Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 20
Текст из файла (страница 20)
..: О. Теорема 3.19 (о переходе к пределу в неравенствах). пусть функции с" (х) и д(х) у!со!РлсесворяссРт следукицим условиям: 1) -«11(сгсс): 1с» б: (1(3о) уи У(333) < д(3)' 2) !Ин )(х) =- а и 1нн д(х) =- Ь. Х вЂ” РО .3 -Х,Р' Тогда а ~~ Ь. Дсскасссс7333'сье331ВО. В с'амОМ дсси',, НОР!Ожс!м с(3(»3) .=" д(х) — Р" (х). Тогдсс,"Ося функции 3«3(х) выполнены все условия леммы 3.3. По этой лемме !ш! 3(3(сг) = 1ш! д(х) -- !Нп ):(.г) =. Ь -- а с>з О, или а ' Ь.
.Р '3О .3- Х33' 33 — »33 3дсссь, как и В с3!уча!! ПОследОВаспльнОс"Гс'й, ис33О,!ВкжансР '!О, сто предел ра:!ности двух функций равен разности нх предел!с!с Ооответстнующю! теорема будет доказана далее (см. теорему 3.26). ° Теорема 3.20 (о сохранении знака). Пусть функция Д(х) ГЛОВлеГВО«зяет с',леРсуссснсссы ус 'юаням: 1) 1ци 3(сг) = а: Х-'ХСР 2) а > О (а < О). Тогда 313(х13): Чх с= ()(»13) —, 3(х) > 0 (((333) < О).
а Док3сь313331ел3333331В33. Пусть, нап«Риьсс р, а > О. Положим е =- — > О. 2 По определению предела -)13(313) !с!с б 13(313) ..з ! 1'(х) . 33! (3.23) у(х) =-- и,'.«) х 3(х). (3.26) Поло)ким 1>(его) '-"- 1-'!(хо) () Ги(з>е>). Отк>ЗП> Ыш иег) = О. )' †,)'>> 1„:Зе и',х) Гк"скопе !по малая. ,' -а 112 Положим Се(хо) =- 11(з>о)() ~''!(!>И). "";и.* .1 а С.!«,1О!)ателыю, Г(х) > —:> О. В 2 Теорема 3.21 (о чзажатой г!ереыеннойь). Пусть даны три функции )(!). д(,«) и А(.г), >доил!«!!)орик)шие с)иду!О1пим тслОвиям: 1):) 11(:со): З«>е> б- 1)(.го) =' д(г) -' Дх) < 5(х): 2) 1пп д(>г) =- 1>ш Л(г) = ее. )' — >М )' — 'га Гогла еупееству!"г 1пп Г(х) =- и, «.
ха Доке>,вз>а! Зьс>ааа, Возьмем с О. В сиз!у Опр!делш!Ня пр!лезла В 1)!(го): >ух а 111(хо) =ь )д(х) — а~ с, г е. а — с < д(х) < а + ьч В 1>1 м(>ге>): м.г Е'1» (го) -о ,'1>(г') — ае < с, т, с.
а -- с < 5(х> < а + с. ПО«н)жим 1!И(.е:е>) = 11(хо) ( ) 1)) 1(>1>о) ( ) 1)а(.се>). ТО1 да из (3.23) и (3.24) следует. !то ">>г «= 1)а(хо) >-и а — е < д(х) = Д.> ) '-' й(х) < а, + е, ()'(.г) — ее( < е.
При!п„ш к опр!де:и пи>о И1)сдс«!алла )(.г): 1ш) Дх) =- а,. ° .Е: ' 4')> , и!диы те!и'.ре определение Оескон!'чио малОй !))ункпии п и:!у">им с>зойства таких бесконечно малых. Определение 3.10. Функция и(.г) назь!Иаепя бс!Мопс гно малой прп х. стрсхо!Ин.мся к:»о, если 'Это ОН1К д! л!>Ни« в ра !вей>ну! Ом вид!> выглядит так: > О ВП(хо): Чх а В(есо) .=; ~и(г)~ < е, (3.25) Теорема 3.22 (о связи пределов с бесконечно малыми).,:1ля функшш /'(х) 1ш>,г(х) =- а еч 31)(.го). К«ес 1'(хо) .— )(т) =- а 1- и(х).
.Г ") , Гоказательство этой теоремы пов п)рвет доказатс,!ьство теор«мы 3.6 с о*!евидной заменой а,„на )«е:г). !)' На В(:го) и т.д. 11ре.>леп ас" гся прове!> гн его ! амостоятсльно. Теорема 3.23. Сумма (решность) двух бескопе'пю малых ! си баско!и'пш ~алая. Де>мазе!И>сл>ип>ес>а, Пус!! и(!') и 3(х) .- бесконс шо мальиь ПоЗ!ОЖПМ Возьмем те > О, поделим !«со на два и применим (3.25) с —: 2 е ~с>(со): х == 1-'1(его):-~>и(х)! < -', 2' В 1>а(хо): Чх е Вя(хо) — >р(х)~ < —.
