Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 13
Текст из файла (страница 13)
с» ирои)вольные числа. Уарао<сиеиие 2. (2. 11роверьте ненос:редствешюй полста ьн)вкОЙ. Что 1?ьс<ИГК"гь л!Обык /<Вух !эс!Икиьий в(.ОдиГ)1)од!к)Й (.ист() мы линеььнььх уравнений будет реьнением ссютветствующсй од народной с'и("!ха! ы. Уг»рааьсиеиие 2.12. Проверьге неносредсггвс иной нодста; нонкой, что сумма какой)-нибудь частного решения х„)н)однсн ро)»ной сис"м)мы с любым решс нием соответствуьощей Однс)родной с истемьь пшейных уравнений будет решением нсодно1юдной системы.
'1аким образом. общее реи <епьк( неоднородной системы линейных уравнений ег:3гь сумма како!.о-либо частно! О х„и Ооьц()го р(- ььиний с(лэги( гсгвуюш<й Оу»нородноЙ системы: ('1, С2, .... Сь фуидамеьгг<ьль ная сист('.ма !)с)иьений; Г.'3, Г2, ..., Г» нронзвольньк ностоянньк'. 1!ри решении систем линейных уравнений на, практике часто нрнменяьот метод 3<)ус()(1, (или метод последовательного ис:клк)- 'п)ния нс)извесГных)., кОторый заких)*ьается В с!Идующ(!м. 1! системе лшюйных уравнений (2.3)), не ограничивая общности, можно считать, что а! ! ф О.
Если это не так, то нереставим первое у!)в!!вень(е системы с каким-ниб).»ь 20)угим, у катар(л О козффнцнся<т 10)и хь не равен нул!о, 111)еобразу('.м си(тем)2 исключив неизв<х:твое ль и!1 всех уравнений, кроме нерво! о. Для этого нсра21 ьюс уравнение умножим на число -- — н вычтем из второго, затем а!1 азь умпожим на — ' я вьгпем из третьего и т. д. 11риходнм к зквиа)3 ва;и и пюй с.истеме уравнений аььхь+ а)2х +... + аь,х„=- 1)1! .У ), ), а222:2 +... + Г»2сге<! == ()2! Число уравнений в системс; уменьшится, <ьсли в некоторых уран!униях В леВОЙ части всс' кОэффнциекп*310?и иеизВ('стных станут нул()вымя, а в нравой часги нолучит(я нуль н м!я эти у!?Ввн(ния отбросим.
11снпоркв процедуру для уравнений 2, ..., т и исключив из уравнений 3, ..., п! неизвестное х2 и т.д., получим либо какое- нибудь ур(»внение, В кОтОЙОм нравая часть но равна иульО, а л(ь вая равна, тогда система несовместна, либо систему, матрица которой т!юугольная или трапециевидная, В случае треугольной матрицы разрешим последнее уравнение относителын) хн. подставим пайдеипое чиачеппе,г„в 33)я)3333333 щ(е (33 — 1)-( уравн(пи(ч пайл( и ?ГЗ 3(еГО(ы -.3 и т л. 15нп?ма Ок(зже?ся Оп)я л(л(иной. В случае ! 0333?е?33(е))из(3(ой матрицы выргокаем из п(я.л("дпего ура?333('3333)3 х,« 'н)1«33 О("п?льпьнз н('.извест(?ьн) 3',«?3,,3'«, ? ),..., Х« и придавая пм прои:3ВО)п пьн'3йачепия, б)уд("и волу ?агь рьхзли 3- иьн решения с)нтемы.
Си("пмя окаж(тся пеоцр(д(леипой. Пр((мер 2.9. Р(п?им систему урав?и иий .Г? + '2.с) .1 5.Г;3 -- --9; х? †.гз -".' Зхд = 2; З,г? — бх) —,гд — - 25. Преобрн()у)3 р(и 3333(р( п??у?о матрицу системы — 3 -2 ~ 11 — 12 — 16 ~ 52 1 — 1 3 2 1 1 2 5 0 -3 — 2 приходим к чквивал(иппой спет(*ме ура?ин'пий ( Греуго.(ьиой и и 3'ри 3 и" й Х? +2Х: + 5Х( .= — 9: ( 3 — Зх„) --2х;! =- 11; — 8.гд — 8, Р()пнпие кото)юй х:! -== 2, з ) =: — З..гд =.: - 1. х! - 5.г) — 8з(3 гг х( =- 3; Зх? -, 'х — 3(г) — 5з.( —.
1; П!)(зязер 2. 70. Дани (истскы Х! — (.Г( + Х( 11х) + 20хд — Охз .= 2. Преобрачуем раси(ир(чщую матрипу си(-и мы — 5 -8 1 ' 3 1 --5 --8 1 ~ 3 3 1 -3 --5 1 0 !6 21 -8 3-8 1 0 — 7 2 --5 0 5 1 1 3 --8 О 11 20 -9 ~ 2' 0 И 20 1 --5 -8 1 ~ 3 1 0 --89 0 -29 ( 160 О 0 5 1 1 )--8 0 0 --89 0 — 29 ~ 162 0 — 5 —.8 1 3 3 --89 0 --29 ~ 160 5 1 1 (--8 0 0 О 3 2 Таки)( обраюм. система п(«овмс( тна (3?олу чили уравиепне О.— 2). 4х! ', .г) — Зхд —. х.( .-- 0: Прмлзер 2.17.
