Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Имеет место сл(дукяпая т(орема. Теорема 2.14. Сумма ряигя и дефекта лииейиого оп< рятора !>авиа разм< риосгп и прас !у<333< ! Вя: <1пп1п)А+ <1пп Л(! А =- и. Определение 2.20. 1!одщн>счрапство Г! 3<рос!О>33(сззз<3, !' Ия:зыьчизтся затариаип! Иы и <и» >а>саха<(«<»во л щи щи>ео опс!хзп<о!хз А, < ( лп образ Ах каждого в(зкторй х ип Гз щишаддежит Гз.
Ун1хэокнение 2.25. Докажит<! ипварияитпопп подпросч"рази"тв В сл(!д\'<Ощих И1)им(эрах: 1) А поворот иокрл <м.и Огь !!3<вар!за!!!ными иодиросграиствами будуэт, иаиример, плоскосп хОу и ось О', 2) А ортогопалы«)е ироектироваиие про<.граиства Й 3 иа аОу, Ииваригип:иыми по (иростразнтвами бу,тут в(<е плоскости, проход)ишзе !срез <язв О-; ис( ирямьих.«зжащие В плоскости хОу и 3<рохо!(язз(33<3 '«31«гз 33» зало к(н>1>)п<333<т (В 'пм'тпОсти, (к",и Ох и Оу): й) в !!рос!О>зззстзз( Ря мпоз.о !левов(теп(пи зи вьш«а подпро(траиства Рь при зк:ех 1:., О -, Л с и.
ииварияитиы отиосительпо <»иэрятора диффсрсзщировапия; 43 В любом иростра!«:пк. кйж:<о( зю,взроет)»шсз во иишй)ийитво о и«»:птсльио тождес пз(чшого и иул<звого ои( раторов; 6) в любом ззростраи(.пк само иростра!«тво и его ззодззросграиство. состоящее чолько и 3 иулсж>го вектора, инвариантны о ге>(чгп лыю любого лииейиого ози раторя. Уг)1>(злснен<эе 2.2О.
Докажите, по пер<се иизие и сумма зюлиросс!»ппзтв, иззвйришппьзх ох весит<'льио .3>ииейзюго оперйтОра, иивйриазп !!И от!!о( и 3< льио.этОГО Озп 1)а>О1)й. Имеет место следлощая теорема. Теорема 2.15. Кс.зи Л иевьзрож'пииьзй лииейпый оператор п !. 3)одззростряи("гво. Иззгяй>ийи.пзое оп!о( ите>зы«> А, то иивяриаитио и оп«к ителыю,А 1!усть !.
О!!!!ох«3!)ззо( иивариаи 3 иос иодиростраиство отиосительио лши йиого о!и ратора А. 1!усп х б !. х у': О. '1озда А:г б (,. Ах = Л.г, зу«Л некоторое число. Коли у любой гцэугз>й вектор и 3 !., то у = — юг и .4у == 4(и.! ) — — ал!<! .=: ВЛ» =- Ли> .—:— :=- Лу. Определение 2.21. Вектор х гз О ззссзз,!!за<.!<>я гобгтае<ог»<ам векззю!л>я< э<3<3<с<<поко »!!с!хп>зо)«А, (слзз ззййд< т< я чй«О<* чис.зо Л. по А >' =- Лг.
+)о число Л палы вяегся (оотяет< тиук>и(им вектору .г соб< юо< ш(ыя< (пш 3<.3<3<с<«т< ротора А (и матрицы А). !яким образом. <с.ш !. одиомериое ишзариаипзо< подиро< траиств<>, !о каждый иеиул(вой вектор ич !. является соб<-пзеипым вектором ш«ратора Л и притом с одиим и и м же собстж ииым чия и)шизм. Оорятио, с(ли .г (обгтж*пиьзй вектор оп< раторя, А, го ио!»>ждсшюе им о;шом<*рпое подпро("зря»ство !. (гостоящсе иа Всех векторов вида ах) бу;ит, очевпдзю.
ишзариаипзым отио( и"3ельио 4. !!р<дпо,южим, что,г гобстиеппый вектор, Л соотзз< !с!!!у!ошей ('Обет!зеив(к .щй !<пи(3. 1<эгдй Ах =-.: ),.г. Выб(3!«*м и ззростраистве Г бавиг <->.г), ...,г,„и пусть о. --. хз< 3 -3 ... + .г»< „. й магрш(я ози)р<пора А в <пом 6)лисс А =- (а,! ). Т<я;<я .4г .=:. Лх и (А — Л!г)х .=- О, т.е. соб<та< иный вектор юзлж"тся реп«и!ем системы лиисйиьзх одиородззых урявишшй (азз — Л)хз ч азах> -3-,. + аза.г„= 0: а>з.гз ., (айа — )')а й ... ' <<х>».з:» =- 0; (2.16) а»зхз + а»еоа ~- ...
