Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это можно увидеть нй пример( с»ьеь(у)О($(ей функции двух и(, ременных: О, если х---О или у=-О; ,!(х,д) =- 1 л при .Гг О и раей. (го + р"> 5!Вь($$$(я функция равна нулю ий осях координат, й ши) их Вьа! чис)(я(г(сы по формуле - „, —, (!ля цее, о ищидцо, ш цш»ишегся :г + 'р" РВВЕНСТВО х>„(0, 0) — - х> (О. О) =- О, ()х = =.',(хо уо)(!х+ -,'(хо. Уо)()у.
— =о = А(х †.Го) + !!(у — уо). (5.16) 1.О 180 но в то мп время пе существу("г предела )ш! $ (х, У). Впа п( и (па > -о д — о Функция рйэрыв1(в В начале координат и, с.!едовйтельно, !я; )(О- жет быть дифференпируемой в (О. 0). !ем не менее (» >ц>мОщьк) чйстпых ц$>ои )ВОдпых МОж>к) ус!ти(О- ви гь ?(и()к))(»$)еи((Н$>1( мость функция, ес:>и пйлож)ггь бо. и(! сильны(» ОГрщ(ич(.ния. А иь!сниО, (.$!$>авед(?Вива со(у(.» кяц!и! 1ТО$)емй, Теорема 5.5 (достаточное условие дифферег(цируеь(ости). Если функция ((.>о у) имеет обй !Встиьи прои(водньи в ОК$>ССТП(й ТИ 'ГОЧКИ (ХО. 'УО), КОГО$)ЬН КВК ф»ПКЦПИ '(В >Х >И $К„П*Н— ных н(пРеРывны в точк( (,!1>, Уо), то $(х.
У) диффеР(нциРУемз в ВТОЙ ТОЧКЕ. Даннук> порему приво;>пм !?3(сь бе! Докажгель(твй. Вйм(- тим., 'ГГО ВО вс(!х 10?Зктп'>иски В('"Г$>еч>>к>п(3>хся эйдв "$зх ъ(тк>Вия дй1пк)й тсо1й>мы иы1Н):>някхГся. !'Зссмотрпм функщпо и п(*ремщшых и:---,г(;Г>...., х,„). Как и о случае двух !Кремеппьж, о!Ой>дс,лютея пьетпьи прирйщепия (з>, и, й тйкж( '!й("1'ньк' !6>ои' водиьи' Ьх о о' =- 1>ш — -' —. > ==- 1,2, ....и, ал,— о >з.!»> ! Соотношение (5.6) принимает вид (Х!(:= Г)!!Х>$+ . + ?$»ЛЗ„+ и!()! !...
(з, »)(З>! + (5.6) + ((„,Ях!...., Лх„)ЛХ„. 1пп и,(Ьх>, ....Ло,„) =- О, ! -= 1.2....,П й> .о Ъ>ъ, .О 1(*,О1)смы 5>.,1 и 5.4 о(")йкпся сп$?йв(>д:>ивыми и и э>ом (!!у >В( тйк ж(ч кйк и до(Г>йто*(по( ъс;к>ви(". ?(и()к)й»$К»нцн$)ъ( мо((и. Определение 5.7..1(!(()хф~рг>(ц>голом д= функпин " =-. >Г(х.
у) в )о(к( (.го,$1>о» пйэьп>й(т(Я в(»лп*!Инй Г?$( А и В коэффппиенты из (5.6). О и ви,(но. иодля линейных фупкций;(ифф(репцийл ($с совпадает ( приращением (хе. В (в("пюсти. (зх .= (! 1, (Ъъ(! =- 6у. У (и- тывВЯ '>ТО, з Гйкж( ГЮО$>ему,'>.1. !и>:!ъ"(им (ле;1)к>щ>(» вы$)зж(>пи( ,ц!я дифференциала Вйм(Г!'Им, что '(зсто 6 нес)ьп>зк)! Полныл! ()Иу>ОЯ>ре>п(ао.>!!Ки. Выясним тщи'$)ь !'(',ОъпГГри" и".ский смысл;пн))фе$й'н3(И$)ЪСМО- с!и и ди4~Ф(рснцивлй для ())онкпии ДВъх ПС$й>х!сннь!х. Кйк уви(им дйл1>(ь эд1.'(',ь им1(Г!Ся пОлная йигклО!'Ня (О ('лъчй('1! О?п>ОЙ $иь рсмеипой.
