Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 12
Текст из файла (страница 12)
+... + о„„,а„=--б„,, 11усть А матрица из козффигнн)птов цри неизвестных и В раси(иреннвя матрица сист('.Мы: Ясно, что г(е)) > г(А). Кр)Г!Е)рий совместности системы лии()й- пых уравнений ла(т ()лелую(цая т(ор()мя. Теорема 2.4 (теорема Кроиекера — Капелли). «1(я совы((тио("1И (иег(мь( Гп ли»н йпых уряв(н иий с' и. Ен из1нстпьтми кеобхоцимо и я«стати )но., чтобы ряпс расширенной матрицы 13 был ряв( и рангу матрицы системы А. Дак(н!(!))1(ш( е те»а.
11(»е)()(1:а())ы(а»)пел Пусть система уряшн ний (2.6) сонм(стпа, т.(. (.Упнствуют (Ясла и(,и), ...,ил„так!Нч Ето ЕСЛИ ИХ (Н)Д("1ЯВИ'ГЬ В СЕН"И',МУ ВМЕ)СТО Х(, Х?, ..., Хл ('ООТВЕ.'ТСТК()К- ио, то Л)яв!и'ния обратятся В тождества, т. е. Бо,!можпы дкя (шу нш: 1) т' =- и.
Т«1,1а сис)»ему, состоящу(О ия и("рвых «у!ни»иеннй. можио реш)п ь, напрпме р, по ()юрмулям Крамера (1.10) (см, ио.(- ря:!д. ! 1, теор( му 1.3). В лг!Оы слу нн шн-и мя имеет еьппн"пя)и- ИОЕ РЕПИ.»Ш(Ь т. С. ОНЯ СОНМ(тетПЯЯ И ОПРЕЛЕ:и ИИЯЯ; 21 т " и. В(ыьм(м Енркьн. г урякпш!ий ( и«темы и, остялив к л('ны?." 'ш('тях и('ркы(' т' (н'1л'пн'("'п(ых, О('тяльп! Ге 1н'ре'и('.('('и н П!Я1ВЬН* 'И»СТИ,* а„Х, »Н НГЬГ2 -; .... + П(»Х» = 6! -- П», Е)Х»,1 — .... — Н!«Хл: аз)х! 1- а22ха 1 ...
1 а»')Ь вЂ” ' 1)2 — а).е(!х»л.'1 . -- Паеехее а1!и1 + а12и2 + + а1 ил — 61: а21 и1 1- а22и2 Ел .. + а2лил л- 62» (!)д1и! + алеви2 + . -. ! Е!(Еее)ил =- Ьел Вычитая ик посл(лшгго столбца матрицы В первый», умноженный на и», вгоРой, Умпожеппый на из, и так 2(!шее Ло ил, иолу )им эккиВВЛ(п! ! Пу)о матрицу а!1 а)2 ... Е!1„) 0 а21 а22 ... азл! О 1 Е(тл1 алея ° аетеее ) д)!?! Но«ОООЙ т ((.'1 =- «(В). 11О !кап« м) «рицы С' ряв()п также 1иии у матришя А. тяк как все непулев!Ве хпшоры матрицы (" равпы соответствукяцим мииорам матрицы А и обратно.
ЛЕ)Е:та!Г)ОЧ)(а(ттп(л ПуетЬ Г(В) =- Г(А) = Г И ПеетЬ Ляя ОП!К. лел«ииости. базисный минор О матрицы А расположен в левом верхнем у»лу: 1а»! П)2 ... а)г а(ц а22 ., а)л а»1 а)2 . Пе-, 1О1'ла иерю н'. т стро~ матрицы )1 ли)шйпо пезаяисимь1, я остяльньн' тп — Г липейпО ныражак)чся '1ере;1 пих, тО121я и ПОс)н»дии() т —. Г ураин*.иий системы являнптя лииейиыми комбииациялп» первых «уравиепий. В ?ггом (лу !Ве до(»гата ин) ре)пить лишь первые ! Уравиепий. Их решения будут актоматиче(ки уловляя творять тп — г (к:тавших( я уравп("пий. а !Х1 '"'а 2Х2" ° ° +а "Г» — 1т ° "а ..1Г.»1 ' ° ° .
а Г Ут)рааниее)сие а.(). Пуси пт =- и и 'А, '== О. «Окажите. по ( сли сил( мя сонм(сы»я. то оия »копре)Л(л«шшя. 1'яссмотрим примеры решения сии!Тм урнкш(пий. 2! -1-22 +.32» — 2. Х» †.Г) ) Х,( —" 0: Пример М. б. „«ля ( пстемь! имеем «1 Т 3Х2 — хх =-" -2:, 3 1'1+ 4 Г) Е- 31'» =- О 3 г(А) -.-- 3. )'(В) =-:) (ба»исиый минор '1 -1 ! .—. 1.1 .т! О), 3 сг((2(О(»зтееи ПО. сист('мя совмссп()1я и Ои«х',*и'леи1шя, «Р» »н'рнь»х трех уран!н пий полу нн м 2 1 —.— — 1. з 2 .--= О..г» == 1.