-з (а„,„— Л)х„=- О. Д 3>3 < уи«с пювяиия иеиу:и"вого репи пия Втой системы иеобхо,(имо и догчвточио, зтобьз <е озциделит<ль был равен пули>, т.е. пабы бы>и> <!<4()1 — Л!6) .— — 0 х<3!хзк>3>с!>!<с)>333, <ггког 3<!х)о!<си<<с для А. Е<.!и 1 кой< иь хй1>йктери< зи аско!о)!»Взи(333(я. тОЛ Оудст (обепк ши,зм Впа и яисм операгоря А. 3!< 3 ко 33)хзстззтз„что левая чапп харак гериспз «скогоураюи иия является мпозо щепам «гепеии и отиосительпо перс!и зшой Л. 'что! миогочси и й(Л) =. (!(3(х! - Л!6) пазыВак)т з>в!ХЕК1леун!("пипи("х1>>и .ИнОВО'Озе!Н2*( 0$Н'РВ!ора А.
!аким Обр)в>ОМ. ЕМ15$ нахОжд('ния (Об("г>зс>1$$оеО иектОра О!и'.ратОра йужио йаЙти корйй характ! рйсги н)ского >н!шго 1;1(на й:заг! и решение ('оот>з(ч гпзукицей однородной си("и мы уравнейий. Теорема 2.16. Хеерактерист>1 и(кий много !Неп лииейзкио Оп(>разора 1!е завй( йт от Вы(нй>а базй('а,. Дока з(ппсльстпво.
Пусть Ае(Х) =- (!($(Л вЂ” 1Е) характери/ .! !.тиче( кий многочлеп в базисе !"*,, (Чн ( „. Ес Еп е 1, г.„..., !.„ / з(ру! о!з (ВЕ:з!и й «' матрица пер()хода, то В Оа:зи(( с,, ! е й(1) =-. (!СЕ(Л, — 1Е) —. )ез(«1 'ЛС вЂ” 1Е) =- =-. (!С$(«' ЛГ -. «1Е«) .=. (!е((«(Л вЂ” 1Е)С)— =- ()е((«1 ')()с«(Л --1Е) = ()е((С) -=- (!Сз(Л вЂ” 1Е) = Й,(1). ° Оример 2,17. '1ля ли!и йного оператора с матрицей Л й — характеристи" н)ский много Ел( и 11(1) =- (1е1,(Л вЂ” 1Е) .=- с =- 1 — 61 — 6 имсг! корни 1; = 6.
1 > ==- — 1. Собственные веко)ры находим из (чн тем: для 11 =, 6 б ! (1 — 6)а ! + 2.г ==- 0: ~ — бх! + 2.г —. 0; Я с> „е> л .== (' бхз + ( ! — 6) г> =- 0 ! Йх! -- 2хе =- 0 Р/ собс пз(иип и векторьз 10)й г у( 0; для 1В =- — 1 « (1+1),:! +2(а --=0; 12, $+2.> == 0; (>! 0 (Обста(ийьи в(итеры нрн с ->( О. Теорема 2.17.
С(хн т!и ииьн. векторы линейного оператора, ОтВ("Еа!О!пи(' иоиаре!и различным (о«к"Гв(.*е!ным 'п1ач(!ниям. ли!и!Ййо йп!Нвисимы. Дока,зе!Нсл!е(.пизе. Проведем,(оказа(пльгпзо индукци()Й ио 'пилу рагсматрив(!( мых (х)Ости(лизых В('к10ЙОВ. >кля ОЛПОГО езектора зто ясно. Так как 1!О ойрсделенизо собствепного в('ктора он отли Еен от О и, значит, из равенства и.г =. О следу(т и .— — О. Пус>п > пз(ржд1 ни(1 1и рнО для (А" — 1)-1О ВектОра, '11 (х с(йс гв( нпы(' векторы хз,.кв....,ет,:,. $, отвечаеои(ие понарпо рп кшчпым соб- ст!и пиым зпа и ниям нз, ..., к!..1. лпйейно п(.'зависимы.
Пр(здиоложйм, с!о 1 ( Об(тв(>ииь!х в( кто!низ. О.пи! Еа>ощйх иои!О)но р>к!- ли'нп $м сОб("пи",иным зиа'и!вйим.;1ин('.ЙНО '.)аезисимы, т. (х и1 г1 + их гя + ° ° 1 итх!. — ' О (2. 16) й !ИЕ в(( о(„1' — —.- 1...., У равпы п>шш. Прйменйв к (2.16) О)йй)азор, $(м('('и и$1 '1+ В1В>. В+... + 11!хе .— О Вычтем из зтого ране>н тва равшк-Ево (2.16), умноженное на 1В, ПОЛУ'ЕИМ из(1! — 1$-)! $ + иа(1 — 1>):гх+... + ие.
