Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1Л!). Итак, теперь можно отв< тить ыракти ы*ски на Все вопросы о поведении !рафикафункцпи д =- «(г): Пыре;нлить иозрастапиеи '> бы15ашп' Графика, его Вьзпукло<. 'Гь, тОчки ЛОкй.*!ьыОГО акст1измума и точки перегиба. Чтобы зписршить чту тему, Введем понятие ><(зк»зо><>зо(! Вхалт(пвтм графика. Под и<й буд(м понимать ыаклОннук) пр)!Ыую, пакук), 'ПО разнОсть Ординат Графика и 'ЛО1$ прямой В точке:г будет < тремпться к ыулк> при х - к). Теорема 4,14. лз(ля того Зп>бы график фупкции д =- «(зг) обладал иаклопной асям!гготой, необходимо и достаго пн). побы < ущестаоыали слсдун)!цис даа пр< дела: «(Х) 1!из — ' —,=..
д и йш («(зз:) — !Лз) =- Ь. (4х37) .7=»О 1!ри ятом ураяпсиис ги имытоты имеет Вид Докт)ГЗПЗ)зсэьс7)1(>О. В ГВЫОЫ д(чп), пусть у 1'рафика иьп;("Гся иа" к)ю!знж) а<зилзптотя. !о!у(>э В силу (ч) Озцм'.'$('ления ('прз!!!ел)зиВО соотн(пп<чпзе «(ззз) = дз 4 Ь+ <((.Г), гд( !1Н! П(х) =-- О. (4.,'!0) Под<.зи)5 Обе Засти (>1.39) на х н и( р<зйдя к пред<яд $1!)и х — ~ Ос. получим перв<из соопюпзеши и5 (4.37).
Вычитая из «(х) слагаемое дх и спояа переходя к пределу пры зг:х;, получим Второе соотнопизпис и:5 (4.37). Столь же легко доказывается и обратное утверждение: если сущестиуют оба пр< дела (4 !7), то п1измая (4.:18) я!О!Весси аеикпзтотой !рафика !) =- «(Х) (10)оаедите доказательстао само<тоятсльио), Нужно (пгм(»тить, что, вообще говоря, следует отдельно искать асимптоту при х — > +ос и х -- --ск., по<*.кольку !юведенис фуикции на л+оо» и на < — си» может бьгп, соверпнзныо разным. И липп для рациона!и нык функций можно быль уисреныым, что, сели наклонная асимзпота есть, то она одна и та же как на «+со», так и на» -Оо . ° Пусп фуыкция д =- «(.Г) дифферснциру( ма В точке хзз, Формулу (4А) урзя <( Приращения кюжно пер("писать В таком Ви;и «(1') - «(:го) =- «(го)(1'.
ХВ) д о(х — х<з) при х .— >.Г<>, «(Х) == «(хо) 1- «(хо)(х — ха) + о(х — хе), (4.40) Формулу ж<' (4.40) можно интерыр!Ггироаать так: функция «(х) в ок0( спп>стп гочки ха приближеныо равиа некоторому ми(н шиз<и иу ысрзюго порядка, В погрепп(ость такого приближшзия стр(. мит('я к нулн> быстрыч чем х — хп при х -,га, Но задгсзу о приближ(аши функции ми(ы-очлсном можно по("Зйаить пс тОлькО урш ынО!'О'Зл(зна, и('.ОНОГО п<ц>>здка, ПО и д.,зя мззоз'О'Зл('иа лк)бОЗ'(> НО!лидка )>.
Прсдиаритсльпо Во:и мсм произяольный мпогочлен и-го по- 1)ядка 7?>З(з!>) ==- Ь<>+ Ьзх+. + Ь„.з™ (4.41) и Запппизм его В другой, Йэ,че<з у)(об>!!ой <)эормс. 1",,(: 1) =: а1. И ОНЯТ1 НОДСтавиМ Х =-' Хо! Х,(хо) = 2аа, (4.52) Р.„'"'(хо) ас, = —" — ', 11==1,2, ...,и. И (4. 45) (4.40) 165 Положим 4 -= х --хо, т. с. х .= Хо+ ! и подставим это выражение Нся х в (4.41): Р (1) --= ба+ 111(хо+1) хг(Ыго+6) +.- +б (.го+1)а (442) Раскрыв скобки в (4.42) и приведя нодобнью члены, получим Р,(!) =' ао + а11 + . + си,! Возвращаясь к прежней персмеш1ой, находим Р (х) -- +а1(х —.;т )+ + (' — ХОЮ (4.43) „1. Представление (4.43) имеет перед (4.41) то преимущество„что здесь каждое слагаемое прн х — сго с тремится к нугпо со своей, отличной сгг 11ругих, скоростью.