2 Тог«!>з >>'ет ео 1)(,ге)) вьпюлняк>тся оба неравшнтва, (3.26). Слсдова- тслы!о, д.!и этих .г ( «1) - ', (х ) д- й(:! ) ) < >и(.г); + ф(х) ( <; +; — = ". т. > у(х) !>веке)пе-шо малая. (так и для нос!!едовеззельяос!)п!., Отскиа вытекает, по сумма ':,>азно!"! ь) лк>оо!'О коне'!посо 'пила 6! скоп!'чпо мьм)ь!х !сть бе!'- вшпп!но малая. В Теорема 3,24. Произведение бесконечно малой функции иа локально ограничсннук) есть 6! скопечно малая. >(ака>апес>ьспееа.
Действ>лтельно, пусть )пп и(х) .=. Е), а .)' " .Г!) „«(.>') ло!О!>п ИО Огранич!'на в тс>чке а'о. Го«да д>!я «(.х) выпОлнястся соотпошшпн (3.21). Всоьмсм >«'с .> О и разделим его иа кон!та>пу б" и > [3,21). Полагая в (3.25) — „вм!!"«О с, !ш.!учим: С В 1.'1( го): )У.г Е 1 1(хо) => ,'и(г)' < --,.
с' Тогд(1 <)л<г * -':В) Тогда для тех же х К 61)а(') "- "(х)У(х)'=("(х)ц(х)~. РС=' С л(дОВЙ1'сльнО, а(з:)) (<Г) 6()сконе)ч1к) малая. Следствие. Ироизведени(' двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Следствие. Произведение л)обого коне шаго числа 6<ткон< ч~о маль)х есть бесконечно меа!Йя. 'Зтн с <едствня дока-)ывйк)тся точно тйк же. Кйк и В случае ! К)СЛ<ЬДОВВТЕЛЬНОС)П'й. Определение 3.11.
Функция )'((г) называется бесковс'<но большой НЬ)н х. стрсмящем( я к хв. <)Слп <ГС > О з1<(г ): ' 6 х б 1!(х ) .=~ 1У(з)! > С К1зйГНО это ОбОзнйчйст('я Гвк Йш ?'(з) =-- Оо, о'хо 1)ш <(х) = +оо и 1пп ?(х) =- —.Ос. Теорема 3.25. Пусп функция )'(<г) . бесконечно большая 1 1<ри з. — хв. Тогда —,— - -- бескопс пю малая при .г — хв. '' У(х) Доказа<пез!ьгтоо.
По:)ьмем произволыюс с > О. Положим '1 С =- —. П силу опрсдел<'ния бесконечно большой :) 1Цхо): (Ух б П(хв) фх)( > С = —. хотя надо ясно пош!Мат)ь что у бесконечно большой нет настоя1ц(.'ГО п1)е)(елй, и, следоватсз!ьнО, т<к)1К'мы О <цк';"[сз!Йх к данному случак) неприменимы. Как и для шк:ледовательпостей, в ( лучае, если ) (х) ( охра нгн)т зпйк В Ок1ге('тносГи ( (.Г<)), ис1ю))ьзук)т Обозначения Мы !ц)и!Нлн к Опрсде)л()ник) ОссконечнО мйлОЙ. Выясним: в()рпО 1 ли утВ()рждсни(, *по (если г(х) (ксконечнО к<ачая, тО У(х) 6<)скопе шо бозп (пая. зз(ось Вопп(кает сложное) ь. <Вя:<Йнная < тем, тго бесконечно малая может обращаться и нуль в неко<и)- рых то~(ках скОль угОдпО мгак)п Окр<('п<ости тО'<ки хв, Й тОГда 1 дробь — — не будет определена в зтих хшках.
По если пог1К*- ' У(х) бова(ь. побы )'(г) )н! Обращала(1 В п(ль в (к ко!арой проко)(о'!'Ой Окр('стно("1Н ТО'<ки хв. то сООтв<!т<"и))'кяпйя тео1к*ма бу",(()Г спраы'длиной. 1(окажите ех! самопгоятсльпо в ка иттвс простого уп )аж!<опия. 1е(к'рь ДОкйжем ряд теорсм О д()и<'ГВнях (' пред< ламн„ш!Й:ю- 1! шых тем, тго изу (ались нами в слу'(ас последовйт( льпостей. '1оорема 3.26 (о пределе суммы). Пу< гь )пп „?(х) - — а и х- зс 11ш д(х) = 6.
