Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 25
Текст из файла (страница 25)
что «(с) йз 0 и «(с) < О. В<( такие ()кр«*гпост)3, йыбрйнньп для каждой то*|ки и,з (а.Ы, обрй,зук)т покрытн< отр('зк)з [<3,. Ь) иптервйлйми, поскольку кйждйя то зкй о<(и'!кез прилад:н)жит одпому из и!птрвйлоп покрыгия, й ие.н'нпО . сВО<'Й Ок(м)('тно("ги. В силу т<"оремы 3А5 нз этого покрыл'ия можпо Вь|„:н лить ко!и! Пкн подпокрытис, т. с, коне шый набор окрестпосп й покрывйкицих отр<'.зок (а.
Ь[. В каждой и:з этих акр< спюстей 1!(эз) верпо Неравенство 3«(х)[ .. <:, Положим Т(н'дй для л|обо< о х и'з отр<'жа [а. Ь! 6удст выполнено перйвсн("пзо [«(е<)[ '- с, *по и;.и)кй|зыййет теорему. В Итвк, множества знй и ний фуншеии «(х). Испрсрывпой ий отрезке (<3. Ь). ограни" и по сзя рху и спп'зу.
".Зна*<ит, сущ<*стнузот то*зньи) Верхняя н Нижняя |'рйн)3 »!« =- Япр(«(х)) и пе .=- ш!(«(г)) . <„ь! '3»»,3»3 «(Оюзж<'м т<)п(*рь, ч ТО Эти Вслнчи!п»! Лос"п<!'В)отся нй Отрезкс [а» Ь[ (гк<..г()Орех!у 3.38), т. <!. :! г|,х' 6 !а,Ь! . «(3<) — пи «(ха) '= Ле ,'.(Оке!а<)Не<а!( спе<зо. !!усть, например, не лостпгаепя то шйя верхняя гршп Л1, г.с. Ии В <жной точке очрезкй !а»Ь[ «(г) не союгйдйет с Л«, Поскольку всегда «(х) .- ЛХ. Пй !а» Ь! «(х) < ЛХ. ! СйсмОтрим фупкцРПО '+гй Функцю| нй [а, Ь1 ПОЛОж|гп льнй н н( прсрьпзпа (:шймс1|йт(ль и(.
Ойрйщй<'тся В нуль). 1<н лй. Кйк гое!ько гго Оыло !3»)к)3(зе(по, онй, огрйпичсий ий [а-Ь). В ннтгности» 3(' > 0: (ух 6,'<3.1)1»»к 9(,г) =. (Л 1 Ио зто озшшйет» по М -- —, одпй из верхпих грйнзщ множе(' ггнй <!«((03). И|нзче, пйн!:!Вс! В<рхияя грги!Нцй» к(порвя меньш<. нйименьш( Й из в(рхпих гр;шип Л«. Это невозможпо. ('.Лез!о!333- т(. !ьнО, нише !!роте!золоже!3!<е )!Ож)!О и (уи«<ству<гг то <кй нй [а, 61, и кото!Я)Й знй1<ни<) «(х) <Оеи|йдги!т с Л!.
ДЛЯ ТО*ШОЙ НИЖН«й ГРП)|И ДОКйзй|ЕЛЬСТВО йНй.!!О| И ШО. ° Теперь докажем теорему о пу.п! ((.м. теорему 3.39). Пусть фупкпия «(х) непрерывна нй !а. Ь[ и нй конпйх этого отр('зкй принимйет пптчепия протииополо)кных знаков. Докажем, по тогда пййдстся то |кй хй 6 [а. Ь[. в )опорой «(.<В) .=- О. Дох!а,з<е)езс»!ьсге!Во. Разделим отре'зок [а.Ь', попо|!Вы и выберем ту пот!Оезинуч у которой пзйчения 1(х) пй кош<йх противоположны пО зййк»:: О6Оз|<й'1им с<". 'и!р<сз (а», Ьз) '((.'По<!в <" п|1 и зж 'и'О (а|, Ь|) — — — [а„Ь[).
Рйздслим (а». Ь») по!(оле(з!. вш)вь Выберем ту по- :низину, пй кое<цйх которой ())упкция «(,г) принимйег зпв и)ния, иротивопо:к)жпые по знаку, и т, д. Визможнь| двй 3)йрпшпж либо нй каком-то айге очеред)пгя то*|кй;их»|ения окажется нул< м функции«(:г) и имепно ее примем зй ха, лиоо про|<осе бу|3(зт про)<олжйп <я нс<н рйпи и'пп» и тот;зй полу|им систему вложенпых отрезков (а„,ь„,[, длипы когорых ('ТР<.'М)1Т(Я К НУЛЮ.
