Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 39
Текст из файла (страница 39)
11') с)зна*!Вс т, 3!и с'ЯМОМ дсо)е, '1то функц11я 7г( г) яв)!Внг!с:я О)СИОЙ из 31ссрнОобрнзиь!х )!ля «(х) иа О!резке (с), 6). Тем сам)!х! устаиовлсио, что с)х!л всяка)х )се)9)г«хани!ой )са авйнс)кс ф17)скт11111 сйсцс:с)ааус»в )ссс)г)1)с'с)сьссс)с»с)яй сгввнсх«ол.
11ерейдем теперь к 1)е))тр)ми*но!1, в нс котором смысле, теорекн) интеГ1мми ИОГВ) ис'!ислссиия. Теорема 6.20 (формула Нь)отона-- Лейбница). Пусть функция 1(3) непрсрьвпа иа спрезке (с!.6), а Ф(г) се ирои)- вольная ис)рвосйр»кисвя иа этом Отрезке. "!осу!в Дс)ка)а!ась!с»с)11)с)с). Дс'иствитечьпО. в с;илу )слов)!91 тсОр!)мьс, учит ывая (6. 17), г (х) =-= Ф(х) -В.
«'. (1651) 11о.свгвя и (6.5)1) х =- и, находим, сто Р(а) = 0 =- Ф(а) + 6, откуда « =- — Ф(а). !1Одс'пм)ив в (6.52) вмс сто:г ша Воине Ь и у 113 ! 1»св))я, Вто 6'(Ь) совиадвет с Впгп»градом» нолучим (6.50). Для р»)зности, стоящей в (6.50), используется специа вьное с НЮ.ИВВЧЕНИЕ: Ф(6) — Ф(а) =- Ф(х)~ . !Х с 'йн»иется: «.Иодствновка от а до Ьх,) () сто исиоль ювннием форму.и, (6.50) нриним н г вид Эта формула наавана по имени двух Выла(он(их(я математиков, открывших е(, ф(эрмулой Нькэгона 1ейбница. Она устьнанлив/ч(г1' т(сн(йэнуэо сВязь хнэх(ду н)я'.жде ОбОсоОл('нньэми ПО- нэ!тиями 01ц1сдслсннО! О и н(хэнредеэ!енноГО инт((ПРВЛОВ и ПОХВО- ля(эт с Помон(ыо не(эщэед(стеннОГО инт(«Г1эа./Н1 вы'(исл5ггь (яцэ(ук'- лонный интеграл.
| :га 7 .Гадх = —,! =- — — О =:— 3~0 3 3 0 Раисе мы нзу (али два метода вычисления н(эонреде.!синс!го ннт('Г1эала: захн ну н(11эеменной и интег11!цэона!Он но част~~ (( м. теоремы 6.1 и 6.2). Тэчн рь их можно нриснособнть нспосрсд- стВеннО для 15ь!чнслсния О1цэед(',леш1ых интеПэалОВ. Теорема 6.21. Пусть 1(х) /= (э(((7, Ь!), а 17((г) е (11((а,)1)) (т.с. Д(х) непрерывна на 1а.(э), а Гу(:г) им((т непрерывнуьо нроизводнукэ на (а, Я). Пусть далее (Й(.г) 6 (н, Ь! для «7'.г 6 [а.(э) )и /0(а) = а, ((э(В) =- Ь. 1огда справедливо равенство (6.54) ДОР (эаа/пель(я!!ВО, х(е!(('.тви1еэцно, Вс(! ИОГ(ын!('Г1эасн ны(э функции, участвуннцис и (6.54)/ н(прерьншы в силу условий теоремы. Пусть Ф(и) нская нервообразная для 1(1()! На отрс(экс (В.Ь).
Как н в теореме 6.1, убеждаем(я, что Ф(Г(э(х)) н(рнжэбразная для э'(((Р(х))ц/'(х) на (а,б). По формуле Нькэг(ь на 21сйбни на г ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ | ,Г((Й(7))Г(Г'(х)()х — — Ф((у(76)) — Ф(((/(а)) == Ф(Ь) — Ф(а). От( к!да, и еле;!уст (17.54). Теорема 6.22. Пусть функции и(х). Г(х) 6 1 н ((0/ Ь) 1. Тогда | 77/ 7/(г)77 (х)ах =- !7(х)7/(х)! — и(г)н (г)(1ач (И (6 55) Д(э/((7,1077((01/с!/Г(70. В самом деле.
интегрируя равенство (6.6) от а до Ь, учитывая. что 0(.г)н(.х1 одна и:1 нервообресзных для l (и(1)! (:!')), и щэнмсняя фо1эм«с!у НЫОтона - .'10йбница, но„!учим (6,55). я!Их =- 7/, )' (10 7! х -- — --;- = агс16 и соах(157 — -- (1(Г ) '1 + !16 ((э 4 0 Г ('ОВ Х 1+В1И х 0 | с ' х(1(г =- — Гг((с ' .=: -хе"" + (' "()х =- 0 0 0 0 1 =- —.(. ' — с"'"(1( — х) =.
