Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Очс взздйо., )и<яки'$ р из«ого р<ьзбй<$$<ия >>»Ов)<етззоря< г О>$< нк< л(т) ( р, >и>сколь«у длина лк>бого отрезка йя $$1<О<)кос< и нс меньйи длины сто про< кции йя ось От. Подсчи<н<м г<$$>ей<* длззну Одно<о звсйа ЛХ, <ЛХ, лома>и>й. Или<а>: ~«(~1 )а+ $,«'(.- )-~з,[' =-: ~~~ + [«'(=4'~ 51»сс;ь СЛ>$> — '-- л, — л, $, я к $>рйра>$»<$$<й>О <Ь>Х< = «(ггз) — «(л, $) 1<рименили формулу Х! агранжа, что законно в силу условия п орсмы. Вложив все >зелйчнйы (6,83), вайд<'м длину всей ломаной: 5ялитйм, что разбис ние Т вместе с точками с., образует отмсинное рязби<чни Т, я вели <ина И>.84) с < ть йе что инск, как со>пзетг>лву«>йзая ннтстряльная сумма для нейрерьйзиой функнни ;$'1+ [«'(1) [1 Возьм<лз п>ирь щ)ойзво.зызук> зи>1ж>ььзьйук> искл<донат<1>ь- $««"и разбиений луги Г~„.
Она порождает норлеяльйузо йослс- <О>з<$$<г<ь>>ог'гь отм<"и нньзх разбиений йа [а,)>[. Последовятель$$ к-гь дайн лОманых 1«со>я<адяст < 1«к.<е.»О>зсззет>ь<>ос"<ьн) с<к)1- йетствуюн»их интегральных сумм и, с.и донателын>. $! 1+,<1'(.! ) $' <1)х ~) !»о равно<'плыло формуо$(' (6.82), В ',3«смо)1)ик! теперь вопрос с» Вь)числсипи работы, <сикр<ви- ск)и ц<)к'мсппой силой ца пРЯмолиЕИ'Йиом )'Ейс . ° )с с 'ГКС ПУТИ. '.СЛИ в каждой точке осп О.г и! х, . !Втерийльцу1<) то !ку.
Пйходяц!укксв ца )той о( и, .$( Й(-п3:е< п" ут ВЕЕравлеццйя в.соль втой же осп сила, !о тйкук) силу МО '1 О * ' !" ' ' ' ' ' о 3(' 3И"шипи ж и охаракт(рп кшйть алгсбрйи Вской вс ш"шиои л! и, пс)э<)хОдя 31а к<»эи ИЭ'иский уроВ('ш ст 1)<э!'О("ги к, с'Ептй'и . !т(э сц)В схк 1!К)ции г<)чки в:ю.)ь:бе< коц(! 3ио м э й.ъат) ЦУтп) «сг ВС- личина е'.с) пе, ! . е, У С. ) .
Меняется, и по>тому соверпиццая злсмсцгарпая Работа ра1иш Р'($$:) «(л. Гс., " ~, 1 р х .- ( ') Г ли теис'Рь материальная точка и('р'х '; : ч тся !(я положе>пси а ВЕК),южепие6, .о , г пол< гил со!К*РПЕит цри тсокс РВООГу. 1эаВИ)к) (6.86) к Э'и'('мс т ) ж смотрим !< Перь следукяцую физи*к)скую ца,шчу. 11ус!! и Ек'бо. ' .. Это! ша;)ьшом ИЭ(ср)и<с !ц)од< лацо ()п»е1яти<. и втот шйрик !Им'йжеи !и гл' ад!ПЕЙ ст(»)эж("иь '1ак, 'ГГО он может с'м('.Шй ! ь- СЯ '1ОЛ1 КО В)<О«П ВТОГО СТЕ ржпя.
Прпкре<шм к цшрику пружиику и будех< с'!итать, ч ГО шсц)ик пеРВОиачй;Еь»1о ИВКО»еится и 3 ж »пии равиоЭИ)<.ия. 11ь1>!се»$!К<, кс)куЕО ну ! с ' б (ужиО вй11)атиэ'ь 1)йо(>ту, 'Г1<юы )кр('м1("1ить шарик и'3 пОлОжеиия )эй13$1Ое)егия цй )яюсзОИЕпи.' и. Нс)ц))$3 ВЕ<м ось О г вдоль и) я)Дол! цой оси стержня, а ! очку, 1;и пецтр цшрпка $)йсцол ! $ .
