Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Н<'.ш р =- йг(1')п.); то;Г = В)1)у, по»(помт 1 1 1 1 (В11)р)'„(»()В 1У (/1 -- В)па р («1 (Ьр --,1' ,(Р Но В силу той ж( георемы -ф °; Значит, Е с с У( .= Ух хс <1У ==- у:Гс <11 = р,. (1(!', г>$0 (1Г т(нс1Н )же !и* <Оапйдй()т с )цпц»йпи)п)нм ехх, а НВ>)яс(- ('я диф())е'1к"нш!)1)10М ())ункцип .Г =' ~(1). 1йким Обри<>ОМ. фОрмулй ()1.8) сохрш(я(!Тся п<э.шиисимо от т01 О, >п>ля(тся ли х п<э(йВисимой перемеппой или п1кдстйаляет со(юй дифф( рс(щируемук> фрнкпи $0 Д1>У('Ой $$()Рек<('1$1(ОЙ. +10 ('НОГ1сп>О нйп )ВВК)$' !Н(<(а1>(!Вн)ссн(с(с>п) юэ эи)()крер(3!!!!!(Г»)$(1. Тши)рь пе1)ейдем к фуикциям, задйнн!»1м пйрйы(>Грич(ски. п>$и! ь задаиы две функции э =- (((1) и у = ф(1), апре,и>ленные !ю !ЦКОт01к>м 1<рОЫ(ж\ткс) 10,.6).:(1ОЖ(т Окалйтьея, чтО ' фрикции х' = с(э(1) им('<т('.я Обратная функция 1 ==' ь>(х).
Нодс1ВВНВ Зд<$< ь перед корнем кийдратньп( Выбрал положит(льнь)Й >пйк, поскольку пй Области и'ци'1К'ния йрксинуса кОсш1(с не)Отрицйт('- л('и. ° Формулы 1У 11» „(окажите сахикто>гпшьио. Вернемся ( щ(! ра.) к п(пштик) д>н(к)>( рс>(цн(м)$)ь Мы выяснили, что если функция р == 1 (х) дифф(репцируема и дшшой т(эчке) 10 для се 31ифф(эр('п1(ийла с!Ц)ВБС.1,;$НВВ ф01ю(уе)п1 $»1.11). НОД(чйиим теперь име(то х пскоторукэ диффершщируему(о фупкцию х =- 9(1). '!ОГДВ и (нг(у Г(Ор(мы 40) сэи)жпая фъ)(кЦиЯ р(1) — ) ()>(1)) 0(д(Г)' ди()и)ир(1$$(ирусмй и сооп)егп")иующ<Й ТО )кс и.
зпйчит, ее дифф( р( иций;$ меж)ю б(:$<>~г Вь( )ислять ПО формул(! э у функци30 Вместо аргумш та В ф(1). П(злу (им (лОжпу ) ())у((кцию от переменной х: у(;г) ==- ф(*э(х)). В епом случае говорят, ЧТО З!а ФУНКЦИЯ ОТ Х ЗВД»шй (ПЦ>йм(!ТР$1'И)СКИ (Т. (Ч ПОСРСДС 1 ВОМ $!арах((1$'р(1 1) системОГЕ рйВ(ч(с $'В .Г =- ср(1); (4.1<1) 1 у = ф(1), 1 ~ (а, 6). Нй(пй ц<ль нйу')ить()я иь)*п(сэ<ять Прои!Волну(0 у„чйкой фуикпии.
'Теорема 4.7 (о производной функции, заданной параметрически). !1усп* иа промежутке (а, 6) заданы дие (1>упк((и)3 У(1) и ф(1). удопл<тиоряк)щие следующим услоа(иям: 1),(1), ф(1) Е « "1 ((($, 1>)); 2) (7'(1) ~~ О па (а, 6). ГО1да гу($$0(")иэуе"Г <))()нкция у(х), зйдапнйя (шрйм(ГГрпчсски <' $$(эл!(>$$(ью раиспста (4.19); зта функш(я дифференцируема и;п(ь бОЙ тОчк1' ха. тйкОи) '1!т> .)о = ((>(10), !зи* 1е Е (П.Ь), причеэы (е' произв<>дпая Вы пц(шст<(я по форму;и! ф'(1В), у,' $1'(х()) =-,, или. 00;п)с. Нйгля,цю) р> =- — '';. (4.20) <с«'(10) ,с(гск($»атал!)т)а(э. Нери(я" у<лаки< ллппой теоремь( требует паж пений. 11од символом «н ((($,6)) понимает(я множ(стао В(ех функций. $$епрсрыип)(х (ш (и.
