Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 15
Текст из файла (страница 15)
П»(-»+ах" + . + Пасе+ 0в »Х! ы+ +0>Х>, == =- -'«! ! ! дв ! ! — — '«д ( одной стороны, принадлежит Х», й ( друзой Х,е. Значит, а ~ Хз, '1(яда а = а»с»+ оее.+... +оь«в и изиду(динспзешкхти ргезложения по б>с!псу в Х! Полу »гзеь», гп> о! = О», ..., юх == ое и 0 ~>> 0 «л(дона!( зьпо п»е! 1" ((В>(,з + « ° + йьеа + «ь*»д> е! + ° ! »Яда — 0 и значит„все ап > = 1., Хл у?, .!' == !(+ !..., (! райны и > !по, так как (.», ...,(ь, дь„.!.. « ..д«„б«агзис в Х.>, И!ах, е»,...,е!., )В» », ..., Хл.
да з, ....до б>взис в Х,». Тогда (11>п Х» =-. )(+ (р — )«) + !д -- Й) =- =- р + д — )( = (1ип Х. ! + ()пп Х,е (1нп Х.з, откуда и следует формула»2.!2). В ХХри,мер 2. 14. В К' поднростршк"пзй Х ! и Х.з размер!Их ти 2: а) могут п(1хзс(зкге!'ься пО ну?з(звок!у вектОр> и тОгда их съ'мый сойпйдй( т со Вс( и П1х)стрйнсг(зок»; б) могут »нзре(г(зка! !«()я по пря- мой., то<2<и их сумма имеет рйзмериость 2 + 2 - - 1 = 3; В) м(и )<г (ивпйдйт)ь тогда йш(Х,! П Ь2) =- 2. (!Ии(Х! + Х2) = 2. Если (1ип 1.! =- йш 1,2 = 3, то Ь! и Ь2 В 112 и: и) либо пересекак)тся по плоскости, йгп 1 ! + (!пп 1.:):=. 2+ 4; 6) либо < овпйдйк)т.
йш 1,! + (1пп 12 =. 3+ 3, других возможностей нет. Если йш 1, ! ---. 2, йш Х 2 — — - 3. то: и! лиГх) Ь ! и Ь2 пс1х гекйются по прямой; 6) либо 1 ! <: Ь2. Определение 2.12. Если пространство 1, являетг)! гуммой Надпространств Ь! и Ьз, )пр(*сечеиие 1 ! Р Х.) которых состоит лишь из нулейого вектора, то говорят. что Ь есть ьзрл«иал с1)ммх! подпрострйисти Х ! и Х;2 и пишут !. =- 1,! (1)!.2. И ! Теоремь! '2.11 сл(.;<у(г!. (то «)с;)и Х, — -- 1 ! «-„.; Хз.
то «Й)п Ь вЂ” Й)п! Ь! + «1пп 1 2 Пример 2.13. 1х' может бьггь прямой суммой К! и 82, <де К ПРЯМВЯ, й ПЛО<КСхт)ь ПРОХОДЯЩВЯ ИР(З НаЧаЛО КООР- дине'Г. 1(: н(' м«)жет быть Н1)5)ыОЙ гуммОЙ диух ало<'ко('т()й, Теорема 2.12. Если Ь =- 1.! (1)! Ь2, то каждый В( ктор из 1, едингтйеипым обре;юм пред«тйиляегся и Виде и + г, гзи и б Ь), ге 1.«. Дах()заи)<О)! Са)аа.
Пуан Х Е 1. И Х =- а! + а! =- П2 + !'), ТО<хай и! — Нз =- аа — г! — — О. поскольку подпрострй(к'твй 1 ! и 12 пересек(потея то.и,ко по»ул()В«)м< В<)ктору. Тихим О6рьх)ом, а! = Н2, Г! = Га. Определение 2.13. Пусть а;, ....аь и(которйя си(теми векторов и:! Г. Оои<жуппость !.: В<тиозможных линейных комбии ГЦНЙ зтих ВЕКТОрой а! а ! +... + аеаь Обрйзу< т подгц)ос грйп<"! ВО и 1', '.Йто подпрос<П)йп<"! Во нгаи (Вйют „и(игйнай ааалаикай ()гкпп)- 1)аа а!.,... а!..
О6О)ийч(поч С =- (а<, ((2, ..., аь) н гойорят, *<то С нйтяиуто ий Векторы а!..... а!.. Упрел(с(<ег<(хе 2.21. Пусть А мйтрице,, В столбцах которой! Стоят коордиийты Векторои а,. ! = — 1, ..., 1, по пека<араму базису В 1'. !окажите, гго <1ш)С:=- г(А). 2.4. Линейные операторы Определение 2.14.