Об)>агим(я к «>рйфпкук фъпкцип 3(въх !Н)>(м( нных, т с. к поверя(ости в прострапспк'. с урйвпеписм х =- )(хъ у). Выберем теперь Некоторые фиксировйннья* каления .го, у(, и ((ютветствуюп(1(> им;1>и?п)п!и' о =- $(хо. 1?о). !()йз тО'$къ' $(Овс1>хпО("!и (' КОО$)дипйтйми (то, 1>о, хо) ГОК)ходит б(скон1пп!О )п(ОГО нйк:>онных и. Кй:кост( Й, В(т оии задгпот(.я у1)аонеииямп вида где А и В постоя>п(ые. Назовем касательной плоско!Впь>о к повсрхнос ги Г == !(:Г, 13) и !О!к( (го,!1>о, хо) ту пэ плоскостей! $510). Ко(О$?йя об?и!д!?ег с?!(- дующим своисгвол(! : — =1. = — ЗЯГ, (Ълу) Ьх + ()(Лх.
Ь)$)Ьу, коо$)динйтй >очки нй пов(*$)хносги: ">, й)пм>о!'и "и!йя координата точки на плоскости„.и( > х, ЬУ) и !р((хх, Лу) бескопечно мй?п,!е при л)х — О и Лу — О. ('-)то о'и($1'!(тот, тго среди всех плоскостей (5.10) касательная плОскО(ть (СГ((нее вс(>ГО» П$)ил1Гйст к пиве)>хнОСГи В Ок1)((»икйти точки касаш!я.) Теорема 5.6. (ля то!о побы по!Ирхнопы, = „!(х,у1облаДВлй В тОчке (хо, 1/о, хо) кзс()тельной н>кй;ко(ГГь!О, н(обхолимо и ДОс'ГйтОчнО, '1ГООы ф'('нкц$!я ? (о . у) былй ди())ф1'1)('$щи$)ъемой В точке (хо, уо). Касательная плоскость единстве!ша.
Се урйвиепи( имеет вид хо =. '- (хо Уо)1:Г зо) + сд(.!о Уо)(У Уо) () 12) Д(?ког!Оп!ельсп!Со. Д("Йстви'!с?и*но. пуси =- „.$ (х, у) диффе- РснпиРУ( мй в го >ке (:го, Уо). ТогДа ГПРавеДлпво Равсп("гво хо =- С„.О>>о уо)(х хо) + х!>(>1»о Уо)(У Уо)+ я а(йх ~!'~.!>+ >6((~х. М)~у Рассмотрим и;ю('кш"гь с урйши кием (5>.! ь), О и ви;инь. чт(ь:(ля ->той п нк к<я ти вып«шн ьш <(к>пни!и иие (5.11), г (. Опй як ы< пи квсйтелшшй плок'ко< тьк>. 1!усп* 'ь(»ье(>1>е* ('у!!<(сьыу<г! И.ни к(кть. '«йдйвйемйя урььвеиэиьь<*м (5.10).
