Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 36
Текст из файла (страница 36)
': Мь! н аист ясно В д л)3! неэйнн'ы. кспда мь! н ., я 3ь оире)(( л('н)(ый) интеграл с помощью нсоп ' " Р( ДЕВИ'Н НО ГО. (Отметим. что апре; елен)п Й р)дп ". )й интеграл но(ит еще название 3!)И)3(ле' ш Р(а лрсх * мане), НО 3(м()ни )и'мса(кО!'О мй)()>г ' а)нкй. Жэто1эый предложи.! данну)О коне) рукцик?.) рассмотриы геометриче( кий сь(ь (, и и'л определенного интеграла.!1редположимс чтофункция Х( ) ', г) непрерь)впа и положительна на,а 6). Ра( смотрим фи(уру.
ограни нэпную (къю Ох, графиком р --: „!(х) и двумя )иртикильными )ц)ям!.)ми х ==- а. и х .=- 6. 11)В)овеь! таку(о фш > у1 у криви.)п)и Ьиай транс!(ис й (рнс. 6.1). Если взять какое-то ".. - ((с, ) . то отм() н нпос разбиение отрп(ка са, 63. то соответству(О)3 й " ' ' ', ! ! ' " ' (ЛОЩЕМ(Ь С'ТУ- ! я иит('! ральнйя сумма Вь3ражает ! . пенчатой фиг)'рь(, сос((жп й (ей пз прямоугольников с основ щ ! ..>„и и*н:(нами Х(сс) (Рис.
6,2). ХХРи сгР('мл(нип дивмс т!я! 1>йзои( щ(я к 3(узн(э Эц>онако ((г б МС ., ПТ Я(КОНЕ ПИК. ИЕ)МСЛЬИ ПИ( рел)би(эция и площадь стун( 3(читой Фигуры блуде! Приближаться 6 к площади криволи)н)йной трапеции.!1оят >6 Эе( ) Х:. „ Я' и и\' ! (ХЭ (:Г ДОЛЖ(',и сОВ))адать с н)(О)цйдь)0 тйкОЙ )рй)и'цин. Есэ)и Х() ) Отри))атс))ьпо, то пл(эщадп Всех ц) >удут брать(ж с огрицат(льным знак(.3„ >у„.з, * )6, И Иитэв раЛ СОВПйс((т С ПЛО)ЦЯДЬК) ТХЭНПЕЦИН, ВЗЯТОЙ СО )НВКОМ ссМИН)га. „)Хан)ия! Рассуясэ((?ни(э Вес! Мй приблизитеэл! нО и НОзжс* б)ъд(ет рассмотре(ю поуцюб)н'е.
Ус тйеювим те".Н(эрь н(кОторьк'. )ц)Ос, и.'Йщи() с ВОЙ(г! Ва (яцюд(ь эн)ИИО!'О интс',гралй. 1)озьмем функцию ! (.г) с постояннук) на отрезке (а, 6(: Х (х) --- С. '1(э)у(й ли)бйя (с интегрй.(ьнй"«)мма, О нвиднос име ет Ви,( о(Т) = ~) Х(~„)ЬЛ, --- е) СЬ(3! =- С~~ Лх, =-.
С(6- а). 1пп а„--- ! (Ь вЂ” а), т. и. С(!хз =- С(6 — а). (6.10) Теорема 6.3. Если Х(.3) и д(,г) интегр)ц)уемы на Ха, 63, то с! ! Рав(С(ли вь! следующие равенства: Г А )(х)(Хх = — А )(а)(63; при ЧА; а а Ь 6 Ь | («.» ') -Г '*Г"' Н$)и н м ( у)цс ствовйни() ин г( грасия), стоян(ик (левй В (6.!1). гй- Рси)'!'Е(РУ( 3('Я. До)((!.1«11))гл<«ггпг<о.
