Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ято есть ур$13знюн3» и-й степени. Покажем. по )( -=- 1 кор( нь Зтого уран|инна. Прибавим к пер|юй с!роке опредс:|нт( ля Втор«)оси|с(ЗМ гре)ьк) и ')ак ДВ?1!Из .|о и-й строки. 1!ри ') ГОм, как и 513(стно ни сВОйстВ Ои ре,,|(5 чит(о!я, Оп)к д(х1Н'Г('ль |н' и)- меннтся. Но но(л( («(ел>«ниь|х И!кобр ыовапнй оп буде! равен (В харак|(рисгн нском «раин(нни ириня)|и ):=-- 1).
'1ак как а Х.(со,; ---: 1 ио свойству матрицы |н;рехода. Первая стр(жа ного х:. ! определителя саста!и и 5 нулевых влемснтов. и нпа|нт, (ийкд!ЫЗИ- тель равен нулк), а 1, = 1 явля( тся корнем характеристического уравнения. Следовпт(льио, найдуття и (х>бс!веюн|е векторы х, удои)н!тверяк>щи» ()ист(.м() 12.15) с собс.| в()н)п 11,1 ана ИЗИН('м Х == 1.
.«1ОЖ13» нока5!ГГь, '1то ср»Д$3 (ОостВ(нн! |х вектОров иВЙ|1»1»Я тач кой,,$?!я которого О .. х, < 1, 1 =- 1,2, ....и, ) х, =:. 1. т.е. такой. который будет ()тациопарным распред!Вк ннем. Пр(ьь|ер 2.19. Найд( м с)В)|и»парное распр(Д1 л(.ние и)ио|и- 3'!Х '5« на, когда, матрица иер(хода Л ==- )«, ) . Убе|)икки, |то 1, ==.
~г, °,3 =- 1 корень характерпсти нк!кого уравнения (йи(Л вЂ” )Е) .== 0: 1,' .! 1. ( ! — 1', )Х (!(51,(А --1Е) =- ' ' ' =- ( $', '' .=- О. Со(тавим систему уравн1*ний;|ЛЯ пахожд('НИЯ »О6»Г)51"ИЗ|ОГО Вектора (см. ( и»тему (2.15) ): 1 1 ---х| + — хя =- 0: 2 О 1 1 2 й —:Г) — -ха ==- О. СНЗевидно,,«ли нахождения реш( ния достнто шо рассмотр(иь н(Зрво(', урав!3('$н(е. 1ак как м)1 ищ(')и счационарное ра(!Нре|!»ление )енотииа, должны еще вьшоли)п.ься условия: 0 '- х, ~- 1, 1 .=- 1. 2, и х| 3.
ха =-: 1. Подставив та =- 1 -- .Г! в Первое уравнеши системы, иолу |им решепн( х —,',' . которое и 6«дет стационар!311«1 ра( про|3(окн!Н(зк! ГЫЗотипв. 1то л»ГкО 1цк)в( ри Гь. $)од(чт)- В3(в най>$(знн(к> 1?енизни1 В урав)ил!ив Ах:= х. Глава 3 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ос<к>ый < лу ии предсчввлякгг ф>.йкции, зпд>ишьп; НЙ мйож<- < тве и пурйльпых ой ел $(. Такие функции >пей >вй!От( я последовав!<>>г»!осп>лги!.,$!Лй вих <>6«! пк> вк««то,! (и) и< йользуст(я обо:и!в и"иие а„, и аргумент трйкту( тся кйк номер со<И.ветстпук)щего чиг:щ, Хик чгп> можно попимйп !«><ледовйтелы«ктькак Некоторое множество псрспумероввюп гх ч и<ел. Отййдвртпо<" обо:зпй и"- ли( для п<кь«довйт(льйо<ти: (а«) пли и р>гп«".рпутом ви.кс 1'и<"сх>отрйм 1«'кото!як' мйожсство (гопаку>гйоскь зл( ь«йгов >йявкзвольиой ирг(розг!1) Х.
1!ус!1 звд<и1.>йк<й!. (о!«Ктйвля>оп<йй каждому злех«иту .г 6 Х э>п и! Иг друго! о мйож<>сгвй 1 . Т<идй <ив>как>, по ИЙ мйожс<тве Х зйдющ ф1$<ик<11<я д =- Лх) со зпй1<тгййми в 1'. '.>(йожс<"Гво Х п<зп,<кю('1(в> об><а«в>! К> оп!)<д<л(нпл дйппой функцшз.