6) и им(к»п(их па ),0,6) пс)цхрь(В- нук» ирои (Води)ло. +го мпож< ство нош(т нй:шаиие еклж;с «.' па 1 (а,!э)»ь Таким образом, первое у<ловис т(оремы озий ш(т) что фупкции <1)(1), ф(1,) пспрсрь<впы пй промежутке ('а, 6) и пме(от па нем ие'(цк"р))ипы(' (ц)оп»иод)п пь Н (ч! Ту В)О!»010 у<ДОВия (и (цх рыВнйя фупкция с()'(1) $(и(дс!и; обращается В нуль па 1и, Ь(с, откуда с>$«1(ус!. пю она сохраня( ! па (П,,Ь) пост<апшый знак. 1СГ(ст(>итес<ь($(э, е(.ш бы, (ширим(-р) Нашлись ди( то (ки 1$,1» е (а,6). и которых (паки с(с'(1') были бы различны.
то по свой(тйу и(*прерыйпых функций па отрезке (1$, 1„1 С (и) 6) нашлось бы число 13, такое. и о <р~(133) =- О, а зто запрещ(но услоиием 2, Зпй (ит, пй Вс( м '(а, 6) либо <1)'(1) > О, либо рс(1) < О, откр»да (л(сду(т строгая м<пютоппость с(с(1) иа:са. 6) (см. подразд. -1. 3), По то(;(а для фупкцпп х = с()(1) Выполпспы Все условия тео1юх(ы 0 производной обрйтной функции (<эм, !00!к му 4.$»), и силу которой суще("тиуст обратная фуикция 1 = — ы(х), производная которой Вьп(исл>н тся по формуле 152 сэу «(г) — 1(хо) Л.ь',ь' " хо (4.22) эв е.
формулу (4.25!1), 156 1 ы (хо) = — — —, !де .Гсь = »(ь(1»ь). 1»ь (-. (а, 151. 7'(!»5) !1о„к танин эту функцрно вместо 1 в функцию у == »(ь(1) и применив теорему О прон:ЭВОдиай сдажной функции !'сМ, тсо!!ему 4.65), у р ° Ф'(1<!) у'(<! <5) — -- Ф'(1»ь) со'( гсь) -- (з(1<ь) —,— с(ь (1о) <о (1сэ) 4.4. Основные теоремы дифференциального исчисления 11 этом но цьазд< ле буду!.,сока раны три !ням< нитые тсжор» мы, нсьсящие нм»'ня Ф<51жса. 1 сэ:сля н, 1ЯГ1эянжя, а 'Гякж<', ИОсручешя вяжньн.
сл»уьетяия н 5 них. Вначя.н дадим сиди дссичннч Определение 4.3. Точка х»ь яв ин т< я .!с! ск»ы! Э<ряс!с»! Исысь эмакс:н мужа (я»с!я!с.»гусс!!) функции «(х), если ) 13(хсь): 'э'х Е 13(соь) =. «(!) ««'(хсь) («(:!.) =* «(Хо)). (4.21) Они<с!»' Нсы!5янис с»Окшрыьых макс!!с!ух!а и минимума локальный экттрс<иухь Ес:ш в нерйвенс твах (4.21) фигуриру»т ШаК ьиетрОГОГО Нсрансьнтаа .-ь ( ~3Я). то МЫ ГОВОРИМ СЬ т сн»15<!вол! .:Иькильн»ьк! экстремуме. И онреде„н нни бер< з< я нроко.ютяя ок1К спнкть, поскольку нсрши нс"пю «(г) ««(!с!) нс может, о и!видно, нынолнятыя нри .г =- .го. 11о, ряс!умоется.
«(х) сыс(ьс дс*лсч»а и в сямОй тО не .Гсь, ОО1эятнм сакжс ь5нимйннс, '!тО <!ели функция ОИ15<дсл»энй ня сь'!'1эе:,ькс (с»,15) и нриниъоиьт. допустим, мяксимальнос ша и ние в концевой .точке 6. то эч о нс подпадает нод онредс.н нис локального максимума. поскольку. хоть! «(.г) ««(Ь) для во< х х е !сс, 6), отли шых от 6, мы не сможем си<ро жить то*ску 6 окрестностью 1!(6).
Недиком ссьдержяьш йся в данном отрезке. 11оэтому сформулировашсяя,!алое тсоремя Ферма ня этот случай си' распростршпи тс я. Теорема 4.8 (теорема Ферма). 11усть функция «(х) имеет в то'ске хо локальный экстремум (6ьсть может. пестро! ий) и диффс !к ньшруемя в этой то ске. тогда «'(Гсь) =- !!. х(с!к»от<ив<у!!»с!асье. В счрьссьы;сел<». Иу<-рсч нян1эим<515, у «(х) В т<эчкс хсь им<",етси локальный максим! м, т.с, вьшо»ни!но (4.21).
Возьмем произвольное х б 1! (хсь). такое. гто з «:! о. То!да 1!Срейдя к пределу в эпом нс рявшнтве, получим ~у 1»ш — — = !Нн — -'- = «(.Го) =" й. д. и сэ:г а.»* о Лх Если Гсрн1эь вшп,:скь6О<! .г <'-. И!хо!. тякО<, сто х .Гсь, то, проводя аналоги шьи ряс<.уждения. получим Унн — -'- =. Вш — -'- =- «(хо) Э,- !6 Л.»' О ". Л.!' Ъ.|:О Э»,!" Из (4.22) и (1.23) с.