й 'йетса в пс>ложеиии 1)$33$)к)вес'.Пя, примем сй 3$й Ей«к) кООР.сипит. 1<$)к и'»13<с!'11<) и'3 м(» 'и. 'х пики (иаков 1 ука). при смещ< пии шари ка и.» пол<)жс ш(я рйиповы ия ий и<больши< 1)$3(с'!О)пик' цй ицц)ик со стороцы пружциы будет д( Йствопа1ь упру! ця сила, цроцорщк)цалышя ехк'и $»иию $ ' '. ' !» ! Ивец)ВВ)к'Еп<йя в $3РОтииопОЛОжпую (ъ»<' цн цию стороцу, При вашем выборе > О е, < си э чта сила характеричуется а;цтбраи*к ск<)Й Ве)ПОЕИИОЙ 1Г(') =- --)х (6.
<86) Прим< ции к (686! формулу й)86)). Полу шм, <го работа. Гоьч рцк<$$цая )лцэуГОЙ ('идой. РВВнй ~) 1'(<Я А =- -1 э <1,! =-: — 1 "»е ' цй'и ци< раооты иолу шло<.ь отрццательиым. Гак кйь перехк*!Фь цпе шарика цроисхо;шло !)рсэпив поля с.ил. Сооевст!ствсиио, »$)$$1 И1к'о»$0;3('Ешя <ОП1ян'пв;$<'п>ся сц))'ж$1цы и('ОбхОЛВМО с'Овс'риис!! тк" )хс <о ж( Работу. Исэ с. ИО;южи 1<'льиым .Ишком.
6.4. Прил<»жение~ этом приложсчсии ко< пс'м<'я вопроса о прпблпжшпкэм вы- 1' х $)к.к)ции опреде:книого иит<<рнла. Рассмотрим цепр<)рывпую цц отрезке $<а.б! фуцкпию 3(.г). 1)о)ьм<"м <к ко< рйпбиецис) 1 —:. (.г,) .$$$ИИОЕо отр('»ка. Го!да ь к' | )а .$'$ !)э)'л ~; | «$ !« к $ $6.88) 1>у х )дс.с с'имать. что „иппы в<сох миль)х отрс"Экое (Шииаковы, Л,$.( .== )$; величину й ца:кэвс)м $3$«ся«э«1х!«361<()п(л, а то !ки,г, < $;1ОВЫМИ 1<Э'<Ь МП$. 11йх<)'ся 1>$3;)э)и'ип и' ИРВОлиэк('ицыс! Выр)сж('ппя для ин'Гсс'рл *<а Ек) мсм)ему Ог)явку, и ( и)1> (6.88) <эу)сех! Полу*)йм ириб:!Вж< "ииы(" ша к пия для ип !ег)э)ь'$$»1ю всему отр<еску.
1(так. Рш смотрим 1'(.г) <бсх ')ам( ипм 1(.г) ца от)ямке эг(л) «1)' = 1Л -1)!. с,. $ 1') ммир) я (6 89) ио Вес м $', ио Еу-и<к! Ец)$!ближ< цпу к> с))о)эму Еу 1(,г)$1» . ($/<$+ рс сь + дл. !$1!. а $(Ч Е..г,» ко!3<"!Ви!$)й. равной <Л ! .=: 3(л, !). Рос.ЕВ иолу и!м п)эи- 6.<ижшшос- ш $ к)ццс.! 0~ л 7> «, х, « (1>.<32) 1'ис. 6.6 Рпг.
!»17 ) (х) <)х, 1.1<(.г) ().с. (169-1) <1((кО ИОд(»штать» !тО (6 9'>) (6316) »»2 В слу !ае почожителыюй функции 1(.г) форму.н<, (6.8!)) ознапи"т. что на у ~И<гке («, !.х,) заменяем площадь узкой пол<я)ки. вырезанной из криволииейпой тра!и ции, площадьн> прямоугольника ( высотой у,.! (рис. 6.6). Позтому формула (63)(1) носит пазваыи( <1>о1хлгдл<х Н1)>лл<оугол ьшькоа Конечно.