для ш)торой спрйвс:!лико спптипшеиие (5.11), т.с. кй< гп ельиая пло("к«сть. п)ь«ходяшвя н рп! точку (.го, ро, хо). Тогда. кйк и и Одп«льерисм (. (1'ьк(». для ьйп((ииц( пкьь фу!!к!(!!и 6тдет ве !- поли)гп ся с«отп«пн иие $1«вто егп, ие и(> ии«<, кйк Оиредс)н;иис диффереицируемоети. Зьееь*!и Т,,Г(.»п !»),Ьиф()и)р( ицируемв в п>чке (.го. дк), и ь«яффициепты А и !3 <Овпйдйкм ( с««чвечттвтющими Ексгиыми ир«изкодиыми. !.лсдовйтельи«. юн йп льийя плоск«<ть им<В'ь урка!нине (5.12), ° За)ЫЕ"(ани(Э. )РЬ ь«О ПКЫИП(ия (5.1)). Ш> Юби«одк«МСрк«М( ГЛП(ШО. кьптка('ь, гг«<й»<!>»1><ь>('>»»!»»<ь»ь гош»адиев с грьиршьеши.м л»сод<!»И(»»иь»( коган(мишей»».шгкипа и 11 слу ын' и и( р( м(*иных ф«рмула (5>.(!)»Ь»ьь! диффсреициклй ирикима(гь юьд ди -- »»*, дх! т .,' и',.
<!.г„. (5.15) 3,(( < ь т«ж< можно 6ьш«бы дать г(о)и?три !о< кую и!ге рирепьиикь»ьиффср<ящкалу. по ири з !ем пришлось 6ь! ! «к«ркп «кас(п(сььиойь ! Иперь(л(к кости к о-лк ри«й шьж рхп«сп! к !и Ь- 11-мсрк«м пр«(-гракствс, и« КЫХОДИ!. М РВМКИ ДаШЮ(О КУРса. ИО< М«тРИМ тпи'Рьь КаКУЮ ФОРМУ ПРИНИМаст ИРВКИЛ«ДИффс)к иь(ирОВВшья [лОж(ньй <))5 икь(яи и (. Еу ььы двух и( р< мшпьых. Теорема 5.7. $1усть «$>уикция: =- 7(.»5 д) диффср< ицируема кточке(.го.дкь. Вфупкции х =- с>(!) и р:=- ф(!) Диффереипируемы в т«чкс (о, ири и'и хо =- ьд((о), до -= ф(!О).
Гогди ел«живя фуикции в(!) .--. ( ((р(!). ф(!)) Ли<(к()ейск!<и))уел!В и т«"ьке (и и - ((о) — ' ".».':(о до))> (!(ь) + "-»»(ьо ро)ф (Ео) (5?.11) Зал(ел<?5(их», 15«я ис п о (г>.14) мпжш> Оап>гппь ьь;ЬЬ>)там, 6о<к е нагл?!»<И(>м и ьдо6(аш,<!я прк.юж('пя>! Ви»н. В имеиью ь (5.15) х(а>г<кьаг»ь<еье <»>!во, 7$»!я д«кйььв! (Оьы"пьй Ек)(иО, !ь!! <мся дифф<'- реищц)?л мосп,к> фупкшш а .=.
7(х, р) к т« ьке (.го,ро) и )Впиии"л! ирирйщеии(»лс к кид( =' -"', (хо- до)»)<»' 'ь о!»(»о. Ро)(ау ь' д и(Л.г. <лд)Лх 1- 6(«л.»п Лр)»лр. (5.16) ьт<е»"ьз и !ар проивваль»(м ириршпеиия кр! улпэп !'Ов. и 1ии м(Ьх,ЛД):=- 1ип ')1(Ь.»5 Тлд) =-. (1. Ь.»* — О Вьг -"О д'о- о Ва--О ».'1«Ь (>Екьрыхп"я дЛЯ у»икхтнй ('ЬнтатЬ. П«и((1. 6) .—: р(65 й) — -- 65 Ет(ь к(э !ей«! ив«речи ! 1)вьи и(-пь( (5.16). 1!ус!!* !<чирк .г и д бульв! фуикььиями От 1, дпффер('нььи)уь(В!к!ми е) т(ьчк(" !О..(»ь»<иль йрьулниту ! Ирирпщ< кис Л! .-.= ! — (и.
