Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 40
Текст из файла (страница 40)
таки(, например. как м<*тод пс>дстановки и лн т<>д интегрирования но частям. Нужно лишь постоянно с:идить за сходимогп*к> нить«гра>и)в, У)ожпо было оы ослабить '! 0<хин>виня к ф'<ни|ХИН 1'(х) и. например, в случае (6.60) откссипься от и< прерывности Дх) на вс<ч! 1юлуоси [и, +ос). В этом <л>л|ве прин)<зос! Оы ИОГребовать, Ь чтобы ((г)((х сущеспювал при лк>йом Ь:ь а, и нримененш формулы Ньв>пи|а Л<«116!<и>ХИ не было 6ы здесь гарантировано.
Ли<Слог>$'(н(зе зам("|анн<> (тли>гитон и ко все(! друГим тинам и(>зчк>сти("нных и1п <*Г(н> и >в. 6.3. Приложения определенного интеграла Пусть )(<х) 6 С([((,Ь[) и з"(х) 3 0 на [а, Ь[. Найдем площадь криволинейной трапеции (см. Рис. 6.1). При любом х б [а, 61 рассмотрим пл<ищздь той части крив<и!инейной трап('цин, которая расположщш на участке [и, х[. Обозначил«><" ч< реэ Ь(х).
Оч< визхн<з..<>(п) = О, ЖЬ) =- о (о плОщадь всей исходной трапепни). фиксируем прои:!вольное хе '= [Н,.Ь[ и дадим хе приращение Ьх. )о|да >(г) ИОлу |ит гй)нрнц('ни<' <х,з' =- ."(хв + Лх) — <>'(хе). Ясно, что Л.<>' площадь узкой ноло<ки, вырезанной иэ транепии и расположенной на участке [ге, хв + (л<> [ (рис. (ь',1). Поскольку ((«г) непр<«рывна на отрезке,',го. хе + <".>х[, то она имеет на этом отре:зке максимум н минимум, т. е. , „,: 1, О хн .(. Ьх[: (< х 6 [хе <ГО + <~х[ =' =,)'(,! $) =':,Пх) <,Пха).
рассмотрим два прямоугольника < вьиотой (оответствеши> 1(г|) и /(<$".). О ивндно, по площадь <х<>заклк> ина между площадями этих прямоугольников Д(<г>)Ь.! =" Л,<>' =,. ((.ге)Ь>х. (6.68) Положим <зля простоты в (6.68) (> <ьх ~ 0 и !н)д<.,!Нм вс<> ~а~~~ )того и( равенства на <хх: пол шм Устремим теперь <'>х к нуля>. ПоскольРи<. 6.3 ьу то >ки.!.! И.г> прин >длежат <л.ре.зьу (;ге, хе + Лх[, оии обе будут стрем иться к ТО, и в силу н<вйк"рывно(тн ((х) .>на*|ения ) (х!) и ~(хх) будут.
стремиться к !(.ГО). Применив к (6.10) теорему о .зажатой пере- ЛИ'ННОй'>. ИО>!У'П<Л! ЬЬ' Ьйп — ==,('( хи ), а>' "О ьл.г Т. (. ЬЯ(.ГО) =-,!( !'О). П сил> прон июльносз и хе находим, что на всем отрезке [а, Ь) 11рошп>егрирусм равенство (6,70): Ь Ь Ь .Ьч(:г) <(х == !(х) <(!ц или 5(Ь) — <У(<!) =. г" (х) Аг. о» >> Но, как <ггл«е «щюсь ра|н <, '>(и) =- О, а значение,(>(Ь) совпадает с н.ияпадыо криволинейной тр шепни, Поэтому приходим к фор>1>тн> ра(тмо Грим более об1ЦНЙ с;|учао !'Ривочи|ии1Н)и 1рап(ции (р1н Ь 1) 1(хес! 1>(х), <(( ! ) 6 с(([п ь(), 0 ': .<((х) «,((х) па [а, Ь[. у(с!<о, чтО и зоп(НЗ(1 такОй трлии нии раппа ра<зности площадей двух трапений предыдущщо оша. одна из когорых ограни и:на сверху графиком д =- ((О).
