Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В ('й?йом л(е?(е, '(апп(3(ек( .ц»Обь 15 (п(л((' и!Яй(з- ВЕЛ(1'13 П Я 1'(.Г) ., 1 --'- —, ---,1 (л ) —,-- д(1.) ' д(11 я ири?яеии?й (еор(му( ир(ьт(ов' иромгикдепия с у и'Гок( ?к 51(и (3 4 1(х), 1 1 а !пи '. --- =- !)п? 1(л) йш - — --, -=- а — ---- —, л--.ь. дбг) = -:.' .. -г д(х) 6 6 1(?(к')и 1»я(,'„1('51 (н'юп((р1 м" г(к'ияа:1?Я1ьи? 'г((иь1 ир(ог(ьюв. Ог(ре»пе?(еля((е 3,12. 11и«ювао ?»1»«»к«»ль»???о»)1 «»к)»г«??1»«(»е??1(к» «я ако»ага(а(га и л(о(яя' кик?ж(»('тво вили 1.
(к) == (ли )а!; ?1), гп( ?1:- (3. О пределе(гпе 3.13. '1(иьк и ий(1(ва('г(»1 ?11?(()11 1(»(1 Д( 1«) ирп х. ( трек(13?иек(ся к бе1.к((ве (погти. (г.(я .+'" Ьр"гь«о в'пп"'яв?1'(" а?ко(уя?'пя?я (яб»13(г»(»ки Види м, что дан нО(' Опрс»(с»!Ини с (*с Гь. с!)Вк'Гн 'нк'.к и. дОСЛОИ но() ИО- вторспие опрсдс»к)ния предала нри:г — ' хс с заменой 11(:гс) на (1(сс), Поэтому все теоремы о пределах оказьпгаются спранедлииы- МИ И В ЗГОМ С:!У'Иис Определение 3.14. Число а называет<'я пред(ыа»и справа ~)унк(1ии )(х) нри,г,ст1твмян(()мсякха [Обогнак!Я(их Рап 1(х)), .г »~< г ,1рка<!а!(Он ((гно это) о ь "пи ржд<а!йя <рнвиа»п,н(». 11ровсдйтс его ('ВМОСГОЯТСЛ Ьио.
Поня!<к Од!И)ГГОВОнних н1яделОВ !кр(ВО(змея и иа ель'1ай Говорят. иго 1пп )'(.!) .= а, если .г-- (:х.. > 0Ч()(.с): ))'хе 11(г );, >0 -, (у(,г). „: < в А!Яо)О(и ик), 1пп )(х) -- а, «ли ьг в > О» 1)1(хв): ух (: П(хс) х > зд! -- ~У(х) -- а! = в Определение 3.15. Число а тюь!Вниггся пред(моги слева функдйи ) (х) !0)й х. <.тр!)М)ппемси к хв (обозна и нй<н йп! ) (х)), если »' »и— 'ь с > 0 31!(хс): г»' -: 1'(хс):.г < (гс ея )»'(.Г) — а~ Пределы справа и ел< ва нос)ьз !Гизвание однаспи»ронгисг ирсВес!ОВ.
Теорема 3.20. »г(»!я того 'пабы сугдес<пк)внл Йп! У(х) =- аз г-'»)» необходимо и достаточно, !тобы сугд<хтиовааи оба односто1юнннх н1ю»(е»!а нри х — - .Г(1. Ири и м )ии г(х) =- 1пп .! (.С) .= и. » - "гв» .г - »я- Дока,и(пион»с!на<», Пу()ть сивила выполнено (3.30). Возьмем произвольное я > О. Тогда В 10 !(ха): Чз 0 1) ! (Вс): х > ха ==" ~.1(!) — а! < с; 311з(хв): 'Фх е 11))((г()); х ..-, ха - ,'')(з) — а) < в, Поло»ким П(х<!) = 1!1(за) ( ) 1!)(х))„Т<нда н ! (331) ( з<ду< 1 (!О )<»х (с (»г(хо) =" ! 1(х) -- а~ < с. Но это и означает, что 1нп ) (х) == а.