и ! =- -е" 1 -- с ' ~ = --е ' — с ' + 1 = 1 -- 20 10 х — .)и(1М1 нэ .)'(х:) = ~(х ) Г'( ) 1 (6.56) /И Е интегралу. Ст(анцсму в правой части (6 эб)/ применим !и;сколь- ко раз форм«лу интегрирования по частям. Имеем: Рассмотрим теперь функцикэ )(х) б С ' (П(х(Р))/ т.с. функцикэ, обэ/н!дакэ!цукэ непрерывными производными всех порядков В некоторой окр(«стн(эс!и точки хе. Здесь цс н)э(эдн(ээн(гне!'- ся, 1!(э окр('стносэ ь П!(х(э) мала (нс и(/кэ!кэ'!Сн слу'!ай, когда чта окрестность совпадает со всей числовой осью).
Фиксируем точку .г ~-. 11((г(э). 1огда в силу' формулы Ньютона 01( йбннца снравед- ЛНВО СООТНОР(Н. НИЕ «(сг) =-. 7'(»с>) — 7'(7)»7(х — 7) =- «(хи) — 7'(7)(х — 7)Г + ХО ХО + (.с" — 7)эг (7) сй = 7(хе) + 7' (хе>)(;» — хв)— .У 1 ~'"(!) д- —.„-- =- " — — «(хе>) х 7' (хо)(»: —: с>)+ О (» " 71 » ХО 7п(х ) Хс'0(: ) + — -----(.г †.гс)" + + — — — (х —.»С)О+ 'и ' ' ' п> (6.57) (7) »77.. «(» — 7)" ХО )х посл! дпему иитшрйлу в (6.57) ирпмгиим .порему о средисм, Где' и РО»ш ф\ икпии 7 (>») Вьит>лии'Г эг (х), й и РО»1Н »7(х) »э — 7)О фуикция -'---- — ' —.
О и видно, все гречэовйиия .) гой гс орем>*! вып,! ио. шеиы. 10)лу шм: (»' " 7!";О'0 :) с е >!го, х!: —: — — -~' " ' (7) ЕУ =- и.! Х ~ «(.>' -- 7)О 7"'"''>(с) ! >О" >(с) ~ — — — — — »77 =- — — — — — -'(х —..гп) ' п! (и + 1)! (6,56) ХО )хомб>пиируя (6.571 и (6 >5>8), приходим к еле;!ующсй теор>. Мс . Теорема 6,23. Пус"и, фуикпия 7(:г) Е (7»'(7>(»в)). Тог,св прп и!Обо)! п и „!ля л!Обо»с> а 6 11(хо) шсрйвсдлпий форм>:»й .«О(.з>) эг(.»') '-=- 7 (хв) >- «(хе>)(.» — .»О) + — — — (х — хс>) п! (п + 1>! (6.
5>!Э) »уи' с' Е Г.ге>.:г>. Формула (!>.59) носит ижсвйнис д>о7»117л!» Тейлора г осоти»о»ь иьсм Ил»пои о»)>о1)лсс: „7»>И7»»п»»с а, Разум!;с. гся, шсло с в этой форму»и зйвиси! кйк от и. »вк и от .г. Первая груш!и слагаемых в (6.59) есть пе что ииос, кйк миогочлеи '!ей)юрй. Рвзпицй между формулой (6.59) и той фс)рмулой, которую мы изучали раисе„ сОстои1 лип1ь в с)х)рк>е> '>шпсс'и сэсг»»!О>»>сэчиохо 'сле >и», т е', рй'и!01 ти между функцией 7'(х) и се" миогочлеиом Тгй»юрй. Если прежде Х>1 мы зи»ьли, чтО Ос'те)ИО*>иьш члс'и имсет Вид О!(х — .Се>1 >, '>О В фОрыулс (6,59) с> не и сОдс*ржитс'я ГО!ИВ)дО бО>и)с ПО;!1»>бная 1шс)х)!ю>йция.
И!»и 1»!Испив ря;ш >йдй > (огыс:кйние' и.!о!Ийди бесии!НОшой области, вы"пил>чин рйб»>>ы силы ий бескоие п>ом пути и т, и.) введсипого ранее иитегрйлй оюшывйесся и! лостйто ию. Обоб!Ним с'го, Всьпс)риь!х, ий сл, !Сдс бес кош'"и>ого проки жу!'кв и, вовторь>х, ий случай пеогрйпи ичшых функций. Определение 6.8. !1усп функция «(г) Г ('(Г»»,,+ос)), т.е. пепрер! п!Ий 1>й полуоси Га, + "х:). 11й.к>вем т-сс>6сп>астсмл>, интсерссэ>оэи ог чтой 11)уикц!НЕ по дйииой! Нол)п»т! с;и),!уши!уй> ВслиЧИИЪС )'(.» )»7э =-- 1пи «(:г) д.г.