То(З!Й ~..хо ' !Нп (1(.<') х д(,г)) =- а х Ь, зо Дол<)зап<сльстао. Це!!ствительпо, по т<)ор< и' 3.22 Х(<г) .=- а + и(х); д(:г) == 6 т 1)(<) ) гл() а(х) и 13(х) бескон<"*шо малькь Тогда ~(х) .+ д(х) =- (а + 6) + (а(х) з= ()(х)). (3.2?) ИО в < и;1)' <'ВОЙстВ О( <'кон<*ч!ю малых В! ц)аж<а!Н() Во В1ОЙОЙ скОбк< в правой части (3.2?) является бескоп< чно малой.
А то<да по той ж<' теореме 3.22, но прнмепешк)й в обрйтп(ло сторону, пол(- юм утверждение теор(лп<. В Теорема 3.27 (о пределе произведения). Предположим. :! Го 1пп )'(.Г) .= а и 1нп д(х) ==- Ь. То!дй 1пп ((х!)д(х) =-. аЬ. .~- се .е;л) ' .1' — Г< Доказан)ел(я)И<во. Вновь по теореме 3.22 з(х) .= а т а(х); д(х) =- Ь+ <)(<г), 1 ш а(1) и )з(х) 6<скоп<"(нО малькь ПО)тОК!у ) (Г)ф<!) =- (а, -1- а( Г))(6+ р(х)) =- =: а6+ (а Ях) 6 Ьа(х) + а(.г)3(х)). (3.28) 1 -;--, — — - у(х) д('.?,1 6 ('.(еловагеги и(», (н( те»р(пн 3.22 11(и ? - .О» д(х ) 6 (йгпе(ю тео)я ?я( 33?2 Погл,й 1'»(х(3) — - 1!(Хв) Д1,:3(ха) ('пр(ок'*1аивО 1п'ра1к"ио1В(» 1?п1 1 (,3 ),—.
а. «. )к(гк я рйяее, уб1 я(пйе?к(( я, (то в( ?ра?к(?иие. 1'тояи(» е в ( кобкйк в и)»ЯЯОЙ '(й("1 я (322(Я). я31гиы(ея б((екОие'ив? лая(»й. 11 (я1ять ио 'Г(1 ь ре?я( 3.22 иолуяп?я требуй?яое утв('ркь)ея((е. 3333 Перел творе?яой о про;к«п; ив'(ного (кобколгп?йо (ока?ап 1('1(К(У. Лев!к(п 3.4, 1)у(?т( фуик((ня д!х',1 1;к»в.и*творяег Г.к лукяивм 1»'Г 5 Ю В и Я ?Я « 1йп (3(х) =- 6; » -»и' 2) 6»г» (), 1 1 113(и(31 1ии --, д(х( 6 Д(»кл(?а?г?го(?»(1?1а(3.,?йк(е'3*3111 (п(й" Я(»1е.
'ГГО ио 1ео)Я*?Я' 1» ГОК)»в(я яяя Липка из второго условия;кммь? (ле.:(у( т, но а 1»(лв»: 1?ьг ': 1((.Г(») ек ??(х»1 х )). д(х):-- 6 + 3:(.3)). (пе,'1(х) б(тко(Я 3ию ?палая. 1 1 1 1 — — — — — —:. --- — — -~) 8(х). 13Г29) а( Г) 6 6 л Р(,г) 6 ~ 6(6 1,.'»!х() ~ ;'6 ПО:1о»кпм в '=- --" ь 3), т«3(а)й 15 см?11 Ои)копая'ЯЯЯ о(окон("1ЯО мя- 2 лой '1?! 31131:1(1): (?3?' (? 1(1(.гд! —;" !3(л )) ,16!, 31»! 3 «( .)1 -; 31»3 »а; г(',, !61 1(и('(я1; и и)к?кОГР»ООЙ (»кр(оп1ое(я 1»(1» -, г)(г))1 !61,'6 -'; 3(х)), !61 )6(а 6а' 36;-';— '1акя?я (я»1?йк»кб вели 1(п(а,. (токи(йя в гкоокйк й 33,291,:тляео я локаяьио(в рапи (еияой и 1«и3к(:Га. По ао(.(й. Яо( войегвй?я о(око(в "ин» ?я(ьп (к.
(кя ьйя(ввя (й("и в (3.2!)). которую для краткоетп обояий 3и»я 1(1я 3 у,'.Г1, явля('и я бескояе 3яо ?я?1ло31. 161 'Хвор(?м(1 3.28 (О пр(?деле чпетоого). Пует( фуикипп Д.Г) и д; х) ъ',.'(ОЯ?(ет1к?ряк?1 г?(едук»и(и(1 1('ливня?к ! ) 1(и? 3»( (') --.: и. 1ии д(.1'1 =- 6: .? .»»' —.?,»' 2) 6.,~ (). 1о(;(а л" (.Г) а 1)п( л .,»(» д» 11 Д(»1«(15«31?(в»1«а»?»аа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