:<" ЯО Пу<"и те!Врь, наоборот, дано, по 1пн „((х) —.- а. Требуется <'-. Я< доказать, что (гн! „<"(х):.— — 0п! „Г((с) --- а, '.гл ~ с -.. 0 ) 11(зс) ! у з б !)(:-Х) ) х ': 0 =:- ~ 1(,! ) —. а~ 1'азу и("<)тся,:(дс( ь тВкж(' <зц)а!И)дли Вя, т()О1я)ма 3.2<1. В (.лучио бсскоис пю болыпих нели пш мы Всгре ии м< я < вы 1я<жениями типа » (1) -'= 1'хч 1!и! )1,!') =-. +Ос !!Га !(1) — <, и .Г »' - "-З; Уяраз(с)(ение 1 х 1 а( пгифрь йм ( !М<я (оя 1( и но ! и) о !н ! '1нсз' квжд<я! Из !юдобных вьц)аж('ннй.
Введем те!и.'рь число <., и раюгнее важную роль В (ц кик'й ма- Т('МВТНКС. Виана(к) укажем бс!»(Окжа!с»п*с!Ва !г)всстнуя) формьлу (П Э)КЪННГаРНОй М)ГГЕМатнКИ, КатОРаи НОСИТ Начнаннс гБИПОМ Ньк)гона") ((»+ Ь) =- а + аа Ь+...а»(-)1»' п г< п -1 !»(и" »(..а 'и п,(а — 1). 1п — 1 -г 1) (3.32! , г< А)а )а 1:1 !»к а и Ь прои)но.,!ыпя.,ий((ви)<..пньи. пк...!!. и ляюо( н)- турсопгяос !исло; 1:1 == 1 2 .... 1ь Коэффи!(Исить! я прюя)й '(асти (3.32) н(сп пя) к)тся 6пп(»(((я!»Г<гпьзи! К<»з((ЯГ»п цп( ппк!ми.
1!оло)ким в (3.32) а —. 1, тьнт(а эта ()и)рму»!а прим<<! Янд: (1 + б)" =.- 1 Е ай+ — ' — -- —.. 1)з+... + п(п, — 1) , п(г! — 1) (и -- 1- -~ 1) И Теорема 3.30. Суи!« г! Вус ир дел Л 1!ш 1.1 + — ) а.--х (, и. и(ьь , .— ! + ' —; — -- — ' —.—, + .. + ь и ' 2! иа >ь.(п —. 1) (гь — 1(Г1) 1 1 И .
в ,и ь !!И> 1 ьс -) уй.дпмсв т(1|и>р|,. МО и + — 1.— -- - 1 -- — --— !!И>(1-1- л) ° .г- 0 1!|и (1 + т) — — 1!>и ) 1 ь -В 'Х!;:.;-' ь! :1,(",': а„.'. а„(.|. чч, Итак. Ири любом и 13. 37) 2 гс аь, < 3. Дакт>>ап!СЛ>ь( >па(Ь. РВССМОтрИМ ИОСЛЕИОВатЕЛЬПОСТЬ а.„=- (1 + + — ) . Подставив в ',3.33) б = --. Иолу |им: ==. 2+ — 1 — — + - —, 1 .
— 1 — — г ''" (3.:!5) В правой части (3.35) им(('|тя ! ею|О и ( ла!Т>смык. (!ТО и!Кьи юйдет с правой ии тькь (3.'!5), е( ли иерей |и от и к и ч-1.' 3иахии(ат(- ли дробей В каждой (-ко6ке в(юрис|у|; |и |ч|> ии:м>я(* уменьи|ат( я, и вьп>ало*пня В скобках >'В(ли'|атея. Е!>ем(" тогО дООавится сии> одно положительное слагаемое. В и"гог(" вся правая |аегь возрж*- т(>т, 1аким О6ра:>ем, ири;небом и справ(>дливо ( О(хгиоии>ии(1 Оледоват(>льпо, пес.илов>м(льиоси (аь) монотонно Вочрас!т>е>> Заы(*ииы и>|п рь в (3.35) кы>кдло скобку (с(>и!Ицсй. а ж> всех факториыах, (то>иипх в |пимен мелях. и!Гла, 6ол>ииие 2..>ам(- иим ив 2.
