Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 38
Текст из файла (страница 38)
11()й< та!ге<к!ы!и, о! раниченность модуля ," 1 ( г)1 на (а. Ь) О 1еВилна В силу Ог(эани и ннО( ти 1 1 г1, Вытеки !Ои!( й пз критерия . !ебега, Поскольку каждая точка разрыва )эг(х)) я В- лгктся <э.'!Иояр<"л!Вин<э, НО ОВОЙсп1ам л!Оддс!я. и ГО'1кОЙ ра<!Оыиг< э<(<1'), то, как и В тсо1)ел!с 6.! 2, <э гскэ,:(г) <. н ду< т.
ч го м Нож( сэ Во точек разрыва ! ((г)) икает меру нуль. Откуда но к1ги торин) Лсбега и следует ин!угри!)уел(ост! )) (х)1 на (а, Ь). .1ля усганон и ния иерг)В<эис!Ва (6,28) зги!и!Исм Очеиидно( !»!- равенство для произвольной инт<ч ргэльной суммы; .1(т Ях,) -.. ~) ,'Х(;ь))Лх,. г < 0.2)!11 Теорема 6.15 (об интегрировании неравенств). Пусть у' <х) и д1.г) инт<трирусмы на 1а. Ь) и па атом отри!к( ныполп)нэт<гя нсравси<.тео 1'(.г) < д(х). Тогда Е<ли В!)я!! Н(юи:и)оэ)ьну!О и<)1)л!<<эн иуа) п(эсэ!сэ(онатеэи и<)с!! Отмеченных разби<эни)!. то для соопи"! <т! Ву!Он!Их )нкл< довательностсй ги!те) ра;)ьных < умм о„и О„, <дс О„шпс! ралыгия сумма ,(ля ) (.г), а <э„инт<тральная сумма (э!я )) (х)!, полу н<м В силу (6.29) нераяе!Нтао )а„,) < а„. Переходя здесь к пределу нри в сх;.
Иолуча(м 16.28). Теорема 6.14. Есэш 1'(;г) интегрирусма па (а. Ь), то она инт(- гриру<эма па лгобол! отрезке )и, <6)!. содсржагцемся В (а. 1)). Д<эл;а)г!т!<<о)о<та<э<э. П самом леле, по критерикэ У!<)бе) а и ! шпегрирусмости функции ! (х) на !а. Ь) следует се ограни и'.Иность иа атом От(эе !ке и '!О. что множ< стВО е('. ')О"к<к 1)ай)ь!Ва име(т м(ру пуль.
Отпо !а ясно, "!то теми же сной(таами она обладает и на гор<')ке )а,)э). !то В силу критерия „1ебега и доказыяает ута<)1элзьенне даниОЙ г<Оремы. .!ля функций у(.г) и д(.г) 1(!я иих Вьшолняегся о и Видпое соотнопиэиие '("„)Л»г, е < (с,)1х,. (6,31) Из этой теоремы Вытек!Нот два следстния. Следствие 1. Е(ли функция д(.г) инте! рируема на (О,Ь! и д(х) 3 О на )а, Ь), то д(х) <1!' Ъ О.
(6.32) » <1<!я доказат<льстиа (6.32) до<тато гио положить В (6,30) ,1(э) == О. Следствие 2. Е< ли 1(х) инпярируема го) (а, 1)) и Л .. 1(х) < В :. (,Ь). ° Ь А(Ь - ) =: Х(х)1"- !1(1 — ) (6.33) а Лок()<эа(еэ)ьс!Н<э !и'иоср(д<'!В(нио сэидует )гэ (6 '10) с у'и'1<ж! <))орл!Уэ!и (6.10). Теорема 6.16 (о среднем). Пусть на отре,!ке (а, Ь! заданы дие функции !(х) и Ьд(<г). причем Вынолиякнся еле;!укнпие ус.)о- 1', 1(.г) н<гнрерыана !ги (а. Ь;.