:г! 1- 2ха ! 3.Г;1 — .г,! --' О," Х1 Х2 1- 2-',1 -)- ';е" 1 =- 4; х) -!:).«2 Ч )х»! — «х.( =' — '1: Х1 -1 еле.«2 -1. (.12! — 72)1 == — Й При мер 2. 7.;.«.Ея ( истомы ( м г(А» ==. 2, !.(В) .— --. 2. Гиу(оке(!(Лыш. ( ис)( мн сонмесг!шя и, так Р«1пнв я)ту ( н(тему Отиосителын) х!, Х2, .... Х».!Н(прим(р по формулам Крамера„получим кь!ряж( ния тьля,) 1.;«2, .....г» ире» 61.6),, ..Ь» и л(ъаба(1)еые,' ие(ела((тти(н!»» хе.~ 1..!»»1)....,.т»,. 1. е. Нолучкм нбн(нс ре-ан'ннл ( н(тпе'шы.
Прн;н)к(»?! штб(;(ным )н- ИПВЕС»ИЫХ! .Г, 1..1:,, 2...., Хл Прон»ВОЛЬНЬН*.»ия:и Ипя, будЕМ ПО- :(у п)ль прп ятом (оотве»("и!У(оп(ие:!пачения «яланных нш(.шггтя- ЕИЯЗ» Х», .'Гз..... Х» И, '»НЯЧИТ. 'Ш(1 ИЬН' РЕ»Н!Е*ИИ?! ( И«ТЕ М!1. Э ГО (Л»'- чай сокм(етний н(опрел(леипой си«темь!. И квк т — — 2 < 4 == и, псонред(лепная. Е)кззи(ный лншор --1 = --3 ф О, и из первых двух уракнений находим общее ршкснис 8 5 4 2 системы хз --,*хз:Г!» «2 =.;", 1з + 2 ! ° 3 3' ''' 3 3'' «1 + 2«2 + 3,ГЗ вЂ” .'Гз = О; х'1 -- 2» + хз + 2 Г( .=- 4: Прняьер 2.8. Д!я сиен!мы «1 + 5>:Гз» + 5«з -- 4«.! =. -4; .11+ 6«2+ 7«31 — 7л.,! -= 6 г(А) =. 2, г(1») = 3 и.
слсдовктс'лько» сис.п ма нссовм( гтная. Ркссм(?трим тенерь Однороднузо си(тему урккнсннй! а1 ! х! + а>ах» + ... + аз„.г„:.= 0; а»1«1+ ах х»+ ... + а>„.Г„=- О; а»»»1:1:! + О>»>22»1 + "- ? ачкк:Га =- О. ОднО1к)днь3(' системы Вс()!дв СОВмсстны, Гкк ккк !к:(*Гдк име('тгя, например„нулевое решение.тз = О, х» = О, ...,:г„== О. Это следует также из критерия совместности» гак ккк для однородной сист( мы 3 (В) =- т(А).
Вз,зя(зиим, к(ида однородная сист(ьзш является нсопрет(ел(зннОЙ. т. сч крОМ(" пзл(»НОГО им(зст!' ('Нн! и ненул(*кы(' рен!ения. Теорема 2.6.,.'.!Дя тог(> тгобы одноро)зная синг(зма уравнений с и и('и!в(з("изыми имс*лв ненуз!СВые рюш!пик, 31СООхОдимо и ;(остато шо, чтобьз раиг т сс матрицы коз()~фини( зггов был мсиьшс и. Дока.зитт!етьгтт!Но. Если г = >1, !о но 'г(к>реме 14ркмера (зистс- 1131 имеет един( тк( ннос*, (нулс !И>с ) рси>шни(>, сз!Ст(озз(зг( =!Вне, (слн система иместг вену)!с(зо(' ренн»ние» то т < л.
С ц>угой стороны, если г < и, то из доказкпзль(зткакрнтерия гокм(стнсэсти(лсдуст, !то система будет н(.определенной, т. с. будет иметь и нсну:и;кыс р('пи> н и я . а Управ!сиенце 2.70. 1!(пользуя порему 2.5 и следствие из т(заремы о ранге мктрнцы, доккж ите следуки дую теорему. Теорема 2.6. Для того чтобы одиар(>дная сисп*ма п линейш,зх уркшк ний с и кепки(»стными обладала н( нулевыми р(нп*,пнями.