' другая грщ['и " ' р д(х). Чвким обр<щом, Приходим к еле;!укиц< й формуле для ПЛОЩВДИ з т рши'цин — ()(х) -. д(г)) <эх. (6.72) Отметим. *по (!Ь7! ) явл)н гся !Нотным случж м (6 72). где д(х) .== :=- О. Формула !6.72) сохранится и в слу !Пе, ес;!и отбросить требоввпи<' и<'О1рицвтсльн<к.ти ! (х) и д(х). „1<".ЙствительиО. у'!итыв<1я ограниченность 7'(х) и д(х) НВ (а, Ь). можно выбрвть столь большо< наложите:!ьное число >1, чтобы функции з" ((г) + А и д(х) + >1 оквнвлись ноле>кит<явив!ми НВ )н.
Ь). Со<><в<)те гвующвя кринолин< йнвя трапеция получится и(з исходной НВ!>Вллез!ьнь!х! < двигом вдоль осн О(Ь котор!!й, квк и !<и!ем!о, не м<знж"г н(!Озцвди фи!уй, Но если нримсшпь (6372) к новой трнпецпн. то получим у 1'(хв + <3..г) — 1 (.!'Н) (6.73) Вели шпа (6.73) нредставля<т собой обьсм тела, Полученного нрн вращении тонкой но„юски. Нюбрвж< иной нв рис. 6.3. !так и ранее,. выбираем нв отрезке (хе, хе -г з)2 ! точки:г (, хз.
з'!х!) ь )(х) г) !(!")). !О<ДВ г" 1г Оквж<"НЯ Звклкгнзнным м<зждвумя об*! ("мв>ш, норож.'(снпык!и пря()!Оу!Оэп никвыи с О(знованнями (хе, хе+ <лх) н вь!сотами, равными ) ((1(! ) и ) (х2). Но нрн врщзщнни прямоугольников нокру!. Оси Ох ноз!У*<вются нрямьн* кру!.овьн нилин,<ры. Таким образом (<хх хо О), 2)н Следова гельно, формула (6.72) справедлива и в ятом случпе. Рвссмотрим вновь трвнецию, изобрвжснную нв рис.
6.1, и будем вршцвть се как жесткую Пластину !Юкр>л оги <)(2 В результате !зозннкнст некос нространст<з< нно<' тело, называемое телом вращ<ния, Наша 'задача вьг!Ислз!Ть объем 1'<х, такого тела, к)зк и в звдв'и < площвльк), введем функцию зг(х), рвш!Ук> О61и")1У 'Г<злв. кОГО)кк' ПОлу'зв<'Гсв !ОИ1 врвщении чести трв!и'цип, >г !) РВ п<ыожешю13 и Участке )н,х1. Яс1ю, что )>( ) =- О ! (Ь) =- == ~'г)х СПОИВ <))ик<'ируск! <ц>оизвОл! НЬ ю 'гО 1ку хв 6 *',и, Ь) и ЛВдим <ц) гуыенгу прирвп!ение <3,22 Нри ятом объем изменится нв в<вш'и!п" кз ! 1)г-)х' )< <В!2 '-. г/ (,<,))<3 (6.71) !(оде,шв !Ирввснство (6.71! Ноч.н'пно ! Ль( О .
НВ .г и п(эр(й;<я к нр<)— .,н.!у нри Лх -- О, клк и ран< с. Получим 2 зп,:=. ху2(,ге), !) <, 1."(хо) — к !'2(!.Н) НтЫНВЯ ПРОИ ЗВОЛЬНОС2Л Хе, НВХОЛПМ, <!и 1"'(,г) == кэг (х) нк '!Н,Ь!. 2 (6, (б 11нт<трируя (6 (6) но отрезку )а, Ь), прид< и к формул< 1<)) == !.,г (.г) <)т. М "' 1:>') ---. 2хх г!',)) '6 " ') ! !дон нтсгрироввв '6 76! 1 '!и !'< 1 и М ОК»Н ! 11, ь 1г '<>к — э ° х1(.г) <!х (6.
79) !!М<(ИМ !!о «П< <тр<'нок )н. Ь! рвсположен нн <пр!и и!. у о ! > . ! Нужно,замеш<пъ ивбо !ес об!цую форму !у 12<)(г:= 2" )х( )'( г) <Ьг а (6. 86) В)! ! ! Нршцении '!'рвн1'пни вокрю щ н О, ю н > 1,, д ноз!УНПМ щц<' Одно !В „ом, „,„ но.!у 1шОП<ееся при в >Вн < !),(.П)езс",2, - - ...