'.1оквжем. например. Второе из рав('нств ). ыберем прси.!волив)е Отме*и ииое разбиение !) и соста- (6 11) !1,6" .', ' ' * ' ' 1' нине и гоеп)- Вим со(п'вететву1ощую пнтег1))<лы<у1О сумму У~.)'(-".«) ~- <11",)~ <~х, = ~' ((,",.) лх <де а' и и' ии!<<ральи)!е суммы соо<вегсп(еипо „:шл )(г)«и <1(,г). Если 5) ! Вит!«произвольпуи) иормальну1о последщыге. и «кн гь <и ьн"!()Иных !люби< ний ('1„), то „!Л)! Иосл<логйте)1ыкн"!16 ив и- г1И»<ып1х Сумм 6)ЬЛ<"!' с!О)йв(',(диво рвйенство (6.
12) 11оеко. !ьку Ь ь « Бш оь = 21.г)<(,г п )пп о«„.=- ()(.1)(бг. по (во)!( гву пр(л»лов п»н ледователыю(!ей 1пп а„=.= )'(х ) (Ьг .2 д(х)<(<г, по равиосигп !Н) второму ра!к'нетву (6.11). И Тео еорема 6.4. Пусть функция <'(х) отли'п<а от пуля па 1а.б) лии!ь и к(ии" !них< !Исл( то !ск. Тог;!й Оий ипгеппй)уемй ий (и, Ь) и и!пеГрал и!' Пе(' рйв('.и пъ",«<й), «« '2вк«),1(!Гпе«и«сп)пе Ле!й!<',ГВИ Г('льно, и «сть «(.'.' «)" 0 ,"(:Г) „.'.. Лип!ь в точках па,(а. Ь) . То!Шй оиа. о и вид)н) «ограни и на на ((1, Ь): ".~'>О: „«„6(п Ь),),(т.)) е б (П ка )егтве (' ( ' можпо взять максимал) иый молуль.)на и пий! ) (1) в тех точках«12<< )г(.г) )1 (),) ПО'и и<'и ' ' » ' ' и .
! тшн рь произвольпое отме !енное рал1ви ни<' Т и (пи)- пим ('ОО !'В(ггс!'!)ук)и<уй) Н1П ш')н! '<ь Ну<О сумм'«' О: О- (о) = К.('(с )О "(-'-. 2А'С)(У). П правой !а(ти (6.13) ггопт множп гель 2. потому гго каждая "<О'<кв ",, ь!Ожет участВОВВГь:1вйжды в интс!'ралыи)й ('.)'Ммеь ('.»Ли Онй являет(я Об!Пей концейОй то !кой ЛВух еос(',дпих мйль!х ОтРСЗКОВ, 13озьмек! тепе.'рь прОИ;)Вольиую перме)!ьнук) ПОс)идОВат1'льпость отмечсииых разби("пи!! (7;,), ')огла и) (6.13) дли соответс гвукипих о„ш)лучается (щепка 0 г. 'а ! < 21" (,*ЦТ (6.14) ! 1о< кольку !1п! 1(Т„) =: О.
из (6,11) по теореме и «зажатой пер<- меиной получим, по 1пи о, =- О, Таких! абра<ох!« ««-+,х) )" (х)г(х) =- О. 5 5 )хйк с.)<детвие вз т( О1нь)!ы 6.4 вьп)ед< к! Следуя)!Ную т< ерему Теорема 6.6. 11уеп 1(.г) инт( !'рпруехи! Иа !а. Ь), а д(х) Оп!я'- д<О<сна па (<1, Ь) и Отли'!Вв От ) (:15) лишь е МОие"(МО)(е 'ч<иле тО- 'и)к.
Тогда 6(.г) тоже ипт(ггриру<'мв, иа ',п. Ь! и ь ь у(.г'!<(х = «г(.<:)<1"г. л а Доить)лгае;)ь гаво. «'(Сйствит(льпо, представим 6(х) г:и лук я пи м образом: 6(х) —.— )(х) + ~6(х) — Г(<(5)), ((.16) ))б ) 0 чх 6 '<а.Ь) = 'ь)'(х)! х ~' 1 взнОсть. стоящая в скОб)ках В <6.16). О1личнй <уг н)!Иа лишь В к«ии пюм числе то ик, откуда в <илу теоремы 6.1 с:ндует, !то Опа инт<!ргй)Ь»мй и ипгегрео! От и(<) рйвш<пу)по. А !Огдй в ш<;!«. 1(') *м116 3)ю! '1им (6 16) Тйким Обрв )о),1, ОИ1н<«<сл()пиьпй! Ннтегрйл Ока»и*пи!»г!(и !и ч: в("ппггельиым к и:<ъ<ененик) фуйкции в кои< *пюм числе то и к.
