЛ! + а)(А) +... + «»(А„+ аь(А,, )::= О. Здс(ь А!...., А,.„! -. алгебраические дополнения к элементам йо(ледй())о столоца.
Ойи завйсят От й и (и) )авйсят от 1, к1к)ме того, АГ„.! = В уг О. Значит. Л, где а; = — —.— 1» = 1, ., г) ие гависят от 1. Такил! образом, )(-я .0 (трока матрицы А лиш'ййо вь)ражает( я и)рез (к рпые г строк: Следствие 1, Мвкснлнмн (кк) число лийейио пезависимых столбцов матрицы ргиию максимальному (пслу лин('йно независимых строк. Следствие 2. Д))я того побы опр(;к лй иль бы.! Оавсп нулю, (и обхолнмо и д(к)тато (ио.
чтобы его ( троки 1сто))бц! !) быгги липейно зависимь!. Следствие 3. Для того чтобы опредщсит(оп матрицы А и-го ПОрядка был рввен ну)!к). необходимо и до( »а»очно, (т(»бы ранг г(Л) маг1ищы оыл и( ныщ) порядка мптрйц)Я. т «), и«)бы ) 1А) с; л. УГ)раас»сенз«е 2.8.,'.1окаяо! (( сл(„'кугвйя и:! зторемы о ранге ).! Нт1) и ! «ы . 3(ьиечаиие. 1)1ожво показать. что лля пьг)исл(чйгя ранга матр)щы можно прим(ияп след»клио( правило ~окайлыен)и! (тла )и(с(" вайд(я минор 1-Яо»(ор))дла 1)л ~. О, Гао»ареорк)»л вм'иил()нал ла(аь (Напори 11' ) ! )-Яо»)о))лдка, ол)с)((з(»(я)оп()и минор 1)л 1Я). (.
сод( р,))саари 12( ((аи(к(ь)( (о()7)ари г(бя). Г(ии( «и атии (гяа(с(Отлов ас жаиорм 11 ' 1)оо по!ждав равна нулю. Гао )хи(е гна»працл( раасн 1л !1ож)ним. *по если среди окаймляк)щих миноров (1 +. 1)-го порядка найг«е((я минор Оь(.! Ф О, зо повторяем правило,«ля 3 2 1 2 При.иер 2.5. „:.1ля матрицы А =- 2 Π— 1 1 минор 0 4 5 1 ! О 2 Г'- О. 11се окаймлякицие миноры ~2 )О =:- О. Следовал(льна, Г1Л):.= 2. 2.2. Произвольные системы линейных уравнений 1оас( мо! рим сйст«ьл!) )ц лгпи"Йвь)х уравн(иий! () )! (Я)йзве('о(ыл(и а()2'! + а)гх) з ... +и! х =. 6!,' а2! Г! + агг.г2 + ° + а ь»,Г,! 62! ао,)аг! т аоггс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