При зт(>м правая |ж ть (3.35) уве.и( >итси, и получи гся (эпепка 1 1 1 (3.36) *» ' 4 ' 2ььт> 11О дроои В правой часгп !3.:16) явля!Отея *11|еияэии гж>м("1 ри Вской прогрессии. Применив п |вестиу|О формулу дэ|я су мм|и >л(- иов такОй про| !Я.('ии, ИОлу 1им Ои('пку: 1 >'2»11 >5-| >575 '> Зпа иг(. последоватсл|иик ть (а„) моиотоии |в о|-рапи !синая иоследоваге>и,ность. а то|;ж по теорем(' Вей( р>итрасса о||а имеет ир(и(ел, ио и т)к 6О>ымвы>ь локаиать. И 1)р(>дел (3.34) |ик|ьпьы'|ся тв(1>а>и (. Ии (:!.37) (:и ду( т, ио что '|игле )ии положе|и> ьи'жд>' 2 и 3, Иа ( аь|ом д(*ле, ->|О ирраьииь иьь |ьиое число.
кото!кк ир(>дстае„|я(>т( я 6я>скоп(ги>ой „(("сити !Иой ЛребЬЮ: ( — 2„71... МОЖНО (кжа;>атЬ (Хотя. (дЕЛ ПЬ ЧтО аККурат>и> |и так уж про(то), что числу (1 !>а!Ии ие только предел ПО(.ИЛОВ|>пельи(ыти (!.34). Ио и и)я>,|(11 ф> их||пи, кОпц>ая ИОлу>ветгэи ф(эрмальиой ьчмсиой в (:.!.34) >п|туральиого и па Ле>5>ствит('лыия' т: 1 .',4е!Ич !>ител! поли(ы( ппм и (3.3()),>. 1(а —.
То>;та Посл(',:|иий про.|ел о и>ви.|ио (ов!>аде:1 ( (3.3>!>ь. ибо обоз|ы и>иэи пер(>инной роли ие |пр>ит. 3.4. Непрерь|виость функции Определение 3.16. (1>уик|О(и ь(>) иаиыв ится >иийлрмнта>и >пачке л(ь (>слп Опа апре,.клена в некоторой окрестности атой 1О'1КИ П й|п «'(К) =- «1.> (3.:16) .У .-Х Можно. В(я:ИОльювпип(и(1, Ои)кл>елен|им и)к.|(.|а. раси|ифровать (3.
10). При ьчом вмсс!(ь проколотой (ькр(к"пик тп !51(,>и) ИОжнО в |ять|и>п|> |о Ок!>((ли(к>г>,1>(л(), ио(ко 1ьк> ()>5 пипия «(>) (ы>р( д( лена в точке ли и ее ир( >(ел р ия и именно:ьиа и»ик> «,,'.(е,', а ие какому-либо иному и!слу. Итак. функция «(х) иеирерьыиа В ТО*|к(' а'и, Е(Т1И уе В О 51.'(|е): Чг —. !'(Ти)::ь|«(л) -- «(ь>л), '< с. (3.41! 5>(тапоьч|м арифм(ти и!сии( спой~т~а и(и)>ар!яви>ях функ!|ий. !)($$$)) == (и; $Н вЂ” $$$$~ < Ь), Поскольку )пи сц(х) =. Нц, ,о--.«о ' 1)н) х --:- хс). о — 1'о !$,«(с(( )) — «($$))~ < е. Итеак 1$)н «($1)(х)) -= «($$$)). $ Теорема 3.31.