Теорема 6.6 (Необходим)ый признак иптегрируемости). Ег:ш ())уикция ~«»зг) ипте< рируема па Огре:)к<5 !а. Ь)«то Она (и ра!пин'па па нем«т. е. 204 ,(Ока)в)шл«<лоо 1)р< пн) )о интегрируема на (<!. 1>), )ю и >и з" , Ока,>< „.
жим, по что пс гак, а а. >, )н> при ятом пс ограни и на на нс, . 1('кОтору!О норм<О>!ьну) ): ' ' ' ' ь ' О пос:и'.доватс. )ьнос"и, "Н*1шых ра)61(си)<й (7 ',,;; . - 3 к! й «»), то)7<а <ля соогве)счев <о 'Гельиос'ти ин )ег; (,, '. рвльных сумм )О ' ' '1 ' » - ',' ! „) Выш>лйя<»тся с(м>гпойн ни< Г 1(л)(l:3>.—. 1 «» (1).17) (6.16) =т) ' 1'' = .! (Йь)еы!. + ).Г(<;~.) -- Дх) )) Л > ПО(кО.
!Ьк) 1клп'<п!!у >! ( >» ' > „'. )л ( 'и'1 Вьн ско>п угодно 6о.!ьшой и > .:.', '".; "; " тако< ' г. > >«ет вьп)олняться < оопн>шсние Вь!6е)мм тшн >ь н '1 <)Вук) нормальпу3О НОс> ". ! '''.' '"' » 3! лгдовнтельность (>Р> 3 еле,'~уклцим <х>разом.
Разб)с ')ь л 1 с.ле «зби< ние 2„порожда(«3 зо)( 7' .,: ' конг <нос нп ло (а,)>Й то она ю. ог)а .; * .; Ом из зп ш Ограни н)па хотя бы <ш <>дном и3 >3 пусзьзпойук)г[ггь. ),л 3. Ост,, >,. ре)ки иф) г! 1, ! 1, 1 ста,ВНМ т<' ж(' сах)ьн' О'1 1)г )ки и (<и и '",, кром< с!.. Новое разбис 'Т' .' ." т 'ии(' О!Сн)'(аст(т " ",„,, когорую по.<6ер(м <)н) и ;)аппнн м с ле> . П ЛУ<ОЩЕЕ СОО ПКЯПЕНИ<С (6.21) "!еперь восзьхсел( другую и()рх<см!1'ну! хн"и;йных разбй(»ййй, гд< В ка шств<* с„выбрш<ы ирра)<ион!3>1),п»)с» точки.
В з гом случас* )(г )<тт ==- ~~> 0 <хх, =- 0 (6 22) П('1>ейд<'м тО!ерь к В(х'1 ма н(ийюс!'Ому <юпрОсу О с</3!1(>с<НВО- ванн73 О!йм'д('лшпк)ГО и(ггс!'р<см)а. В самОМ д<'.Л<.', как Описать Вс<' интегр)<ру<'мьй! функции. 1 «з)н)<> 6ыво ОГМ<',чсно, 'ПО )ИО!'раник йпьн* функции:заведомо ие интегриру< мы.