(6.60) Ь вЂ” 1»О „! О О Ксли ксии чиый предел и (6.60) супи»'и>уст, то шггстрвл пй)ывйстся сходя!»!И»и»я и с Гс»ий кипе с'!И>;итс я рй)>иым )том>" вреде)э»у, й се>!и коие пп !Й и!»дс.> !и с) и!с»и>)ст, !О ингс >рйл яви>- вйгтся 7»>с:ходи>»»»ь>с»си и ему иг соответствует никакое "!ис,и>вое ЗНВ и П>ИЬ !!ос кольку для иепре'рьп>ной фуикции ий Ги, 7>) де Йсп>ус г формула Ныотоий 7!с'йбиицй, яс ио. по такая жс формулй гириведлиВй и для ис>собствс:НИОГО ин'!'СГрйля. с'с'ли ис>д 'и>й'и'пие*м пе>рВО- ОбрввпОЙ в + х) НОнимй!'1* сск)твс!11"и>уюи1ий прсвсе'»с О Х > ОО 7(э:) с(х == Ф(сх)Г =- Йш Ф(х) — Ф(о).
где Ф (х) - — - «(Х). >О Иреь>мер 6.7. дх 1' — —;. 0 — (-1) — 1. При имер 6.8. дх — =- )п ', х Г Г' .г 222 223 Поскольку !и (х! Ие иьиает конеэчаю1'О иреэдела на +:.хч ТО 1и)сл(«д ний интеграл расходится. Рассмотрим теперь один Важный для дььчьнейшего иит(«грал При р =. 1 инаегрй.,л (6.61) рйсходитсы ((и. 16)имер 6.8). Пу(ть 1) ф 1« тогдй х (6.62) 1 — р 1 Ясно, гто правая часть (6.62) рава(а коиечн(эму значеиикэ ири р > ! и обращается В бескоие иикть нри р < 1, Такиы об1)азоха, иитщ рал 16.61) гхо()аг)игл нри р > 1 и расхо(атсл при, р . 1. Подобно интт граду (6.60) ькэжно онределить и (щедую1пие иптегралы: и и ( л 1(х)дх =- 1ии ~ Дх)дх; Г.
о «««- 1 Л .а'(х) дх =- 1(х) дх+ 1(х) д». — «Х. -««, о причем интеграл (6,64) считается сходящимся, если сходятся обо иитеэграла в правой части. Определение 6.9. 1'ассмотрим функцнк) )'(х) е е«((а. ()))« И1юграни'жинук) В Окресп(ости тОчки а.
Н«ъвОвеы нссоб(улав(Плыла интегралом от а до 6 величину Ь Ь с «( )(х)дх ==- !Нн Дх)дх. ь.о, а-(-Ь 1«.'ак и в случае (6.60), югг(трал (6,65) с !и пютсы сходли((ала если соответствующий конечный ир(дел существует, н ан!его и(Власы В ацютиашом с)!у'а!те. Здесь тоже лей("твуег формула Нькттонй Лейбница, иринам но„1 зи«!чщаи()ьа иервооб)1)жи(ои Ф((г! 11 ииаке (а иоиимжп(иа 1ии Ф(х). «- иа 1Хрилаер 6.9. 1 Г д» --'-.= -2,)( ! —.= 2-0- . )«х !о о Праьлахар 6.10. О Поскольку !и !х,, 'ие имеет коие шого предела при х — 0+, то иог.,и дний инт()грал расхо;штся. Гдх У)арал(сиеиеае 6,1. Ис( лелуйте иа сходнмость ~ — ири во х р.
о Нары,ау с интегралом (6.66) можно определить инге)г!)а)л для слу'11!е'В, коа'да ОСООаы тОчкй (»Очка, В (эк!)асти(эс'!'11 кОтОРОй ())ункциы н(1 Ограничена) нахОдится 1н на леВОм, й иа Н1)аиа)ьа кОП- и(' отрезка !а, 6! или внутри н(эго (В точке (.). С(ната)(«гстаэени(э, от функции а (х) требуетсы непрерывность ип множестак [а, 6) и.ш !а,, а") «1 (с, 61, При атом соответствукпцие интегралы опр( де)гыютсэ! как (6.66)) 1'(г) да =- !)иа 1(х) Йх « Ь--ол и н И Ь Ь Д(х) дх =- 1(.г) дх -а 1(г) дг, (б,б() ири и"и в глу ии) (6,67'! Ллы сходимост и интеграла тр("буегсы схость обо!ах интегралов в праной ик ти чтото равеистиа. йк и ран(аеь можио )1 яде('.ь обое!К)в«пи нриые'ан(ы(эса а, ()к)р! Ньютоиа Лейбница.
ЮЛИЕ)Ь! ЕЩЕ* НЕСКО«Н,КО айМ()Чйвяй, ли, например, применить оиредете!Ии 161«6) к фуикции, Ь Которой сущ(эствует 1'(х) д» В Обычном ()ьи кл(, то и сн:г; и ))г .Ь Н).69) 6 '„„: ах Ь вЂ” з'(х) ((х. в х(г) ' а,,'>>(з,:), Рис. 6.4 непрерывности ин|егралн по верхнему пределу придем к прежнему:зна'и'!|ив) инт('Грела. '1ля >и сООств("нных >>п !(Гр>шоп 10>им<'пимь$ с о'и<«НЗИ>ыл!и из" мененпями >иге методь! вычисления интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