Й множество 1'! з:«мент<из У, которь«; им< кп впд Лл) прп некотором л 6 Х, о<><<асквь>о ес .$>(<$"<с>и>$$. Овм зйкоп может 6ьп ь звдйи любым сг«>сабом, никйких огрвшг«иий ий с!«)ГО6 зйдййия 1«п<зклйа(г,и>ве>ся..ЗТ(<(ь б>д<'м йм1ть дело >ю и и исклк> пптльно со (>лу >жзм, где и Л' и Ъ' я>зляк>тся щ которыми подмиожгч тввми миожсап>Й действи>ельпых чисел, т. (. с д<'йс гвительиой фуикци<"й,(ействгптдьиой иерем( ниой. Один из !>вйбосп"(> поптляриь>х сг(о<>О6огз зйдйййй тикай фз йкцй>1 ц>ормульйый <нвпример.
д = л . д .=-. >йпл. д — -- 1й.г и т. и.) Хотя, ,з строго го<юря. нужно помнить, >то формузгв зто еще ие функция, тйк кйк >ц)и Од>>ой и тОЙ ж(> фОрм>;«и рэзных Обл>ГО1ях о>>рсделеийя 1«)лз'щются рвз>йь«" (1>; йкцйй. Т< м !и> ме>$((* !й)й !И>- !П(>п ии кОнк !к тнь>х зй,'(Й'! д1ч«твуе>т (чвстО мол'$Й !и во<.') ГОГ)! Йпг<'- пы<х 'ГГО.
<«>$>$ пе ОГОВО!И>нО протиВнОе, тО ООлвстьк) О>>ред<л<а>ия ф<пкци!«.Чи>в(чся ((тс( пкппйй Обл>йть (и>!«д<>«<щи, т <. м>юж< ство в(ч х осел, для которь>х имеет смысл двипвя формула. !'!к. Обч ктью о>й«'деления функции д ==- х- б>д(-г вгя шсло«вя ось, Й о6лв< "и к> определения фупкции д<:--,~'.! множество (6. <:). <Рормульиый спосо6 зйдвпия фу>>кции йе едигктвеипый. Х)ожпо, йвпрпмер, рассмотреть фуйкцик>, которая каждому рй- ЦИО!$>МП ИОК(У (И(ЛУ <О>«ХТЙВЛ>И Т ( ДИ>>И1РЛ и КЙЖДОХ!У ИРРЙЦИО- пйльпОму !йслу пуль. '+ГЙ Фупкйия п>хзг.ц>В( п>я функцией (ирихл(. Тйкже будут р>июмотрейы фупкции, которь«. зйд>ио>п>я с помощью интегралов от других функций, бсскоисчйых сумм И Т.
$1. а>,оз,....а„. ..!д(< ! ао пйзьпйпот обпр<м чмйом пос.«довйтельпости. Те>гсрь опр<делим пойятие предела для твкой !«юл(доввтельйости и изучим «жв«твй подобпых пр«делов. О<«ду<т о>м(тип,, по суп!с(-!Им!о( >сох<с)рй*<(скй«по«об«! пред<тйвл< йия фуйкций.
Д.<я фу>пе(ий действительного иерем< иного тйкйм <!<о<обем с>1>ж$п ~1хг<(>пк. )и( ..>йпия пв ила«ко<ти, к<нория в дскйртовой сш>тех«к(х>рдипвт:юд;а< гся урвне. йи<"м д =. !(!). (11о-другому: >рвфйк зто мпожестйо точек йв пло< ко<"ги с кооркгипй газки( (,Г, 1 (:$>).) !лй по« л1 довв Гель> гос) й (а, ! >вкоп <и!Осоо и!я д< тввз«ийя и<.— удобег<, поскольку Грйфиком в >том слу (ве является дискретпое миожество чо и к йй плоскости.
По>иому !лены посл(довйт<оп- йО(тей обычно и зобрй>кйк>т в вйд1 т<)«к йй чй< лавой оси. 3.2. Предел последовательности В мйтемвтич<к кпх <!>Орк<улиро>>«их по(тояппо встречвются слова кдля л>(хк)гог и зсуп<( < твует>ч для сокрйпк"ния записи которых примейякп квппторы: '<< и д (ххп >й тствеипо, (!!собходимо отметить, по ро.,п квййторов зпй"ппельп<ь пр<*восходит простое сокрйщени< зйпи< и.
