Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 30
Текст из файла (страница 30)
( ' )3 ~ =! (р- 1) .. (р — + 1)ха ". (4.5)(З) Закгет>(>3, по если р натуральное число, то при и л р (хл)(").=х !!. Крохи.' того, ясно. что ((1+ х)3') ' =- р(р — 1) . (р — и, + 1)(1+.С)""", (4.бб) поскольку, применяя правило дифференпирования сшожпой ф')'нкпии каждый !>ес1 пужнО умнО)кать пайде>ШО('. Вьграж(>3!33(3 на «1 + х)' == 1.
Таким об1)>с)сэк(, (4.66) получал тся ич (4.5!)) .Заменой х иа(1+ х). Рассмотрим теперь фупкцгпо 1п х: .е ! — 1 'о -! (о — 1' (1пх)'.= -- = х ', (1пх)'"! = (г' ')'" =- (-1)(-1-1) (-1- « - 1) + 1)х ' '" ' Нос)и* очевидных упрощений приходим к формуле А!шлоги пк) (4.60) можно получить формулу р =- совт, у =.. — Вш,г, у =, — сочх, рр)=- В1пх. и ... а~ ... !4) э.(аггее 331кэизводг(ы(3 цн клич(Эски пОвторяк)тся, так чтО ;1ш КО П1юв(1ипь, гго В(( ято у кладывасгся В формэлу Аналоги гпо пол> чается формула дл>! П1>оииводиой косинуса (сов х) бч ==. сог ( х + —.
33) . ' 2 (4.64) ТРН(*рь, учитывая всР пай1деные формулы, мОэкнО написать Эоггь основных 1)ес)лл)же!35(Й: ,2 ,,о х . '!' л) 1) е"' = 1+х+ — -1- . + — + о(х ): 2! и! , я л ,2о -3-! 52 Чг. 2) Яшх=х —; — + —,— +( — 1), — +о«х ): 33 5! (2п+ 1!! л .2п 3) сок.г, =- 1 — — + '— — + ( — 1)" — — — + о(хх"); (4.65) 2,' 4! (2П ) !' 4) !П(1+ х) = х - — + —, — + ( — 1)" 3 — - + о(х"): 2 ' 3 и р (р — 1) 5) (1+ х)" =-1+ рх+ —.
х +. 2'. 1)(р 1)''"«р 33+ !) к ч ... + — = — х" 2 о(х") и'. ИнОгда в качсст(к.' шестО!'0 раолО?кспи>3 добапля!ог' пяго(3 ресглО- )копие Л.гя специального С~УЧВЯ 1) == --1, который Часто В(т1клцсется на практике: 6) — — — ==. ! — х+ х — х' + + (--1)" х" + о(х"). 1 +,г 1)ассмотрим функцию р =. и(х)п(х). где и(х) и и(х) (1)уг(кг(и>3, имеющие ПРОНЯВОДные шОбого поря ека, и найдем формульг иы!ислени>! 36>Ои:(в(э'!Ных раяличных 33Орядков От ят(эй функции. д =3!3)+егг:; геи — — - (и'е )' + (е(33)' =- и" г + и'3~' + и'г' + ии" =- и" и + 23!'33' + 3!3)": 31"' =- (и" 3 )' + 2(и а )' + (ии" )' — — и,'"33 + Зи" 3)' + Зи и" + 3333"'.
',13)ьг(гг(!В(, чтО кОаффи)цшггты В Втих фО1>мичах сОвпадак>т с кО- аффициентами в ((юрмуэ!3>х (а + Ь) =- аа + 2ОЬ + Ь; «а. + Ь)' =-- а' + За Ь + ЗаЬ + Ь' . у! В(а:»($7!) й(ь:7($))) 0 а а -4(а:7( )) 17» -- »(и) х — и )(Ь) — !(П) Ь вЂ”. о (1.66) <7, )'(Ь) — Ц(77 ) у — ) (е) == ~ <г)(х — г) . !!олагая здесь д =- О. ИВ й <см 171 170 Ест( с п>ен$Н» возникает $6н дноложе)ни(, ~!1 О з1й заки! юм< рно< ть раснространяется и на ирои.н>одньи боле вь$сокого но!>Идка.