2Г? + Зх) 1 (Гд --,'к),3 — 0; х ! -- 2хд -- '2:( д + Зх.! .==- О. Это одиородиая сис?ек(33, (исло уравпеиий мепып( числа пеи п«?стйых. сзн довательпо, з) а система ?но(?ределейиая. 11реобрво)'я ма3'(п?33у ('исГемы 2:) 1 — 5 0 7 5 — 11 0 7 53 — 11 3)рпхо,п(м к си(тем( уравпщ(ий 2з: — 2:г( .=. О: 7.г) + 5,г( — 11хз =- О; ,г) -- 2х ) — 2,гд + З.г.? .= О. !з?333! Ьп(трины 3 =- 3. Ищ ?ит )ис;ю (вободпых пе)вп«('тиых )! —. — г =- 4 — 3 — -.
1, Й кв нств() свободного иеиввеспюго вь?оерем 4 :г!. То?д(3? пз первого уравиепия х. =-. х(. из второго:гд .=- -х(, из 3 ?р(тыто.г? =-. — „х!. 1(олагая и =" х 3. Иаходпм общий вид)я*пн?и((я 3) с 3 4 ), /3 4 'р ',) 17" Здесь с? !3, 5. 4, 5) фу?33(аые?(та?! 3?ая система репи пий, сос?оящая ич одио? о репи'пия; ( произвольная (ня тояпиая. 2.3. Конечномернь(е векторные пространства Определение 2.5. Множество )г ялемептов.г. у, х....
Ишыв()ется )33333((3(3(3~(х(. или гн(3(РИ)рпм и. ))рос?Г(7«3)(с)33()оя(, если „чля любь?х двух (по ы?смен?ов х, у Опре,влепи съмма х + у е5 Р, и для каж,к)го ялемеига х и квжд(ио чш.щ и (яйн дел()по пропдведепи(' ис Е' 1', при им для лк)бых ?исел и.р и любых яз?ек(еп- тОВ х, 3/,, и:3 1 Вь?пол?н'цы с)(е,'~ук)33(и(" ак(',иомь? ?и'ктО(н?ОГО п)к)- стра?и "Гва: 1) х -3- у =- у + х: 2) (х+ у) 4 .= -=,г Ь (у+ д); 3) существу(гг пул('пой влеме?3 г 0 (- 1'. такой. что х .1. 0 =::г для любого х е 1'; 4);!ля любого .г Ьэ Е суще(:пэуеч протижэположпый ):и".киит (-чг) С Р, такой, 'Хгп) х + ( — х): —.- 0; 5) 1-.г —.— х; 6) афх) == (ифх; 7) (а + р).г .— — их + бэл 8) а(;5 .-, 'Й) = их .1. и!В ..1)ХГКХРХГ! ЬХ в(!к)ООНОГО пйк)г1рй!и"пэй пй'эыээ)НО!с'я оск«ло)схйх15.
"1исла в опр(д(Пении Хк"КХорного прогцэанствй й!Огух быть )Хейгпэительпыми (в()НС( ггв()ХИН!ми), комплекспыми., рани(ИХальиьэми и Хэд. !'(кэпи Ггпиэппо !икте!)ИХН про(т)эйп(т15й !)у)ху! нйээьэю! Гь("я действ1пхэльными (в(531(егги(Хин!!ми), кОмплекспыми и 1) '!. Злее!1 бу)С(.'В! рй('с*мйтрийй'и д('йс'!'15и'Геэ!ьп(*и' вс'кэ'О1)п!Я(' Н1ю('т!)й нс'тва. Примерь! векторш;Хх прострюктв рйссмотреш,1 и уХцжжн(- нии 2.!4. УГ(7)(ХО(сХчеихэе в'.14. Д()кажите, тп) следукяпне мпожтствв обра:Хукл век п)рпые прогтрюк:тви: 11 в( к 3(5!)1 ! На плос.кости: 2) векторы в просгрангпю; 2) мпожс(тво репи нип си(псмы эппййш1к о!!и)роди!Як у1)авис)НИЙ: 4) множегпю фу1(КХ(ий, иепрерьпэпь!к на отрезке; 5) мп(эжсство Р„много Хэ!епов ( теп( пи !и' выше и; б) м!прнцы размера Хп э( а; 7) ХшОжсс'"пкэ Й,"' )зХО1)51„'!О'Н*Х(ХНХ)с шХбОООН и'5 и '!искл. Простейшие свойства векторного пространства 1 ° )5()п75(5775(5('757(о('7713 1(7!5(Л.