2) д(х) игл трируема на :'а. Ь): 3) д(,г! ьь 0 на .,"а, Ь). Т(пда 3( 6 1<». Ь): ,,э,д Снова рассматривая ирои иэ()льну!о иорк!гыьг!учо последователь»осы разбиений и соотне!'с! Ну!он(ие последовательности инте- !1)ал) иых сумл! д(!я .1(х) и д(х). получаем 16.30).
й Ь Ь | ~ ~ ь ~ ь ,1 (х) <1х <'- д(х)<1.г. » » Дока, а!)ио<! <)и<<)о. Ра(тлготрим произвольное отме и)оно<э разби("ние Т отрезка (а, Ь! и соотаеп;таугоион инт(тральныс суммы Д<экаэа!Н(ь)! Отиа<э. Из условий теоремы, очевидно. следует инг<трируелкэ<ээь !(1)д(х) на (а, ЬГ По саойстаам ())уикций. Иеирерыапых на отрезке, ~ х <-.- (»,Ь) = гл.-,1(*) с....К (6.36) где !и = 11!1(!'(х)) и 1!1 = аи1)(х(1!)). !».Ь) ( »Ь) д(.г) .:; «(,г)д(.!') = Л«д(; ).
(6.36) .1г е ',а. б!: уь,.г) дх ': О. 1 «(ьй =- — — — 1 «(х) г)х, Ь вЂ” а О 1!усть вна н!.ьн! д(х)ь1х =- О. ь «(.ь)д(х)ьб! = О. х 6 6 «(.! )гб! = «(х)ь):! -". «(.г)г(х. ьн < — ' — ----- — — < 4« 6- Г д(х) ь)х а )„(7з) =. пыьх(Х(Т!). )!(')аа)) Умиожая неравгчв:тво (6.36) ьгв ьь(ь) н у нь!ъньыя аеотрицагель- ноеть д(.г), получим Иитег(ыьруи неравенств!! (6.36), приходим к гооьнонньник! 6 6 6 и! у(х)ь!х < «(х)д(х) г)х " Л« д(х)г!х. (6.37) 146! неотрицательностн уь(,ь) на [ыь, б) вытекает неравенств!! '!!но!а из нсрав!'и!"Пьа (6.37) с;нлует, по и !)ьо)!мула (6.31) буугег. о и*вид!в!.
! нрйведлива !6!и;ьвхьом ! 6 )а.б, 1)усьь далее 1боделнв все нити неравенства (6.37) нй зто! интеграл ноне- 1)о теореме о прели жугочнььх зиеев*виях (ьчв т! орему 3,4О) дго! ньньрерьнньоьв пй отрезке функции «(:! ! «(.г)д(х) г(а .' — — — — — .—.—. «(! ), уь(х) гб! я ььькувбн и вытбка!"! фо(ьм!лй ьб.,'14), Ее!и! в (6.34) положить у('х):— ' 1.
то придем к форму!и !)еыи ьина, стгжьцая в правой части 66.36), на !мечи тся с)ьв!)ынх! зна"иьаисьн функции «(.г) на отрезк! (а. Ь). !и куда п и(ыыьехгьььи! нам!пни!' Тго(темы. Заки* гим, 'по если зам! нить третье уелови! теоремы. потребовав, то!бы у(х) . О, то фььрмулй (6.34) остйен гея снрвж длиной. что ! Твин т о н видни6!. ькли умьгожьп ь ьга (-1) в! 1)пос ! ои! ноьнг*- ни! 6 6 Творе!ма 6.17.
!)ус ! ь функция «(х) ннтьтрируема на отрь* ьк! ;а. Ь(. '1'о!да ьин! ирььи'ььыьыьиьы ьь чнеж! ! 6 (а, Ь) Даказатгвп еьаььть..'Хе!!с! ни!ге!и иьь. н силу и орьмы 614 все ив!- !червонн ! в (6.311) ьуьцеетвукть! !)ьыььхьем и)жпзво и ное ььтмь-и нное 1ьнзбиенн6! '7з! от(я!!на (а,!) днам! т(ьоьх ) (Ть) и йнал«ги !в!к" !в!!!- !ни ние Тз отрета (еб) днам! гром ь(7в). Об! ! дииив 1! и 7ьв но. г ьим разбиение Т отрезка (а, Ь; диаметром .Ь.Г, Я<и,Ь~ л пс(и Г)! ,Гз, М .Г )г(.<Г) =- ~'(!) й. и 16.44) <.и <.а и Учитывая .