Ина"и, должна Выполняться формула р(П» =- п!П>Г+ >м<<' »и + — -- — — — и и <,' + 2! 71(п — 1) . (и — а',' ,1) — — +По'" (<3! Коэффициенты В ('4.66) . >Но биномиальные коэффициенты. >.е, к<ха(рО>>и<ие)!!1$ В рйз»ожении (и+ Ь)". ОК337И!$<а<т$ся. По зтй ())Ормчлй д(Й< !Вительно ихи1'г м(ст<> (э»(> можно докй >йт)п нагцэиме(э, с 1$ОМ(нцью матемйти'7е('кОЙ инду'кц>1и) и нОсит нйзВВ- ние формулы Л(-7267<и<<7!,.
Вы ш<лим. на$!рик$("р, г е< Помощью и-ю ИРОИ:<ВОДНУК> ФУНКЦИИ й .--= .Гэ(7, ПОСКОЛЬКУ (гз)' .--- 2х. (х )и == 2.... (,г )<~» == О. )< --- .'1,4, . х)!Ц иод!и й)< 73 (4.66)) и ==- <а и ==,3:" нолч'$$!к! д(а =- х са+ 2п.п." + п(п — 1)е"". А тене рь в( рнемся к Вопро< у о 1<риближенном Вычислении корня !Лгебраичегкого уравнения 1 (и>ес мы е3ид('л>1, чтО.
е'сли ус<ветс>$ Выд("лит'ь о'!'!н'>ок (и, Ь), н>1 кот 01эом нйхОД)! !< я еди!и ! Ионный ко)н нь хо уре!33!и>ни>1 (1 67), то 1$риб'и!?к('нн<н' 3$!йчени(> .7п с 'ИОбОЙ '$0'!но<'*и $О мОжно НОлу"1ит3 методом деления итре;<ка (а, Ь) нонолйм. Однако гуще(-гвуют болей» эффектиВн1 и". М<>тОды и!И16лиж()ш!ОГО Вычнг»н'.Иия ло. 67*!сг!н1(7 ириво <ящ>ю к $<е>$1$. Злее! крйтко он инюм двй '! йких методйа й<юпод (йа(>д и аеиппд кпгп7пе'*<Ь7<ых. ЬУ»3<и н!н';<нолй$й!(ч 1ТО 7"(х') )ук)вл(тво1)ичет с»и".,1ч!О7ЦНМ условиям: 1) )(х) е- (7 ((В,Ь)), т.е.
функция )(<7:) !$(*Щ)еры!!!!а на (П,Ь) вместе со своими нроизводнь>ми первого н второго порядка: 2) зна ненни З'(х) на ко!!!ц!х [<1, Ь) имеют разньи; знаки: Г(<7'))~(Ь) < О: 6) 7'(,77) и 7' '(х) < охран)нот знаки на (а. Ь). зй>$(у!Их!. 'гп) сохра11ени() 'шйкй»' (х) !т!р)и!1~>уст моно!они(нть»(х) на <$а.(7), В, значит, и едингт$иин<,нть корня хп на этом ОП>е:1К(ь Оохрй!Инне же;И7йкй )а(.1) гйрйнтирует Вынчклость графика 1<» == »(х) нп, (<1,Ь) в одну сторону. Изобразим схематиче( ки график 6)унк$13!$$ на (а, Ь1 д;$я случаев ВЬП1укло("и! Вверх и вьшукло<тн вниз (рис. 4.6.
а, 6). Июнши м сна <ада уравне!ше прямой (хорды)„проходящей ире< точки А(а, »(<7)) и 13(Ь, )(Ь)): Корень хп это абсцисса гочки перес<"и ния графика р ==. »'(.г) г <и ью 0,7з Приблия<ешп $к7:ша и*.н$и>м для н()го будет абсц!и;са х гочки пересечения хорды (4.68) г о( ыо О<к которая л(й ко находичси из у!)йвн< н(а!ИВ (4.68). е(:$И Положи'$ >,у == О: ')енерь и:! Ог!К»<к<>в !о, <7:3'$ и (х$. Ь) выбирае)м то!. Иа концах кото- !К>го ) (:$.! 3!р$3ник$<и"г значения разных знаков. Ий этом отрезке < нова можно оров<к ти хор»<у.