необходимо и достаточно, чтобы ее онредслите'и был ракен ПУХ!К>. Угзроо(сттение 2. т «. Ировсрьт(' непосрз дсткснно нодсткновкой, что любая лшнйнвя комбиикния решений однородной (и('.т('и!»! лнн('!!ных Я)811>зений 'Гвкж(з буДст ('(3 1Я)зп(зниех!. Определение 2.4..'! шзейно и( зависимкя система рени иий и,'о(О1Х>>!ПОЙ (знстсы>1 )ртзззи( нш! Пвзьзкк(зтся (!>рнста»мснвале най, если каждое !Кзнн нис системы уравнений является ли>кзйной комоинкци( Й ')"Гих 1к ш( 3>кй. Теорема 2.7 (о сугцествовании фундаментальных систем решений). Если ринг г матрицы кокффзщиснток сш"Гс мы о;(нородпых урашн ннй мсиьшс !и(ла знзи з!я (тньгх т>, то чтк (.И("п*мк урквзшний Облвдкет ф?ндвм(ззг>1>зн.н!(хн( систсзмкмн рс.- шешзй. »!ока(за>3>(озт»стт)(зс>.
1!у(ть т(А) .=- г < Гк гд( А матрзсцв козффициснток счк.темьз, и пусть, для онределсиности» бв:зисный минор тт Порядки г стаи! в лс(зом верхнем уг:зу матрицы: а!1 а!» !а(1 ... аз, 1 А == ..........,...; 7,) — — .....,....... фО. а»»»1 и»»»» ~а>! . «»»( 11ОСЗИЗ НерЕНОСВ СВОбОДНЫХ НСИНВССтНЬ>Х Х„,з. Х, >»..... Хк зшрвых г з'рккзи',ний сис?(змы к нрвзз>кз '!исти зн)лу*!Им ')ккиввлснтнук) шк тему аззхз+ а)2«2+... + Оз„х, .-.= — аз, ! >хгзз — ...
— аз„х„: «23«1 '+ а22«2 + ° + а2»Х» ' а2»»!«»'? ! ' П2»» Г(>' аз.!.Гз + а,.з.гт +, . + Н„»..15 == -аз. ГЗ.!«„>.1 --... и»»».'Г>». 1'(чниВ яту сист(зму нри;знк и'киях !и'изк(х'"пзых «»».! =- 1, :Г» 2 =-О...,, х»> =".О, иозз>Д1им с(к)тв(>ге!!!у>оннпз ".шк'изпия х! = а1» .Г2 =- из, ...,:г, ---- с(,;(ля первых т.
И(*и 11>ссгиых. Это дает строку решение и( ходкой сш:тсмьз гз(азлхз.....а,,1.0, ...,О). Ан(з?!оси'н!и, 16)идкВзя (И3ободным нсизк('стн1»!и *.и!Вчения х». =- О,х>(2 = 1,«гез ---. О, ...,.г„=- О, вычислим соответствующие ша и"нил пепквсспн зх хз -= 3)1,«2 = (42», ...,:г,, =-. !(>. и полу шм сз року решение с» = — (361,(32....,36 .О. 1.
О, ..., 0) 70 аь а) ... и„ ! О ... 0 Р2 .Р, 01...0 уь у)." у,. 00 х =- г„+ с!Г<-3 с2га+... + С»е»., $ :т е(01,02, ...,0<,33Г»1, ...,0„,) :1егко видсгьч *по Г!) =- (01.02......0„,0,0, ...,О) и„:<начит, )г.э!~ 1 + 0~ ! 2<!2 +... + 1!р !»Г'3;. .с Г, <Г <»т2 ! 2 + . + ~!)ап Гп "п~ х =- ('ьс'1 т Г 2е2 +... + с:».сы 73 н т.д.
'11(ким образом найдем ! = и — г решений системы од»к)- !юдных уравнений. Эти й р<*шеиий между собой ььинейно и("тви- симьь, так как ранг образованной ььми матрицы из А ст(кэк в точности равен 3(. 11Оквжем. *(тО 1)()шсния Г 1, (12, ..., Г'.». Тействите)1ьиО ()бргаьук)т фундаментальнукэ систему. Для этого си:талось покат!!Гь ь, что каждое рени)ние однородной Г истемы линейно выражается через Г 3„( ).....(».. Итак, нусть нроизвсин нос решение системы однородных уравнений. Рассмотрим строку Г!) ==- с —.
0,1)еь — О,. ~ "„—... — (3„С».. И !аж<' яи?ья(се(я 1?ЕНИ)1?ИЕХ! СИСТЕМ)1. 1ВК КВК ьиа Юиня СВОбо,»- пых неизвестных в с() раины О, го и знак!ния всех остальных неизвестных в гв равны О, т. с, ев . нулевая строка са =- с -. 0,,1<'1 — 3),.е2С2 — ... — О, »е„, =- О, Таким образом, общее р('и!ение од!И)1)одной системы лиш'й ных уравнений имеет вид где й = и, — !(А), <1,<?...,с!. фун»»ахьеьгг!Оььная система ренк!Иий, а гь, са..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