)! Кн ! )нни у:экого прямоугольника вокр ! зд ггавля< т <хюой полый цилиндр. 11 оз!Ох!у. Ностунвя так ж». Кнк и рвн«з, в)него (6,74) нвходнм Оцщ!к! *,<Г(>-т.ЛГ(2(Г((Г!) — К. (>(Г(!(1) '" Ь1> К. Х(1() !.гаях)2~!Х2).— !(Х(>)(Х2), >гкудв после о цп,' идпых нрсоорвзошшпй полу ни и < оо гноил*,>ше -хх(>зг(хз) + г ! ((1'! ) )х ( — - — - 2)кхо,) (Х2) + !<Д(х2)Ь.!2 (6.77) <х:г 16 реходя. как и прежде. в (6.77! к пределу п )и (лх -' О. и <" . ф рму'у — <)(т) <Лг, « (6.81) « (6.82) ЛХ, <ЛХ, =- л/(Л>Д'-'+ (Ь~д)а .—— (6.83) 1<в .= ~ )Х 1+ [«'(~ )) Лг .
а 1>ги Х,„= 1,$11. я.,~. Рис. $5.6 2;5$$ Приведем без док>юательства <>не одну формулу для вы <испания объема. Пусть и< кое тело р и йолож< йо вдоль оги О г на участке [сз„, 1>[. Пусть, хн>.не при >11<>бел<.$ с= ,'а, 1>) из>истна йлозцадь гс"и пня 8)(.г) т<ла нас«кость«). $6>охо»я<ней и)лизочку т й и<1яийдйкулярйой О< и Ол. То>да оба с л>данного'с< ля равен Формула (6.81) > >о формула вычисления объема тела йо и<нзс- РатНЫМ СЕ''<Е> < <ЛЯ.Ч.
Пщ>ейдем тейерь к вопросу о вычислении длины дуги некото- рОЙ крйвОЙ. 1'<исмотрил> й<$$6)< рывйую с[>уй><$»йзс> «(г) $$ воз> м<"м кусок ее графика, 5>11<1<О><я>1$>он»ийся над отре:>ком )а, Ь[. '1акой кусок будем называть $)<>><о<1 и обозначать .4ХХ (рис. 6.6). 1)ый>ерс>л< на 'зтОЙ;$1'г<' кон<'чйО<' миОж«''т1>О 'ГОЧ<к ЛХО =- )1, ЛХ>, ЛХ>,..., ЛХ». = В. Такое м>зожс)гз>зо иьеюв< м Х><$<161$<1$11- <с»$ с»йяи и обо зна еилз через ГХ.
Соедин><»< г<ктдй>и точки прямолинейными Отрезками. В рпзульт>ые получим ломану«> линию с теми же концами 1, 15, что и исходиая дутли обозначим длину втой ломайой ч<*,1«ез 1,11$ йлй, кратко, Х. (разум<>ется. )л>з завйсйз от выбора то*и к ЛХ,.) „"1лийу максима.лысого звена ломаной ОГ«>- значим через р. Последовательность ра<збиенйй Гз>» назовел< норсиальйои, если йоследовательйост>*<<к>тиса<)т><у>о<1»ззх р«стрем>пей к нулю. Определение 6.10. Величина)>$11 нз>зывается длиной дуги АХз, <)<.>й для л>ойой нормвзй ИОЙ >ия а< донате>и йо<"п>1кз;16й<'нззй ,:»угн Г<>а Ксли д:нина луги суйи<сгнует, то дупз АХ« назывя<)тся гарл.мале«ной. в противном с лучае <а<'111>л,.чдл<:ма<1, Вам<"тим, по ойре,игичйи длины:суз и и'р< з щн'дел длин лома>и гх вняло>ич>и> о<В«дел<*йй<О йнт<15)яла ч<р< з й1п<$ ряльйьй СУММЫ.
,')окажем т< перь с:и ду«>шую тс"орему. Теорема 6.24. Пусть «(х) 6 Га([а,б[). Тси;»я соответствуюй»ая луга г<Й>ямляемя й <ч длййа вы <йслй<'гся йо с[)ормуле Доя<в>атал<<))а<за. В самом д< 'и, возьмем щн)и звольнснз разбиение»'„З =- (ЛХ,) дуги ЙВ и сйроецируем точки ЛХ, йа ось Ох. 15 результате на отрезкс' [а. Ь[ возникнет р>юбиение Т, состоящее $$,1 йро<'кз»йй .1., го й к ЛХ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