Они яв;ьпопя вйжпым )>и ме>лом тв- кО>'О 1якзд(>лв мйт1'.мйтнки, квк мвт1'мйтическйя лоГнкй. Однйко зтп вопро< ы лежак зй про;юлймп двш«по курса.) Определение 3.1. '!псла и нвкз>,п«1(тся в1><зд<«>ом >«к Йгдооа- $>и<а«Носики (ао) (<тйозпй «нпе; а =- !Ип ао). если для зпобого положппль!юго <и(лй е сугц('«Гвует >юм(р Х, зию>п. <то д!!я лю6ого 6ольш<>го или равного иом< рй п вьпюл«ж>тся нер>ик>йство )а„-- а) < с. 6 и< поль«>ивйи< м квйпторов з>о можпо зйписйп* т е .'' й 1! $>': '"ч'а -з ):..х ! а,.
- о~ ..: е. (йо2) Если >л<*пы посз>е>>о!>в!«>ьио< Ги и зобрижй>ь в вид< то и к ив числовой оси, чо (оопюп«йи>о (3.2) можно дйгь <л<лующук> геометрическую пнтерпретйцщо. 11!я лкюого положительного е найдется номер (вообще говоря, свой для каждого е), щщиная с которого все члены последоватсльпости ока кутов внутри е-окрест!)ости точки а. Вдесь под е-окрестностмо точки а попимается симмстрц'шый интервал с цептром в точке а и радиуса е (т.е. ра(стояния от цщн ра ин гервйлй до его кон(1ов !)югиы е) (рис. 3.1).
ПО(л( дОват(л1»но( ть. име(Ощая предка!» пазывгит(я схо()лп1е(1- сл пасе)('()оаат(»л( п). Огм(".гим, *г!О ДЛЯ схо(игвости аа !с НРеоч(елУ о, исполь)УНТ(Я иногдй Обознйчени() аа —. а. 1 Прилаер Ь». е. аа --=- —, !1Н( а,„=- О. и а -".~ Прилеер 8.2. Последователщп)сп 1»0,1,0.1»0» ... Нрс(1(л!а не имеет. Пример 3.3. Последователыюсть 1, 2,3, ..., Н» .., также ш И 11()СТ ПРО»(Е) ПЕ. ПР(ьаееР Я..(. Постоиннав последоватсльпосп аа =- с иыеез Н1)е*дел, рйвньп( с, Теорема 3.1, Если последовательность сходится, то опа имеет только один предел. Доказа!Нсл)»сп)ао.
ПредполОжим, чтО, напротив, у п(х:л('дОва; !То!ьносги (оа) име(т(я бол(»е Ощ(ого пред(лй. Возьегем два вз них аиЬ: !1п( аа =- а, 1пп аа =- Ь, а -„"- Ь а — Ое» Выберем число е. тако(» что (а — Ь,' 0 < Е < — —,— ' 2 Тогдй нй (и(.лавой (хи д!)е е-ок!хе"ипк)ги го «к а и Ь п() бу)(уч пересекаться (рис. 3.2). В силу (3.2) Л)")'1. '»»П ~ ~1)Е! =Ф ~а(, — а~ <, Е (3.3) Е Е а-Е а„а Рвс. 3.1 1 по йга О 1пп 0 и 0 < —. и (о сохранении знака).
Пусть по()ледователь- етворяет следу!о!цих( условиям: ) . О (а<О). Тогда В 1")'; Ч п, д У =' (е„> 0 (аа < О), а Дока)ат(о(1»ст«о. Пусть а > О. Во(ьмем е =. --. В силу (3.2) 2 а 1(у: ((((1 5 !»1 =Ф ~ аа — »1~ < 1) Л)У: Чп а» йй .-Ф Ьа - аа 6 са;, 2) 1йп Ьа =. !пц с„=- а. Когда !Ип аа =- и. а —:к Дои«х((пп(егьсгпао. Де!й!стввтсльно, возьмем Че > О. По опредск)нию предела ЗХ): 'а'51 Е ")е! ~ ,(Ь„- а) < Е, т.с, а — Е<Ь«<а+Гц 31)а . ')ги 1)(е "" (е:а — а) < е» т(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