1«г„<к .г и д !ил!у ьгп со(пи('г<твукыцие приркинэпия Ь:ь' =- <р(!о+ Л!) — »7(!В) и Лд =. ф(ьо -> Л!) — ф(!о) Рйвшн гко (5.16) ирп .-ппм сохранится. 1!«7(с<!ил! Обе Ешти (5>.16) пй ~ь — —:, (хо, до ) - — + .:.,',(» о, д > ) - -' -1 <а! ' ' Ь! »л.г <ад + и(Лх. Ль!) — — - «- йь(»5х,.ад) — — '. «л! ' ' Л! и и«рейд( м к ирод()ьу ири <а! -.- (). (' Заметим. п«в силу диффер<'ицируем«("!и фуикщ(п .г —..: (!) и (о(!) 6уд<пь и(прерыкиыми и точке (о. В.!О<!в! (5.17) 1(ш лл,г = 1ии Лд = (1.
л>-и а» "о откуда с нду<т, п«и ) — 11 6('5 .~ ) — й В» -.О В». о $1 < вою О ьер(Шь Ьх )ььп — — —.=. ((?'((и) и 1(ш ' == ф'(!О) а»--о»(,! '»- о <л! !)= (рс <!д <! г д'г»й! <!»' '1йкпм Обр»ь»(пл!. в ьйкд< ш ркж исти« (5.171 и('рой!!< г в (5.1!), й О ! м(>тпл! ! Итиый г:ьу п)й е<"Ор( мы 5.7. !!усть к кк и <-пи пйрйлье(1)ьь ! Вы(тупа('ь пр(>жияя и(')я м(иийя .». Т(>гдо <л«живя фъикь<ия щ)плит юьд '(х) — '' ! (»5»!(»)!.
(.Опььы" ь("пя'еьи« ($?О)>а!<'- , и! (,'5.15) кшипистся кйк / / „/ / / „/ / Х / / ,,г„! „у/с хг - — —,. з,, +;.„у, (5 )й) 1'ле' щ)ОизВОдньге Вы")неля!От('я В ОООтве)т('тну!О)Них 'ГО'1кйх. Рйнее была выведена формуля (5.9) для дифференциала <1В, Иусть теиерь.г и у булгсг функциями ог и и Г и иусп выпал)и ны вс( условия теоремы 5.8. Покож< м, по нри зтом формула (5.9) сохранится, хотя <1!' и <1у Оу;)у! уже не нрирщцепиямн, й диффер< ицийлами функций х =- '1(и, Г) н у =-: /)/(!/, Г) в точке (ио. Го).
«1< йствит(льна, применив формулу лля дифференциала Опик ит1к)ьнО ие)йииснх!ь!х нер(хиинн !х и и Г и (5 18), !юлу1им /(а == =,',<1и 5 с,',<1)/ == (=', г'„+ =,', у,',)<1/1+ (. ',г',, + х,', 1у,',)((/' -=- =- . /(г'„<)и +.г',х)<) + =,',(/),',<й/, Ь ух)! ):= х//)!/+;,',<11у, '1йкнм обр!Н)ох!. днфференци и< обладает свойством инаариаигана/таи.
З!О Общий фа)< к снрйве/ып(вый для функций любо- 1О )ислв 1н;р<*м()1н!ых н для! 0)Он<и)О)! ьнОГО 1нслй новых 1н)1И м( н- НЫХ. В(;!н )щ и р!йя ) нровй!з функцию двух !и 1к м< нных кйк функции) точки нй плоскости. г<э частные прои )водньи приобретйкп о ивиднь!й смысл зто скорости изменения функции и направлении коордииатных осей.
Естеств(яшо постгн)и гь вопрос. и ( коро<ьыи нзка пения функции в произвольном нанрйвз!Гиии. ,/)з!5! Втого щ !бе1юм точку Л«о(хо, уо) и зйдйдим нги)рйв. и'!Ин) < помо!Иьк) еднничн(по ни)рйвляющего вектора е = (с„с//) 1.'мостим<в! т<)пер!* и ! точки Л1о взюль прямой с ийнр/звлякэи(им в< Втор(ии е и "!О !ку М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