и;<ус т, по «ч(хо) =- О, Теорема 4.9 (теорема Ролля). Пусть задана функция «(х) удовлетворьнснцая слелукэщнм условиям: 1) «(х) непрерывна на Огрезкс (а, Ь,'; 2) «(х) дифференцирусма в интс рвяле (а, 15); 3) «(а) = «(6) . '1огдя существует точка с е (а, 6).
такая. что «'(г) =- !). Дськазсрсвссрьс!!асье. Действительно, по свойствам функций, и<, нрерывных ня сэг1яеске, Эх!, гя <= (с!. Ь,: 'У:т. Е ~в., 1ь) =' «(хь) .. «(Х) '". «(.г 'В (4.24) 11уст! Юсячялс Обс' тОчкр! х! и хэ нйхОДЭГься на ксэшсах ОТ1ихркя. Тогда из (4.24) и третьсьго условия теоремы немедленно сьсезсу<гг, что «'(,г) ностошша ня (сс, 15) и н качегтвс' то ски с мсэжно взять лкьбую точку интервала (а, 6). Пусть теперь хотя бы одна из то и к, нсрн155»л»е!ь .гр, прирнслдежит интервалу (а.
6). Тогда можно выбрать х!»О<у!с! окрестьиэсть 1.'(.г!). такунэ. по 11(х!) С (а.Ь). Зна"ист, в точке:г! у «(х) имеется лок<ьчьный мршимум, а тосэда но теореме Фсрмя «'(х!) = О. И!Йк, В кя сссГвс ГО ски с МОжнО Взрпь.г!. и Зайсечаррие. Второе условис теоремы не надо понимать так, что функцрся двффс"!киви!!у<в»я !Эссэ»рк»ь в ин.сс»1жй;я (»5,6), Она может быть, например, онред»сея!на и дифф< ренцвруемя вй всей числовой Оси. В ка" и ("1 Вс > ираж)и иия ир( длв) и м ')и )ат(',.чям 1)ь)яс)$П) ь, ио" "и>му теорема Ролла ие иримеиима к функции э,гэ иа отрс'зкс ( — 1: 1).
Теорема 4.10 (теорема Лагранжа). Пусть фуикцго) Е(:$.) удовлетворяет следу)ощи м условиям; 1) 1(х) иеирсрывиа иа отрезке [а, 61: 2) 1( г) дифф( рсщ)ирусма в интервале (а,. Ь). Тогда»уп1еству( т точка с. такая, что )(6) - $(<$) — — ----- - =,Е'(с). 6 — и 14. 25) Д»)квази)$)сэ)$«->и(з»>.
Введем В<люмопптлы)ую фуикиик> <Е>(;>) =- )(х) — )(<$) — л(х. а). (4. 261 )де ) пока ирои'звольиая ио(т<ии)иая. Оч<эзидио. что эта функция исирерь)виа иа отргзкс [а, Ь[, диффсрсицирусма в иитервал( (а, 6) и "у(а) =- О. Подберем в (1.26) такое значение Х (об(жиачим ()о Хо), поб)и <у(6) "гвкжс р)и!илло<1 1)улю; <(>(6) ==-,1(6) — ~(<з) — 11>(Ь вЂ” и) =- О. Откуда .Е(6) -" У(а) Ь вЂ” а Если иодстщзить это чи зчс)пи; л,) в формулу (4.26), то функция <))(х) будет удо)зл(г!')зор>гг) Все>з! тр(.'бО!агниям теОЕх'м1и 1 Олля. Хге гда в силу этой теоремы ч» б (а, 6): <э'(<.) =- О.
;><ело!)ив теоремы ие(колько вэбь)то шы. Ведь из либ><)кр<чщирусмо< "ги )(х) в иитсрызле (а. 6) следэтт ее иеирерывио< "<ь >з этом и>(с<рва.и.. Так что !«рвов у»лови( меж«о было бы эамсвять иа тр( боевике ис>цкрывиости )ири зем, Ощюси>роиисв) в коицсвых»очках от)к<!«а ,'а.6).
Одвак<> в 10>ив<лев«им раз«$е вид< ээ<>»<э!Ови(> более ил!. Оз и)о. во»тому тр>щшокизии тн>рема <)к>рмулируется им( изк) так. ДОК<кз<!)В(эзьсз)>(зо. ВО зь)исм дВ(. ИроизВОльиые тОчки х) и ха и 3 (а, Ь), такис, по х! с ха. Па отрезке 1х),<г„[ для )(х) выиолиеиы всс условия теоремы Лагравжа. ЕЗ ча(зт))ости, иеирсрывио<> гь иа [гз, хэ) слсттзих из диффсрси1\вру('мос <и. ПОэтОму ,Е(:г ) - )'(х)) э'с б (х).хэ). — — — — - — — — = ) (»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