$(1! ! — 1В).ге. 1 — -- О. Так как х),.! ), ....!е ! линейио Независимы и Вс( )ц ! =1....,/, попарно ра зли Ены, то отса)да следует, что и, — -- О. !' =- 1, .... А -- 1, и шачит, и.з рав()истаа (2.16) из.х!. == О, отку;ш и;:,. — - О, так как .ге ф О. Таким об)рез!зом, все и; равны О. ! ---. 1, ...,Ах противоречие с предположеип(м о лии! Йпой .)ави(имо(те!. Значит. и'$, ла, ..., ле. ли!Н)йнО н(!зависим!!. Теорема 2.18 (о су>цествовании ийвариаптйых подпространств). Для всяко! о лииейного оп( р пора, д( йстаук)НЕО- го В Веще(тв(й!Н>мзцхктр>инта( ре>зззерио(зй и " 2, (>'пи*ству(!з одноме1пкн' или двумерное ийнариаитно( подпр(ктразн"1 во, Док(кзп>п(ьз>снз(зо. Если харакп ристиче(кий мйоп) !лей оие!Нпора.4 й!Ихт хотя бьз Олий в( !Нес>!!ей)ЕВЕ>! Кор(!!>ь то Оп(ратор имеет собств(чшый вектор, п зна пп, в Г сузцествует Одномерное инвариантное 1!Однрострайство.
Если харак!(рйсзй кскйй мйого"!.Еш! !и ймсст действйт(льпых корпей, то по о(иовпой теорем( алг(бры характеристи к' (кйй мзшгочеий !пист хотя Оы Одйн КО>из,н)к(й! Нй! Ко!)Виь, т,(с сущ(ктву('г компл(ксйое число )( =.— и + ф. 6 -л О, тако(, по (!Ст(Л вЂ” 1Е) =. О. Решив систему (Л вЂ” 1Е)с =.= О. полу Еим соО1В1',Гс!Ву$О>ц('е кОмзпи>кс!ю(' 1к',цц'ши' х! .! !уз л„+ Еу„ Систему (Л -- 1Е): =- О, т.('. Л(:г -$- !у) =: (и 6 зр)(.г Е Еу).
или Лх + !Лу === их — ()у! + !(иу + (5.! ). Можпо представить в виде двух (истем отдельно для лейгпзительной и мнимой частей; (В с Ах =- а.г — $3д; Лй --- ай+ ГЗ.Г. а,1 — ! 1 †! а)и (2. 17,' 5-- 1 аа11 аев -- 1 а ('ча З,ч ~а$1 — ) асы а а )д $ ===0 а|а а'>'> а„, --А, ача Нпи'1ит, НО|в!!к>стр>$нс'!$5», И»рож,'$('1!Но(' векторами:Г и !в ипвар$1- а|ги)о относит(.|ьно А. '.-.)то Надир»стра|к)во дв«м(!и|о. |ак как х и й линейно н(иавн(-имы. Если бы онн были:ппкппо !анисимы, панрп:.К)р й ==- )х, Го А1 = ах — буг =-.
|а -- 1)у),Г и !П>лучили бы, по х (об(твеннь|й ве!»|ор с вещ(ственньж| соб(твенпым :Знк |енпем а — Оу. -Это иротпворе нп пр(дположеи!Ио о т(>ш Г!о $кщ((т!Я)нных кО1нн'й «' харак'1(1л|(")*п'нх'кОГО м$1ОГО'1)В'1$а |н'т, В Пр)>«меу> 2..$ )1. Рас( мотрим вопрос: . Суще(твусг ли ("нщиоп)ц)нО(' разби(ни(' мпо?к(зст))а иа Гр«нпы 1' матри)н;й п(1к'хо„|а к новому раЗон(нню Л =.= (ао), 0 '-" а! - 1, $. 3: — 1.2...,.л. ч а, -.=- 1, !' =-. 1,2....,)3. в антно(ги существу('1. ли етвшЗо- ~.—.1 нарна( распредел!Иин |тночи|и (см. 10>имер 1.5))".» Стщи(ишр!Кк раснр(д(л(ние ато тако( ра!ИЗр(дел(нне.с Ф О.
которо( и с)$»|!«чон(и11 МОМ(н Г Вр( м( ни (в с)к;!«!Опк м иокОл(нии) и(! ичм( ю(тся. г, (. До «Окно вьшо.шяться Лх == .1» Ъ)ких( (кбразом, но:!у |Или задачу О (.Обстве>п1ых )на и Н$1ях н собственных |к'кторах для матрицы А (см. оиределешн! 2.21) и нас ш|и ресует. ( си .|и среди »обста( шЗь(х нш"и иий ), матрицы А лначение, равно( »дини)в. Предпо.южнм, *|то.г у= О собсия;ннь!й век|ар, ! (оопк 1- ствующе( собств( )нк)О.Значенп(. '1»Г„:$$) Ах =: йх и;1,|я 1|ахожд("- ния х 1!ужно р( 1!!|ив си(т( му (н!нор» |ных ур>31513( нии (2 15). 'Э~а (псима.
как и;ии"сг)!о (см. |гаремы 2.5 и 2.6), нм(( г 1(енйок15ое репи ни( тогда и только тог„|а, когда о$)реле.пгге. п ма| рпць| вт(>й си» Г("мы рвВ()н н«лк), т. е. кОгда 1 кО1)("нь харака('ристи'н)скО!О уравнения (1»$(Л вЂ” 1,>1) =- О, 1. (, уравю пия Относи гельно ?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