Однако, как покаи<ва< г < ледукнцйЙ ирйм10, ОП>анй и йнос) ь фупкцйй йа Ог)мзк<3 еще не п<рантиру(ч ег интш рируемос-г»ы !'а(тмотрим на отрезке (О. 1) так н«вп.пик мую функци(о <113- рихле Г>( г), которая прийимаст:зпа и ние 1 во вс ех р щиопальш нь(х точках (т. е. в то <ках вида л =- —, !)Пе ш«п це>!ые числа) 71 й равйа йзлк> ВО 33(сх йррш<и(ншлы<ых ГО*<как. Изв«тно, что йа :побом сколь угодно малом отрезке су<цествует 6ескоиечно много как ра!(ионах<ьиых. так и ии)ациОнальн).!х ТО н)к. ВОзьм<гк1 нОрмальнук> последова г< Пыл<К;ть отме'н)иных разбиений, <уас в качестве с> выбрайы рациональньн.
точки. Оооп>(чтт))у<о)3!)н О„бу;<у) раВпы ; ( Г (с)«) — Г(<< ) ( (3 | ! ~ > а (6.1 9) « Ол — Ом 3 ал (Г).20) (6.23) а), аа. 206 207 Заметим, "по в". ": ) ь торос" < лагасмос (внро'и'м. как и <н > 3 ' ' 1. как и и<'р)зос) в (6,16) и',(е! < в<мч обозна й(м (»го чс м 3 и П ! (Г 1 1) 'Л<*,'1У<'Т, *П*О 3)й) ам -'. »Х . '1) (Ь , ля инт<«гральных < умм О„и О .
ссют!Н>т г , ля ин 3<«г ': *... „О„,. ссют!Н>тствукнних . 3 ' '„и „,. справед«ншо <»оотнопггни<' 1йм:кольку (7К1 гож< гож< но)>мв.п,(шя )и>с,)едоватсль 'и'П3п <х разбиений. ' ' 1 =-, . О Г( "„'; '3 то нп О =-,l. 11о 1( «! — . < > Па и! (1>дй)) сон„!»М1, *по Га м)скош" шо ма;йш пос,!н . прсп нвоГК )и<' 1<ок«с<ь .!!С><О!)а.<.елы<см п,. Г1с,),- а<ь!ва<'г. по исходное и > * 1 сдполо к( 3!и( .Нп< но и доват<лык). сп >ав" . ;> ' ' ' '-' . ' 1 ' к"длива дапная т(>(0)ема. Нос ледоватслыкюп (0.21) имеет пр( дел, равный едишще, а пр<- ,'нхч 1н)<л<',3<ОВН1< льио("Ги (6.22) ра<>ш) нуля). От( >Ода Гл(><у<гг.
'<тО ист единого предела 1йй О „. «! -"Х. Значит. функция 11(л) нс интегрйруема па (0.11. Квк л<чко заметить, Г2(т) рай>ывна во всех то сках <презка <О, 13. Ее неиигстрирус мость свя.зана < О слишком 6ольшой разрывностьк>. 1'дс" жс проходит нужная ).рань' > В(оби>димос и дослато'йнм. ус3ювис иит(>грируеыости функйии у<"п)Повил франпу юкий математик А. Лсбсш. Однако для ГО)'О 'побь! (форхсу3!ыро<)ат! вт(> услОви(ч 1нзобходимО НО)ня)(0- мип ся < некоторыми новыми (ниьп иями.
Прежде вс<«го рассмотрим пн'лову ю <нм;лсдоиательност«ь ><)ожио ли ирид!п ь смысл сумме нс»ех ге члепов и как это сдс*- лать> Обращом служит хорошо и:зйестная и:3 школьной про- 1)шк)мь) б<м ко>«"<йо убыва<ощая г(!Ом(>грй 3< Окая нрог)кс<.ия, '!<'(51 т гксх!Огрггм так иаиываемук) <а<пгггчг<ггго с<<А<«иу иоследоиательпо("ги (6,26): б»« =- а ! + <)а + ... Ч <1 Й»овем < уммог! П(ех ч:и иов даииой и(лледопапльио<ти !грег!»и а„=- !Пп л;,. »» — +'»: »»:.-. 1 В шко.и; этот и < е: р 'д'л !3ы'1п<ля<г! с51 и;1я 6(скогн"пш ) быпйеощ< и геометри и<"кой прогрессии и пальшается сумм й . '! 1«' ме ' ' " ' ' ': ' .' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