й И1й'!ИТ. СУЩССТВ)ЕТ ТО'1Кй (", ПРИ1ГВДЛ("Жйп<ВЯ ВСЕМ ОТРСЗКВМ. ЯСНО, ЧТО П(КГ!ЕГИ)йй1<):,П,НОСТЬ сходится к < (докйжип з!О!). Выберем из (3.60) подиоследовй|с)|ы|Ость то !Вк, 13 ко|орых «(х) положит(ельнй и Обознй |их| эту ПОДНОС.И ЛОВИТ< ЛЬИОСТЬ 'К Р(З (Х,) («(Х е) )Я 0). ЙПВЛ(И'И*П10 В|3- 6ерем из (3.60) подпосзидошпельно(ть (х„): «(хее) с. О, П<яу!сдовйтсльностп (х,'») и (.г'„) сходят< я к с кйк по;шоследовйтельности сходящейся к с последовательности (3.60). Ио «(х) непр('- РЫВПВ В '1 О'(КС С.
Зий !И'1; и !!Из !'(,3,',) .== «<с). (3.61) »» --,к, «(х,",) яе О. Применив теор('му о переход( к пр(делу и псрйзк нствйх, полу*шм и:! (3.61), что У х 6 р<,.Ь! «(.г):- ˫— Г' 16) это ошйчй< т, по «(с) = 0 и мы полйпи м .<а =- <.
Отьн тим, *по теор( мй о ну> и служ>п Осиоиой Одпого из хнгсодои 1О>иблнжсч(ного нйхожд('ния кор!и'.Й >3>йвгн'ния Вида «(х) --- О, !Гце «(х) ненрс рывнйя НВ некотором и(В)ысж>дгк( функция. Если Нельзя ПВЙТИ кор(нь то!Но, по нйм удй(тся О!Оя дсли (ь О»р(тзок (а, Ь), сод( ржйший . !Н>пь Один иском(!Й корен>, и !Икай. ) 'пс) НВ ('(О КОицйх /(х) принимгн'1' зни'нния нрОтиВО>н>(н>жиых знаков, го можно нримсчпп'и ту ж(' процедуру дсзн"ния отр(гзкй пОПОлйм, 'ГГО и В дОкгазйтсч!ьс'тнс' т(о)к',мы О пуле. 1'(лш 1'р('.6>(>тся нйй!и кО)к'нь (' и>'ин)стьн> „:ю е, тО лО(тйтО'пн> Вь>брать Г(п' отр((зон,ао, Ь(«) «длина которо) О меиьпн.
ю,')й (О)иближ( иио(" знйчепие корпя можно ьхшть сер(дину чтото отр(:зкй. Суннит!>у>ог ;СруГНО, 6Ол((1 'зфф("ктииньнь мстОдьг щн16>сгижспнОГО ийхОжд('- иия корней. ко«п)рьн" бу;!Гг ргитмотреиы дион*,с. 1(йк(н!(ц. 5(<»сг>жез! Нос,н,си!Он) »сор(*ыу О гом. Гп> Облгнть знйчений иаир( рышюй (ш )а, Ь> функции «(х) совпадает ( отр('зком (ш,ЛХ>, 1>дс и> == !Н1(«(.!)), В Л1 —. Впр(.1(г)) (см. теор(- му 3,40), До>(аг>и>ое(ыспн>о. Б самом деле. П>ело т Вто нйнм('ньше(* из Возможных з!ш н'иий «(.1) нй )а, Ь!.
и ЛХ ' (е пйибольин(. шйчешн ПВ (П.Ь). Зий п(т, зй Пределами отре:зкй (ю., ЛХ) и( можст быть значений функции Х(.г), (сгзк мь( голько по Видели. сймн зийчсния >п и ЛХ припимйются функцией «(.г) ий )а.!)). 1!Озьм(«к! тсиерь произвольное июло с: ш -: с с Л1 и рис(м >трим Вспомоппсльную функци!О д(.г) — Х(.г) — с. 11! !Гя«ром точки х>, х,'= (а. Ь) (пусп для с>пр(дел( нноеп! :с! С..»2)". «(н'1) '-" П1 «(ха) '-=- ЛХ н рй(хгмотрим отр(*зок (: 1.
хз) (: )а. Ь). !1(1 >п>м отр('зк( д(.») неире- Р)«(ВНВ И. КРОМ(' 'ПН'О„Я»1Ю« 'П'О д(х>) < О«д(.га) л О. 3ийчит. ( Ушесс»ВУет то" гкй х,> 6 (г> 1.,» ): (Х(хо) = О. Цо зто о зно ш'т, *" «(хо) -- '. 13 силу нроизиольиости с полу нн м. что н(сь Отрезок (ш. ЛХ! хиполгн н зив >сииямн «(.г). что и )ребоигь!Ою, докйлйть.
(В Глава 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 4.1. Дифференцируемость, производная, дифференциал 1).з! ОЙ ! ЛйВ( ОВ(( мог)зпх(())>«и>сции, ОГО)сдал( нныс В н(>кОтОЙОЙ Ок(Я Стиости точки хи. 11)шг! функция «(х) сирс>((1)и>ий В 1)(хо).