Говорят, что В Векторном прострйи<тие 1' *)адаи лш<ейиып аг(((ра)пг)1) или л<(и(!Йиаг, п1)га6Ххь)аа«зи((г А., сс- ли кйжз<Ому В(<кзОру х <.= 1' !П)сГВВзи)и В сООтВ()тсп йый Вектор А(.г), или Аз', пршшдлежйщий 1(, и любых двух Вект«)ров .г и Й из Г' и произиольиого * 1) А(х + Й) =- Ах + АЙ; 2) А(<ег! = иА.Г. В)<берем В (ц)(хтрйнспк 1" базис ,Г =-.
х(( ! +... + х„(„, то В силу лиисйно(ти опера .Ах =- х«А(.! т ., + х„АГ„. Тйк кйк А(з тож( мол по базису: А(ч =- а),(. ! +... + а«асн, !' =- 1, 2, ..., и, Ах == х)(а<)с! + а(нса Ц ... + аа«са) + + хз ! и «ас! + а)2() +... + а.„ес„) +... + + х,,(а)„( ! +... + а„ен) .—— .=- (а))х! + а)зхз и ... + а<„х„)е! т...
+ (а (х! ! а) 2х2 + ° + аа х! )(' тйк что если Ах =- .г)с! +... + ха „. тл) Ах .=.- Ах =- 2 <<де А =- (а, ) матрица порядка ьь и !.-м столбце которая стоят коорди(пкп ! рйзлОж('ипя иек((ц)й А(ц по 6еги(су; ый(рице А ийзь(йй(т< я .Иапц)ш1са .,Ииа:(а<аеа прсай<ха)ааанал А. 06рйтно., каждая кийдрй(ийя мй(П)ицй А пори!<ха и может рис( мйтриййться кйк мй'Пиьцй и()которого ли(и'.Йиого преоорй:)о- ВВНИЯ. Еу„юм ооо:<пй*<йть лии(йиь<й оиерйтор и его мй<рип) О,<НОЙ и той же буквой: А, 6, С оп(рйторь), А.
П. <: матрицы. Опредез)ение 2.16. О! В(1ии Ор исси пяи т< я ш аьцх)лсдс)и<ыхц если Ах =- О тогдй и только т«идй, ко! дй.г =- О, инйче Оп нйзыййется вырази:д<иа<ыс е Таким Обрил(в(, Оперйт<ц) А невырождеи тогда и только тоГдй, кОГдй ОднОродпй5! ("(и'т()мй 21)йин(а(ий (2.13) имеет едиигтвепиое (иулеиое) решение, т.е. когда матрица А иеиьц)ожа<еий; О<п)рй(ор А Вырожден 2ОГдй и ГОлькО 'ГО<дй, ко! лй сисаемй ( .111) им(ют нспулеВы() 1х)ш<п<ия, т. е. Ко<гдй мйтрицй А иьц)ождеий.
Упражнение Н.22. Ра(>смотри'и (л(дук>!Ди( примеры и докяжитеь 'ПО !ц)ех)бра;5(>яан1И» пз?!яется липей!1ым. !!Нй,(ит(' ма!'- рицу преобраяоваппя: !) поворот плоскости иа угол ($ иокруз на!ада коордипат будет линейным >цх обри зояаиием; 2'! поворот !цюстраи(тва иа ъд.о?1 /)> вокруг оси О будет липейиым ирсобр/>лов ишем: 6) О!Погопалызо(' зцкх*к"1 прон>$>ше' некто!я)а иа плоскость ХОу выроя(дгппое ли>и>й нос иреобрюоьзьз>зиг( 4) пу("и .4.г симметри пзый вектор к в( ктору л от(их зп(льне Плоскости .>О!5. Ъи;Еа 4 ли!Кйи(х: пр(хы>р>хзоьзьиз>из: .)) В пространсп5(' Р// мнОСОч,и'.$К>В с'и'пепи !К> Вьзпи> и О>и>ра гор дифферспци!Кхзйнпя.
(Р>еяпд>ю, лииеинь!й и В! ц)Ож„п>ии!1й г г" 1 !рассм(>трите ба:зис 1/л. — —..... --)), 2! и! ) 6) тождес пи Иный Оиерат(/р: С? == а д:п( любого .г (> Г: 7) иуленой ош ратор: Огс =- 0;рзь! любого,г Е Г. УЕ>раже(е7(ие 1?.2Я. „'?Ок(ъжнтеч по ирп лииейпом преобра.юваии и векторного пр(?с гр/зпс гз)$! образом !кап цюс гран( тиа (иоВа 51аляе1('я ИО?(!ц)О(ггрьи(с(1!о.
Определение 2.16. !"(дъ(/ъиг(/, А+В (>нера>п(?!/О(5 А и О $1$$75! Пз(!- ("и:я так(ьй оператор (,, к(перый ставит и со(п нетстиие вектору т ж ктор Сл = — Ал + Ваъ Определение 2.17. Ум)$/?/////(7$$$(м( а>5(/цкзе//е)!хь, .4 на $75(ъ/ьа а низы и(зе>тся "1акОЙ О!и'!Яп'Ор, кОторый стаиит 15 СО(?ти( гс'!'Яи(' В('ктору ?а а(>игор аА.г. Очевид(ю/ сумма, лиисйиь(х операторов и прои икдепие лииейпоп> оператора на пи,ъь будут .пии>йпыми операторами ( мат1и1цами, !>Нипыми (ъмме мат!Ни( и прои;ик;и'пшО магри!еы иа икло гоотиет(-пзешю.