по )> д(<)')<(х =- — )(х')дт, ь Г и ГО ')езда из (6..)4) и (6. )Г>) получим <*3 ! Ъ(' з:он пи)гт-пзую>ная ни птральная сумма, на ',а, бз ск гадь!вне п<Я ил интегральных сумм <3 зя отр< зкоп )а. < ! и ',г. 6): Если ),(Т) -- О, т и а(Т<) О, ),(7",) — О. Выбирая норм<!л,ную 1ик;ну<О!333'!е>!ьнос!1 отънп!еппых ра<361и'ний и переходя к нр<)де- лУ !Ц)и ) (<'и) --- 0 а (6.40(, зюлУчим (6.39). А)о < их пор мы рап хи! 1риаали инге! рал по отр<'зку ',а.
б). где а и. б. Олиако ИОл<ГЗВО ра<чпи)ИГп НОнятзн' интеГра)<а на е.,'!у<ай произнольноп) соогиопи пня между а и б. при зем так, пабы нужны<' сж>йст!)а и!п(града сохраня:и!с! . (ЬГ!3! )того !и);икки<1 па а>)реГЗГ.) (* > и па ь и э ,)'!.Г)д<Г =--- - ~ у(:г)<)х (а ь б). (6.()) Топ(рь ~аджип )"!<ирж;<ат>и <ТО <)>ООМ)Ла (6.39! СОХОЮ$я<т<я При любом соотноп)еппи между а, б и с. Вдесь вознпюизт много н() н можнь<х случгиа. )Зоаьм<м один из иихГ а им< ппо: а < б Ге сГ и д кя..* д. ' Гпр «.)д> « ' (0.39).
В силу теоремы 6, ! 7 с ее ге<чае!и!Ым пер( (Ок)зн<3 <епзн м <ц)ад <в лоа пзнпсгрнронаппл гг.с. чисел а. б н с) полу нзх! Г Г 4 ~к!<О<' = !'(х)дг (- )'(х)<)х. и и ь н перенеся втор<я ела!ти'хпя н правой вити (6.42) в;и'пук) пи:ть равенства.
полу знм (6.39). Апало! Я!но можно убеди гы:я и справ<';злнво<тп формулы (6.39) н во и< ех о<->альных но:змож>п !х <'лучаях. Ранее мы получили ряд < оотпоиепий для инте!.радов. н одних и,!которых у ии)тиует.знак ра!3< не! !>а. н других знак неравенства,. К<зкие из ->тих соотно!пений о(")анугся сир<3!3<чк>ив!<а!и при ноноъ(, рьк ши)я ниом, понимаю!и интеграла? Ле! ко убедить- ся. '1ГО 13('(' ГОО<'ною('нпя, <'од<'ржапзи(.':)нак раа()натан, <я'та)Отея и <.и.
из. То<:!а как ()><>рм)лы, Гзи' фн! ур!<р<<ч !«)ранен(тио. Оуд) т Гзц)ап('длииь1 'Го,!ькО, <'с.1И 11нж1$80 10)<чич$ пит<'Грнро<<<н<ия (и'1$1— ПН) В()ОХ<И*!"О, )В рсй. и )1 $ < перь к паж. и 13<ни(х< т< ор<)мам. < Яя ю<п ым < о ююйсзззак!н нн !< 3 ! н!а как <))<<н>Г<<аа ас)м «ГГ Г 1<и б !)уст! ф)пкпия $'(.< ) и><т< <риру<ма па о!рсэкс $а,б$.