11!5(д(ех! ООО:знВ'и>ния: (хх =- х -- г>го, .сл>1 = «(х) — «(хо). (4.1) Определение 4.1. ХХ))о(>з(зобо!1 фуикнии «(х) В точке.го НВ- зыийется предел г «лд «г(ХВ) =- ЙШ (4.2) Ля — о схх (111 ( г(ругие обозпй (сипя нроизиоднои: д . — — ',) ей>метик(. по нри изменеш!и с)>х меняется х. В .го остается >НК" П>Я и Н ! СМ. Из (4.2) немеллеиио (.че,густ, что фуикция. Нрипимйкяийя постоянное зий.и нис В (г(хо), имс('г Произнодную В то зке .го, рйвиук> нул>о: Он « — О, и функция д —.
х име(т В лк)6ой точке ироиз>юдиук>„ргзипую ( дипице: х' =.= !. Рйстмотрим т( Перь ирои.изольную лиисйнун> функции> д = >(х -(- В. Пу( ть В точке а;с, ее шй н>иие рйипо до. до =- Лгг(> (- 1), '1О»дй. «> (с(«н>сио д -- до:= Й(х — .г(>). т. (ь л>11 '= АЛх. (4.3) ,(1ег!(о Видегь, что и обри пи). (ели (4.3) Вьшо:шяется цри )Набом (лх, и> ф(«икция д(х) )ппн'Йпйя, Можно ш>сю>лько ослабить гр(6ониния к функции, донускйя, что рйнепгтио (4.3) Выиолп)н тся и( то шо, а «В !Мйиномь при МВ- лых с)хл !аким образом, приходим к сл(дукнцсму оиреде>нчш!о.
«.«.« Оиредслони(э 4,2. Функция у =- ) (х) !3<с<ьива<'т(ээ! ()!(Ф(3)(2)< «- Пиру((май а то (ке хн, (гэш и иск порой окресп(ости (7(.гн! Гирансллин(в го<гпиип< пие Ьу — —. ЛЬэ И с(Ьх), или Л)3:=- ЛЬ.): + и(Ьл:)(хх, (де 1пи и((лх) =- О.
.'(Х- « Сэи((а( мо( у)Л(т. 1.(е коаффицие!п А эи) ианисит(п ()х, на <ынакэт гэи!(вн(э!3 э(3!)1( !733()37 иэ(т)3(вк) прираи(ения (х<д илн д~ф))е!)113333)пл<ь(! (обои!(н «3П!«с дп). Заче(и(3!<((е, .!иигепеая 4)ункпия,(ийк()сренцируема а(побей )О"(к . 'лифф1' 1:: 131 .» лэ ' р 1 П1" !«к) Ау г) <к)лу:)ж э гя. <)еэ!33 (4.4) та(нкпо ь а ниле 34. 1). ««лги ая х(Лх) =- И. ра:3ухн ется. да.н ко !и* кажлая Функция яиляется ли()к)к Рени(!1)уех((вп.
11!!)и-ив(х! те!и Рь < ня:)ь меж,п л 3(()(31)( реи!э)(русы<в("! (,кв ф) нкции а то (к<" эн и ее н< 3!1« рьигиоп(! к) н пой гонке, а также межхьу э(иф((эе)э()ицв)РУ( мо< и (о и г(пи)к ! Я<эю! эи«м !)Р(вн333(огц)ой ) ( г(33). Би)3 !ало уггапоним. как эаи!«жига<'!тя Опрсдс.«н!и ип!Рсрь!иное!и н"роз и )131)а)ц('н(!э! .).Г н (.)гп () и'нидпо. (Принс (лвп5Ы ('л<" ЛУВОИ(ИЕ СОО! НО!ПЕНИ: 1(и) 7 (33! =- ) (!5<)) -,- й!«( 3<х) — )(эсэ) ==- й еэ 1ип Ьу =- 3). х -г«г «в ' ' ' ги!" И Ганям Обрьхэох1, дан)«к Р«1«е ОИ1Я';и э«н!«П<н(реры131«к ги ())унк- цпп 7 1!.Г) и тО 1к( .Г(, и 3«вы,1х Оо(у(ии и ((иях иьпэ(я„ип так: 1ип Л!3; — 1!. Теорема 4.1. Еглп ф) ик(и(я .1«<рферепцируема н го !ке.
)о она !Пи)р<эрыпин н -пой ТО !к . .(окалан ль(тно дги!Иой теоремы О и !3!3,(но. гак как и! (1..1) с. «*..(ч("г 14.йв ). Э!Т< теор( ма но«<)эи и!нет, 'по т!и бо!)аи)3<э „'.Ии))ферп(пиру( хи)- ('! и ги,и,и< е ! Ребонания н(*3!1)с)вы()н(эе ! и. Теоре3к(а 4.2. Груикци)1 эг(«г) дифф()кипи)вуек!а и то ип; хн т(вгда и голько тогда. когда Опа имеет а и) !к( хн иропииолнУ!о. Д(вк(!(3(вп)(О!35(513!<(о. „1('й("'пвит(лыки 1)усть д = 7 (х) диффсренцирэ( ма, н то'(к<1 х!3. 1огда нь!ПО)И1я("тгя (-.1.4), Поэпэ )нм обе *1астн 1)пи( игтна па Лх: 1Ь рейн м к ирсилу н 116) 3!1)и лы -* 0 и иолу !Им ()<)ж(ио, иу< !и (';и(е< 1!33(т )'(э<3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