11ГПП в Г (('Ть «(1551 НЙЛЯ 01 И 0). ПО аксиоме 2 (см. опредеХкнис 2.5) О! + 07 =-. 01. ОХ -1- 01 - — - О), но 01 -7- О =- Ой 4 0;. ("ледовйтельно. 01 --- 0). 2. Б)7(7(с773(Хе!17(о(57757«7(4)о!13«(5(эо75(эх(()5)5()5((эео:).Х(ь((е)577!а. Пусть двй злемсн Га х) и 2 яиля1От( я 10)отивОНОлО«кны ми для х Ъи Хй !) + т х 4 = =. й 4 (х + е) =-- )) + О -= !Л О другой стороны, й + х + .1.
й =- (р +,г) + = == О+ е = =. Оледо!Иа слыло, д —.= ". 3. Пусть х гйюизво п.ный -)лемепт из )«'. То!да 0. х --- О. Де!1(ГГХэите)1ы(о. так как 0 =-. 0+0, то О х = О .г+0 х. Прибавим к обеим частям зтого раве!К тва (-О:г): О««0.,3;+( — 0 х)=-0 х-10.х+(-О х)=- =:О х+(О х+(--0 х)) ==О.х+0=.0.:г. С)ХО,!ОН!в!'ельно, 0. х .= О. 4. '4ля любого числа и имеет место равенство и О = О. Д(эйствитсип но, и 0=-и(0+0)==и О(и О. Прибавим (-а О); 0 -= и О+ ( — а О) =- а О -Г и. О+ (--и О) =- = а О+ (и. О+ (--а.О)) ==. и О+ 0 =- и О, т. (ч 0 .= и О. 5. Если иэ .=. О, то либо а — -- О, либо х =- О. Действителыкэ. если а ==- О.
Го их =- О. Если а ф О, то эг! )э 1 1 х =- 1 .г =: ~ "а~ х ==- — (их) = — 0 = — О, 6. ДЛЯ лк)бого х ~х 1' злемеХп. (' — 1).г Явла(тса НРотивопол(эж- ПЫМ. «Ъ!Й(ГГВИТЕ«П ХХО. х + (- !) х = 1 ..г + (-1) г =- (1 + ( - 1) ) г .=- 0 (г =-. О х«5()меХГГ х + ( — й) (!го!3 Хваетс'5! !КХв)хос7пъкэ .х' — р век Гсцэ(иэ .5' и )ь Определение 2.6. Векторы а1,ай, ...,ах вскториого про("! рйп(твй 1 31йг5ывй1О Гся лнэ((гх(75(э,и1вхинхиы«ив, сели су31(естиуХОХ' чис)3а аэ, ив...., аь, нсэ рйвпью пули) Одноврем('пно, таки(ь *ГГО иХО! + аз(эх +... + и(иь .=- О.
ВЕКТОРЫ, НЕ ЯВЛЮОХПИЕСЯ ЛИИ( йНО ХИВИСИМЫМИ, Ий.3ЬШайнгеа ЛП- и ей!и) и( ло (5 нснж мз Хв. Тйким (ю1)азом, й(кторы ОХ.О), ...,ах, лпи(йно и('эйвисим11 *ГОГдй и '1ОлькО тО!Лй. ко!лй и'э равенства (2.7) след(«("'1) 'Хт(э вс( и,, х =-!.2....,)Г равны пулю.
Если же в(экторы ОХ, ав...,, и!. Липейпо зависимы. т. е. имегХ место (2.7), причем ие в(т и,, 5' ==- 1. 2,,)(, рйвиы иулкь Пю!ример, пусть их. ф О. то ("! ий и(-- ! ОХ. =. — -.-а3 — — а: —... -- — — — П! ах ай их. т. (. ОХ„. (кть линсйнйЯ кОмбипа1(ИЯ в()кторов п1,схз, ...,551, 3 (и„1и а),.
линейХкэ вырвжа(тся крез а1. и«... й(,. 1). У))рамс)свине 2.)5, Докажите, что векторы аХ.йэ.....а(. липей!К) зйвисимы ТО! дй и то)1ько чо!)дй. КО!да по крййнсй )Хор( Одип н*э ш1к лин(",ЙЯО выражи((тся 'и'рс!з Ос!тм1ьн! Нч УГ>рао>сненне 2. 16. Докажите, что: 1) люОьи> т$>и яск!О$)а на Плоско(>! и лин( ЙнО завйсиыы; 2) л!обью чстыр(." вектора в пространстве линейно зависимы.
Ощэедоленис 2.7. В( кто$изое иростра!К(тво 12 нальнзастся КОН(-(НО((СРН>>(Х(> ИЗИ>ййо Нз.йсй>(1>СМ, Е«лй В й( М ~~жно Н>11!'! И 7! линейно низави(имых !>екторов, но любая система, «Остоищая более ч(м йи 7> в("кто$)ой. явл>й*!ся лййеййо завй( ймой ')йс зо и в ятом с у ии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