Во!ьмем прон:знольную то*!к) х <=- „'а,б! и расс>тг(>нм новую фупкпию )г(,г), задаваемую формулой и (3)$<.'('ь 110 изб<>жа<пп', 1$у*!аииць1 1$< )>ехи'ннук> иит('грирОиапия (яэозни )или 6) кной (. поскольку. Кнк уююывало< ь ран«ч опред< лепный и1п<о! ра;1 не зави<1гз от ее ооолнни пия, а буква х уже нанята Лл>1 об(х3на и нпя )я рхнсго пред(ла и! ГПГ1 рщ)о!3<)пня.) В силу свой<та юпзч рада функ!<ия (6.43) опр< д<леьп! па нп м Оцягзк( !<а„б1..)а,:<а !а <о(-1Онт я ГОм. пз16ы ны>и нить (ИО$1Г1на <))уик1<н>1 й (х) нри разли зиых ус:1Оииях, никла.н нз>)ох<1 !х на > (:г).
Теорема 6.18. Если функ<он< )'(,! ) Ипт<тряру< ма на отрезке ;,а, б). то г <:г) непрерывна на сном отр( зк<. Гдаыа<з<з)пел>Г(пнзо. Выберем прои <вольную то !ку хп 6 $<а, б, 'н нр(об)раз)ем прир!)п<еп>зе.Х>Е в атой то !к(ч .Г:) '-")| .Ги <Х<г =- 4Г(<11(3 3- д х) — )г(.)11) == )'(!)<)! — Д(!)д! == 4(4)д! + ! (!)д! = (Г(!)й. Возьмем Ьх .-. О.
))оскольку )'(х) ни птрируема на <н резке $аГ б), то она огран!Ги на па !и"м: В С' .-и 0: '<<:! << <а . 6$ иг ) ! (а >,3 'е. (.'". (6. )6) $3~ Г! =-1 ! )(!)<)! '-' ))(!)!Г((:-' ("д! ==: ! ==- С'(х<> + Хх — ха)1 = <'Ьх =-- (')Л.г). Если сх.г < О, то Хс) ЛХ (Ох(6) О < ~Л)'~ " « '~ а) х!. 1 (6.50) 1 Г /'(х) сйв =- Ф(6) — Ф(а).
»» 1)и) .з 1Х =- О, Вх н То!да (6.«) 1) Всримс)т вид Е'(хг) .=- Ф(.г) — Ф(а) »нс з.» »н ь ~(х) д:г =- Р(:с) (1).59) х'с »я Х 1 хд с-а.» х„с Гя» Х!» Хн В)(1)у!«х, « 'сй ==. «'1- »тсг) ==. «.'!Л:г!. Таким с)бра:)ом, ири лккюм исвкс .'хх справедлива формула (!)Вх)уьсс)е!Ся. Лс вьсбирвется таким, чтобы то*скн, хв + сзх не вы- !НЛВ 'ВВ иредел11 От!и»3кв (сс, 61.) И ! (6. 16) по 'гс орс ме о» загкнтой ие1н мсчс ной ) следует, что а вто и означас)т ненрс рывнс)сть Р (х'1 и го Вкс .ге, Исн;кольку .ге Произвольная точка и:В 1а,«)), Отсн)дн и вьпекает У1верждение теоремы. В Теорема 6.19. Если функция В'(х) неирерывин на отрезке (и, 611, то Е(:г) диффе1н ицируема нв -)том сл резке, причем ( И копцс вьсх точках а н 6 рс"и идет, рнс)ух!1)ется, об о.:шос торонвеп прои ВноднОЙ.) Дс)мс),)с)псы)»сп)ссс).
Исх)ьмс м, как и раисе. произвольную то Вку .гн с- (с!. 6) и сос»н)иим нрира!ценно с) 1 . Имеем 1'(«)сй .— 1'(с)д х, где с 6 (хо хв + с~х'ВЕ (19 16) Здс"с ь мы во!ни)льзовалисьтеоремой о сред!н м. !юлагая д(х): —. 1. ИВ (6.48) с;н".;сует, гго Л)с — -' == У(г) (6 19) (~х. Уссгремим тс перь Ьх к пулю. 11сн:кольку с с )хв,ха -1- сзх), то с — хе, В то)гдв я силу !нчйхерывности «"(сг) получим из (6..19), что !! — — — »,П!1)) ' ' 6'(гв) -- В'( а)- хь †.а Схх Учитывая И1н)ВВ'!вол!пас:п хе» получаем (6»17). В РВ)к'Яство (6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