формула (1>.89) да(*г довольно груб(к приближение. Вол(>е то шо(' нриближепп( можно полу шть. если )ам(нить на От1н'зке [х, !. «,! Гра4)ик функщш не гори;!Опт п!Ьпым Отре:>ком, а хОрдой, соединя1ощ('Й к<>нц("вы(" т<)'<ки графика па зтОМ Отр(')- ке. В р('!ультате полу штгя трапеция, площадь которой прпближепно равпа площади узкой полоски (рис. 6.7). У <итывая, из О плопнл,<!» та<О)й трап< ции о'н видно равпа !л-! + <Й 2 и суммируя все такие пгиицади. получим для вычис.и'.Иия интеграла приближ< иную формулу га12>г<е!(1<!1 г РО+Ул )'(,г)(1« = -' — — — '-- + Р> Е + д„< Уь (6.91) »л Еще более точно<) приближение можпо полу !ит>ь <>ели замен>п ь на <(н>тн< тсгв»»<ощ(м у»<а(тк<> график функции ку< ком парайолы.
Д'<я зтого ра.>обьем отр(">ок (а,(>) на»(< ппи>е чис>к) 2ш малых отр<с!ков и замеинм ни учщ гке (хгл. <г.»>я 2) график функции нара<и>»<ой» прок<>»(ян(ей ре>'гри точки («гл„д <'1, (глг>,1, <!гь< 1) и (хз>л»<».у»<уе ) (рис. Й.е), '1тобы легко иа>пи ураииеппе такой параболы, применим ли тод, пред.ю- Ри<л 6.8 же!шый Лагранжем. Введем три квад- ратичпьи <))Йнкции, каждая из которых рвы<а<ли<<пи() в»(в(кй» узлоьч>й точке и нулю в двух других точках. Легко вид(.!чь что такие фупкцпи задаются формулами (« — .«хл;.!)(г' — «гл, х) (гл.(х) =- (а»гл - г»гл-< !)(Илгл — гнд! ) -- «вл)(х — гзл >г)) 1«гь! ! — гл)(:гхь, ! гхл-< ) (!' - !»211)(:~ — «»1<!) < гь» *»(«) ==- — — — — — — - — —— ( гзл — хоу)( гчд ! г — гзл (1) Если записать линейнун> комбиищп<к> зтих функций: 11((!) -= Угьезл(х) + !год .!(»>1.»!(г') з-Р д Кг 1» («).
(6.93) то п<>лу !ил< ква.:(ра! и п<у!и функц!Но» график которой проходит 'ц>р(х>'три '»казанпы(' ра1Н'е "!Очки» '!(1л ззо и буд<гг игкОмая парабола. Поз'гому <И<2 Л'2<,2 "2» > Й 1' 4 <'гл.(,г) <1«' =-' '"»1.»»(х) <(т =. —; ~ <.* <л »1(«) <!х =;1!. 3 Учитьшая (6.93), (6.9.1) и (6.96), пахогп<м, п О Г й„ )г(х) фг = —, (Ргд + Йдг> < 1 + Угл.- 2). (.'уммируя (6,96) по всем У.
полу шем оков !а>н>льиую формулу Г Й ) (.Т) <уг — — (Рв + Р.»„, е 2(Р„+ У! + . 26 д „, . >)+ 3 ' ' "' " ' '' '-'" - (697) Я +»1(Р! 1 Уз 1 ' ' ' ч У>ь»л 1)). Глава 7 РЯДЫ а,„и ( Форх()ь)й (6.97~ носит ивоиаии(* фармрль, 17(ы(п(аиа. Опа яв'ок гся сах(ой то*шой и) грсх ири6лпхкспных формул.
Иолучспи1(х ий(и(, и 1игг1Ому 1гв п1)(тктикс ирс(ии)'1)г(тиос БОль)ОВать(я и хи)иио ( иь 'г«онсчио, су(п('ству)оч и,(1)уги( формулы, в гакхкс мсч оды для ири(хчи)к(*иного в(«(чиол(-.иия гипх(рилов. С,' (сими махин«) и(«та- КОМПТЫЯ П С1И'(И1В,(ЬПЬ)Х РУКОВОДСГ1И)Х ИО ВЬ)'(ПСЛППХ(ЬИЫМ ХИ'- (ОЛ)(М. х* фо~)ки(л)и(ой то (ки !рснпя 1)я() Гго (исл(ии(В иослсдова- «ЛЬПО(т(ч '1(ИИЫ К(ПОРОЙ ((КД(ГИЕП)*1 О(ГПКОМ '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