В<н:ц$$сса точки пересечения кото- !К)й с оськ! ()т буде г следующим ! $риближен нем к корню х<> и 'г д. В з'!'Ок< ()(и'тО$!т 5нет<ппд хо!>д. С»ц>угой сторонь<, можно провести касатсльнук> к Графику у =-- ) (.7) в точке (Г, (7(е)), ю<е <. 6 'и<, ь,', и йосциссу хз п)чки пересечения этой касательной с осью Ох выбрйп, в качестве ири6лижешюго.>на и)ния для ло. Уерав!<ени< такой к»>ей>ель!)о>1. как И.)В(*ГТНО ИМЕ$'$' ВИД «() х) =с— «'(<.) ' Обьгшо в качесты с выбирак)т один нз кошсов отрезка (а, 6), црии'.м именно тот, на котором знаки«(с) и «" (с) совпадан)т.
В этом <лу !ась как можно показать. <0)иближенпое знак<ни< сг) будет лежать в интервале (а. 6). Как и В мс*тоде хорд, можно теперь выбрать тот из отрезков [<з.хз!. [х). Ь[. на концах котс)рого «(х) принимает зна нпия ран Зп Зх 'знакОВ. и з'ж<з на нем п!К)В<)е'Ги ИОВую к<)с!!телы<у!о, что дасз!' новос' приближение для корпя,г«.
".+СОт мстОд ИОсит на)Ваш<с лмпзада лисизасльныг В.)и мстОда Ньн)то)за. Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно функцизз 1(х). примезшя нужное число р<лз метод хорл или метод касательных, можно получить приближенное значение сьля хи с любой заданной точностью. Обратим внимание. ".по на рнс. 4.5 точки з ! и а;) приближают ха с разных сторон.
'+Зо общая ситуация. Поэтому ино<;са при- мсч<я<О ! кол<бзнзз<ро<з<ззз<<ЗЗЙ мс'! Од, коз да О„шо<й)ем<»но ив<) т з !риближ<'пньн'.шачення для то как по меп)„су хс)рд., так и цо методу к и атсзлысых. '1с перь докажем шеарему КО<и<с. которая является <зстеств<з)зш Зм обоощеиием теоремы Лагранжа. Теорема 4.18. Пусть па с)!резке За,бз:заданьз дв< функции «(х) и д(.г), удс)ьс<етворяющие следующим условиям: 1) «(х) и д(.г) непрерывны на [а,, бз, 2) «'(х) и д(:г) дпфф<'.ренцируемы на! а, б); 3) д'(х) уЗ 0 на (и, 6). Тозсца с)щ<зс!.Вуот го !на < й (а,б) така)з, Зто «(6) -- «'(а) «'(сз) <З(б) — д(и) д'(г) Дс)каза<)<с)а<<за!<)с). Дез<ствите)п но, введем Зя"т)могателлную функцию <))(<!) =- «(х) — «(а) — Х(«(г) — с)(и)), где ) .
Иоки произвольный числовой !ссср!зла тр. Очевидно, что с()(<з) = О. Подберем Х так, чтобы су(б) также рашзялось нулин «(Ь) — «(и,) — ) (д(б) — д(сз)) = О. Отек)да Вальэтим, во-!И)рных. <То знаменазсль данпОЙ )й)оби не меж~~ Обратиться в нуль, поскольку, если бы <з(б) равнялось д(а), то и силу теоремы Ролля на<плась бы точка на (а, 6), в которой д'(х) обра<цалась бы В ну:и, а это про)иворечит третьему условик) теор<)мы. Во-взорых, <1)(а ) очсзвидно у;Зовлетворяет зй)и так Вь<оранИОл! ) В<'ем уелО)в<ям т<)Орсмы 1 с)лля.
НО '!о!уса в силу этОЙ тсО- ремы 3 с Ез (а, 6): <()'(< ) =- О. Учитывая, что с() (,г) =- «'(х) — ),д'(х ). приходим к соотношению « '(с) —,— = Х. д'(<') что равносильно (4.69). С помощью теоремы 4.!8 можно доказать дрсл з:ю теорему, которая носит название г<1)и<тли Дап<зг<зсзлл «)сзрззусмти. Стоит отметитсч что чан<с во< со эгУ теОРемУ называют ИРосто пРави:н)м Ланит)ля, что нс справедливо, так как хзаслугаь Лопиталя ли)пь В Зом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