Выясним теперь, как связаны козффиниенты аь в (4.43) с нрОизВ11,'!ными М1юГОчлена 1 а (х) в тО'1ке х:о. Очс1виднс1, "сто нов = Р(х ) Пр д ффс'1 . ц руь1(4.43): Х",,(х) =- с!1+2аа(х — хо)+За!(х — хо) + +на„(х — хо)" ' (4.44) и ИОдставим В нову'нсниое вьц1ажеги11' х = хо.
ТО! да Продифференцируем (4.44): Ы- О! 1",,'(1) =- 2ао + 3 . 2аз(х — .го) +... + а(н — 1)а,„(х — хо) '" Продолжая действовать подобным образам, можно установить следующую формулу: Теперь многочлен (4.43) можно записать в виде Р„,~(х11) Р„(г) == Х-'„(.го) + 1",,(то)(сг — хо) + — "-'-:,— '(х — хо) 41 йа! Ха (1о) ..
+ ' (т, — хо)". и! Л генерь в!!рвемся к н;щнсй зада*се. Т1кб~с*тся найти такой мно- го 1лсн н-го порядка Р„(х), для которого нрн х = хо выполня- лось бы 1 Оотноищн ис' Х(х) = Р„(,г) + с((х —,го)"), или, и 1И1звернутом Виде, Х(х) = — сцо+ а1(х -- хо) + + а.„(х -- хо)" + о((х — хо)"). (4.47) Теорема 4Л5. Для зада!гной с)1ункссии Х(х) су!Иествуе! Нс' болес одного многочлсна, удовлетворяющего условию (4.47). Д11иазагасесгьстссс1, В псмом деле', пусть наря су с 1'„(:г) есть с асс Один мносочлсн сХ„(х') = бо -+- 61(х — хо) ч ' ' ' + бх (х ' хо) 11!кой.
!то Х(,г) =- бо 1- Ь1(т — хо) чг . + 6„(х — хо)а -Ь о((х — А!1)"). (4,48) Перепишем (4.47) и (4.48), раскрыв символы о((х' — хс1)"'): 1(х)=ао+ а1(х — хо) + . + а, (х — хо)'+ а(х)(х — хо)", (4.40) У(х)=6 +11( — го)+ '; 6„(. — Хо)" +()(: )(х — о)"'. (4.50) .')лесов и(х) и 3(о.) бесконс ню малые нрн х - .го. Вычитал (4.50) ис(1.49), пооучим (ао — бо) т (а! — 61)(х — хо) + .. + (а„— б„,)(х — .го)" + (! 51) х у(х)(х — хо) = О где у(х) =--. х(х) — р(.г) 15111:ноас* шо мал!о!. Полагая х == .го в (4.51).
получим, тго ао =. Ьо, и равенство (4.51) нрнмст вид (ас — 61)(х --:го) + (аа —. 61)(г —. хо) +" . + (а„— 6„)(х -- хо)в + у(х)(х — х11)" =- О. 1'о:сдс лим ООс; !асти (4..12) на (х -,1,1) н устрс'мнм х к;1 о. Найдссм, "пю а! —.- 61. Продолжая дсйствова и подобным обргасом. асс мню- ВИМ, '1ТО ас. == 61„6 =- О. 1...., н.
сто н Очна 18ет совнадение Х-„(х) с а„(.г). Рассмотрим простой!иис функинн ~ос(х) =- (х — хо)"'. 5(ы ви„1нм, сто, с одной стороны, с нравсдливы соопюни1ния уз(, ц) =-0» »уо(хо) =- Ра(.!11) == О. <(>,!(Хо) =- »у;(хо) =- »(>~,(,г<)) == (», (4.54) а с дРУГой стО(м)ны, з!Рз! х — -» хц »(>х(.з ) = о(г -- хо).
»у>!(Х) =- о((»г -. 71<)) 1, »Ув(:1.) =»'((:з:--: )' ~) ('(х) — 7"„(.1 ) =- о[(.17 — хо)"), (4.56) Зогда нри х — » хц (4.57) (4.5)6) (о — 3) . 'у!.(хо) = 'з><-("<з) =- = 'уз (хц) = 0 Это не случайное сов!11!»З<"ззие. Сугцз)ствует тесная связь между кОлн'и)ствОм н»м)изВОдных некОтОр»>Й функции, Обрагцакяцих<'я В н»>з!» В тО'1к<' хо, и ско»ик'ГыО убь<Вчния зтон <)>ункции нри х — » хо. +!7) <ч)Я)Ь уетанаалииа»)7<я и СЛ<;З)ЮГД< й Нор< Не, КОТО- рую приводим здегь без докьо<ательства.