При >том яып(ьлияют(>и псе аксиомы ВЕКтОРИЫХ ПРШ/СРаяся Еь Ъ"'?зсг!О>5$$!ЕЛЬИО, МИОжс("ПЮ ВСЕХ ЛИПЕЙ- ных оце!НЕ(оров и иро(траист(к Г яв?пзепя лииейиым иростраи- (" ТВОМ. Определение 2.18. !!!///>Кз(/сд(57511(ъь( АБ операторов А и Б На:зывается оператор С. озцх дел>к*мый гледуюзцим абра юм: С.г -=- == А!Ва).
15!ежи(ь докапать, по зц)ои,з!>едеизз(5.4Ь 5>ьп(("1(и(зх Оп("ратороя также будет липейпым оп( !>$)т(ьрол(. Матрицей которо> о яи>пиг!Тя митри!>а АВ. Отметим также, зто для неиьцхякдпшого лшзейиого о>и*ратора А су!Пеству( 1 абрпаный ши'ратор А '.
такой, (го АА ! 5 =..4 А =-- С. Д?зя докт1ат(лы;тяа, до("сато пзо ра((мот!х>!ь Ози" ратор с: ! т!И(цей А 1. Теорема 2.13. 1!у("п А лииеииьп! (Яи'.ритор с матрицей А В ба:зпс(' ('1.(а, ...,//„, и б мелр»ца и('!х'хОДП к пО15омь 6!Сзису / х ..., (>/с Т(я.(а В ба зис( е,, е,, ..., ( „Ои(>ратОр А иьн езч- ма)= РН11Ъ* А, =-О зх!О. 'Еак//еза>$5с и ('7пеа. 1 >ассмо г!Н(м лпп('5!Нос и!х',Обре'1ОВапи матрицей О. )5151 него, очевидно, Сс, = с',, )то преобра.зо шезьц)Ожд(и!их" Гак 'пъь ( ( ъ пи(' пзъе' ! ° Ны(з(гт мат!Ни(ъь раинь >Π— 1 О . и для пего С' с, == /, 11рикипив к равенстиу /,/ / / .4(, =- аз,е'$ + алса е, ..
ч- а„,(.„ ош>ратор С ', !юлу шм О ГКУЕ 1!! С АСс,=-а>,/14 аьса (-...та„,/„, -1 / и формула !2.14) дока>апа. Из формуль( (2,14) с?и"ду(п, что определитель матрицы лиие)ЙНОСО оп(>ритора Еи аанисит От бааиса, так как Пример 2.16. Пусть в баньке гз, се оператор,4 им(ч т мат- $'!ь -2'Ъ рнцу А = у!. 1!$$1$>зизе зи м пгриц(2 >того преобрачоиания /, / н б>аз!и с ('! =- е'1 + С>, /М = — 2г! + 6(">. Зде('1 Матряца 1И'р(зхОДК -1?) Определение 2.19, Пусть А линей!>ый оиератор.,ичв-гвую!Ний в нространс.пз( У.
Совокушюгть А!г нс(воиможиых век- С Ас( — — а>,С г>+ (>ЕЬС Е'., +... + П„,С" (.„.— --. — 1 / / — 1 ,/ / — 1 ,/ / -. 1 / / '-' — — аз,('1 + аа,сх +... + ($///(*/5 !1А,~ =-,.Ец 1.46 ~: — ~О-'~$>1~~6$ = ~.4~. !2.! !7 СС( Ваи и(' ! горов Видй Ах, гд<э х Е !'. Ий:зыл<«тся об!а< азою:зноя(аш<Э, оа<3- !хп>за>за А, или с>6раэоая )3!)осп)ах!В<:тоа Г нрт т<рео61х(>опят!и Л, и обойпача<. гся !ш А. Миожегтво ззс(зззо зхз<эжззых векторов х Е Г, для к<а орых .4г =. О. Вййывйе3(я л<)з>о>и о!и !<3>апра А и обояийч)пгзся )(< г А, Уир<эозс)(ение 2.24, Докажите.
<го область:3)ии«пий и ядро оператора А явля!ется иодпро("3рапствами В Г, щ)и зем разя«р- ИО(гз<ь Ьи Л соВпйдм'!' <' ряп3'ом г(А) мйз риз(ь3 А. 1'ззм< !»«к"зь облй<зи ппиз( пий ози !и!горя А ззйзывй<'3( я !хп<; го>м оператора А, а ранирио(3сь ядра <!еу>ек>)3(хи .>юийзюго оп< рятора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