Пусть функции «(х ) и д(х) непре рывны в то $- ы' гц. Тс)ггс!«: 1) «(.г) хЦ д(.г) пепРсРывна в точке хо, 2) «(х)д(.г) непрс рывна В точке х,)$ «( ) 3) ес)«и д(хц) Ф О. СΠ— — пе.«цк'1и $)н«а ц '«о')кс' хс) Ы.') р !Ок)$$$$'«сльст!«О з«он ')СО!темы с)'«с'Ви)н«О со«с)!усе! и:$ с«$$1)се«ст)с'" ния 3.16 и соответствующих тс орем о пределах. Икприои р. и. 2 докизывастс)я так: 1«п! «(г)д($) .=-: )пи ) (х) 1«п! д( $) == «( «ц)д( )ц) ооо с "хо .«Л«) 11 с и.)у !3.40) тн) означает. что сруикц)$5! «(х)д(х) попре)рывиа в ГО'«КС Хц. Пункты 1 н 3 докижите самостоятельно, О-и"инды), по если печипсорги) функция исэстоянна, в окрес)- «юс п) !)(.Ео), то оиа неирс рьп«иа и то «ке .Тц.
Ясно также, что «(.С) == х неирсэрь)ииа и любой точке хц, поскольку Из теор!)мы 3.31 слецует, что иепрерывнымн в лкйой точкс )ггдэ т фен к«сии По то)да пепрерьииням в ли)бой точке будет многа !.,'и'и ас).го + о — ! + а)х -' е .. -1 цо, и также отнслпеиие 'таких мпого «лепои п1)п ус Повии, «то знаменатель отли к.и от нуля. Иначе. рациональная функция ацхо + а!.го + .
+ и,; ЬС)хо' + Ь)Хо' ' 1 . 1- Ьео ныц)ерь«ииа в люоой то «ке своей «К)5«асти оп)носе.«с)ни)!. :=э гге) «цэон«ойде "г.Если в пе«цн1)ыцпу«оц)упк«сию вместс) а1иумеэн )э! )иэдставить другую ниц)с рывную фуп)ец«иоу 1)1цсет лн гикая с;ложная функ«п$я пнц)с)!э! Ни)ойу,цл)! Отве)в на зтот ВОпрск дсжвжем одну теорему. ~Р«!11$$ц1)$,3«Йо2 (о предельном переходе под знаком непрерывной функции). П)есть .писаны свс. Е) „«(, $1)(сг), удОВЛЕ)тВО1эяющие сэ«с,'~тки)сик! ЬсэюВиям: 1) «(и) непрерывна в точке иц! 2) 1!$$! $$)()$) =- но. х.-.о«> '1оц 11 «(ц(х)) = «( ). $' .оо Докаайгпао) с)$««есэ, Дс йстВительно, ВОзьк«см $$!ни««ВОльпск! е ) $1 Ис)$)«о $;)Ц1) 3 1!(Ис); )«и е ! $$! Пц! ==." ','««и) —.
«(!«$))~ < е. (3.42) Обозначим радиус окрестности !«1) ой ф«цурирующей в (ЗА2), че1н*з Ь.,Г;исим обра:юм, о е! > 0 3 !1(хц): «) х го (1(хц):э Ь(х) --, ~ < е«. (3.43) Иозьъ)ем в (3.43) е! — — Ь. Тогда для лк)бо!'о х из 1.!(хц) справед- ЛНВО «н'1)авсн)стВО !Еу(х') — иц! < Ь, а зто О)па «ает, что число с()(х) попадает в «жрестиость 11($$)) н) (3.42). Значит, сс''-'0З!!(х ): ~х:ст()(х ) = !«Мх)) - «( )(< Ио.по и о)нвчает, по 11з теоремы 3.32 вытекж т следу)ощип! Важная тс орема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