Теорема 4Л6. Пусть функция»()(.г) онредслена в окре<-пю- СГИ '!"О'ЗКИ Хо И УДОВЛЕТВОРЯ<Т <'ЛЕДУЗОИЗИМ У<"ЛОВНЯЫ: »у(хо) = о>(хо) = . — »()(~»(хц) =- 0 'у( ) = о(( —.- <З)") л генерь 10)едноложилз, зто функция 7(х) определ< на, в окРестности точки .го, а в самой этой точк»' име<)т и-к> ПРоизводнук> )»" »(хо).
Найдем многочлен и-го порядка 7м(! ). которь!й в окрестности то Зки хо точнее в< е! о Приближал бы ) (з>) в том смысле, по разность между 7'(х) и этим многочлгчи)м убыва.- ла бы бьигг»мзе всего нрн .г -* хзз. 3)!раз)ый смьил Подсказывает. 'ГГО с»иди Вссх мнОЗ О*!>ипОВ и-ГО п<ц)ядка тОчнею Вс<)! О Зц)иблнжать функцию будет тот, зна*и нне которого в то Зк< х<з совпадет с 7 (хо)» а такж< зна 11)!и!я Вс<зх <Го !Йм>и зво;.Зных до л-го по(>ядка включит<льно в точке хо будут равны энга«)ниям <оответствуюзцих ирои'!водных функции.
Иначе, »'(хо) — — "1'„(хц), 7'(1>о) =- 7,(хц)»..У<и»(хо) = 7<о»( 'о). (4.53) И<7 7<>гда, учитывая (4.-15), такой многочл<н одно:значно запи- ЗНСГСЯ В ВИД<" 7 (хо) 1 о 7„(:г) = /(хц) + )»~(.г<з)(.г — хц) + — — (х — хо) + '21.
У~ »(хо) + (х-хо)", и! Мз!Огоч)зе!з (4,51) нвловсм л<ноео з»з»!<ол< 7<»ЗЬ«>р»! н-зз»> )з»>»>л»»к»1, длл фг»нкдии ф(х) о нз»)чк»),го. теорема 4.17. пусть у функции 7(7г). онределезнюй в ОКРС<"! !«)< ти го !ки хо, и самой этой то !к<з СУ!ц!)с!'В)<'! и-Я 1)РО- изводнаЯ 7"(м) (.з:з)). То! Да ИРИ х — хц снРавеллива Ц>ОРмУла 7(.') =У(1 )+У'(1 )(х — )+" +,,' — (: —: )и+ 7'з" »(:гзз) +. ((:! — Хо)'", Фо»)к!узза (4.55) носит !<юваззн<7 формулы 751!лори л»17к»з заг»!с 7 ы)1 л Б»3.
Д<.'1»с!!)нте)зз»з!»>, рагсмОтрил1 функцию »(>(.з ) =. 7 (х) -- 7о(х ). И силу (4.53) для нге вынолняются ус,и>вия »(»(хо) .= у (:1'о) -'='. == »р (!О) =- 0. 11<» тогда в силу теоремы 4.16»у(х) =- о((х — хо)"). Ина и, Пер<'несем в (4.56) 7„(х) в правую часть и Получим (4.55) Отметим, что нрн хо == 0 (4.5>5) принимает вид 1(') =.И»)+ У'((»), + + — — —. "+ >(.") ~'"»(1») „ и.' и но<ъп название форлзрл<>м Мак ворона. Р;юность между функцией 7'(.17) и ее многочленом '1ейлора 7«(х) носит названн<* остаточн»>ао <лют, ги(х) фоРмУлы '1ей)юра.
Б формуле (4.55) этот остаточный ии)н занисан в виде о((х —:<О)"). И этом сл)'!Ги) го!зорят, что»>с)гг!о'из!ой !лен задан о фор»ис Пса)<»>. Стоит отметить. по»угцестаук>т и многие другие формы заниси остаточного члена. 11» рснини м <(м>рму)зу (4.57) для некоторых важных функций. ,*1)зя этОЗО п»мд!)Нрн!ельнО вьзя('ним как ВыГлядя!' Нх и.-<) п»м)из- ВОДНЬИ).
1»о-Первых, очевидно, Зго г е ,:»)Зм» 33' = 1)х" ', с)Люб що. (и, — 1)! (51:3 )! ' = — ( — 1)! (4.61) 4.7. Приложение~ (1п(1 3- х'))' ' =. ( — 1)" Если р == ВЗП х, то гу("'"1 — р'"'. (кш.г)! ' =- Кш (х +; и) . так как с при д!3(рфе)к)н(1131>О(3333!Ни пл меняегси. „1алсе, пусть д --- х". тоггда р" = р(р — 1)х" 2, 33'л =- р(р — 1!(р -- 2)х""31„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
