Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Ь, хе + Ь! !и вза производная задается формулой Замечание. Е! Втой тсорсън) ио свойствам заданной функции двух переменных р(г,у) нам )да!тся !)дулась вывод о свойствах Ек"явной !()ункцин, которую нель !я Вьй)азить В Вид!. ю!Иг)й формулы. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 6.1.
Неопределенный интеграл Определение 6,1. 11ереообра.)ио!! для функции )'(т) на ирохиея!Утк! (а.6) ИЕК)ыиае!т)! Фупкция 1г(.х), !акая, что 11а вссд1 (а, 6) выли)лизи тся соотноии"иие СЕ)ССЗ; ВО)НИКИТ ВО!Ц)О!. О СУНЕЕС!НЕ)ййННИ И СДИНСТВЮПЕОЕТН такой нсрвообра! ю! )й. ЬО касается сун!Сствонания. тО, как будет НОказаиО дялсе, )ик) с))1)аитироваиО Во ВСЯКО! ! Слу !Вс )у!5! Ип!рерывнь! х !))Унк!изз!. К!зине'1 ВСНИОЕ'ти жс О'к!еиоЕНО и! т. Носкольк)с если 1' (.1;) е!С1И!С)- образная для «(1). то 1г(.г) -з- 12 ири лк)бой иостояииой С' .
тоже !и рвообразная. ибо (1'!х) -1. «") =- 1г'(х) + й —.- Д(х). 1!ус 1ь теперь 1" 1(х) сн)е одна ю*.рв!юбрк юая для 1(х) вз !цк)мсжуткс (О,у), ) Огда суни)с!Ву!'т така)! и!к;тояен!В)1 б . 'ЕтО иа (а. 6) Вьшолняется равенств!) 1г!(х) =- 1'(х) -'- 1'. „'(е!Нч.вз) 1еньно, !н!с! Ки) !Ь)11к! Функция) !1(.г) ==-. )г! (.г) — 1г(х), 9'(.! ) -- 1г!'(!') — Ьи('г) -- 1(1) —,е'(:г) =- 1) )о!у!а ио !ледствню из теоремы Лагранжа д(.с) == б' на (И,15), !Икуда и с:иу!уст (6.)). Таким <Йр лом, на нрозие.ж'утке (а, 6) есс !!е рг!Ообзхкн!!хе дли ))'( ! ) о!Илизннониза фу он! 1Зуу~!! Иосгнол)!Им.з! !мака).иь!Сь 1(од !сркнсм, что зтот р! зультат справедлив именно на иром),ж у!Ихс.
а н!" Иа каком-.!Ибк! ином множестве. а' 3, а'"(Ь(= --- ь С (иа ) „„!()1 ° 1 гС (' )н )(()»г =- ' гоях + (' , Г (з. --' — „- = !йх+ С; ('Оя" ( ((х :- — (1й.г+ С: / (()н Х г =:-.: агся)н х+ С', (6.2) ()л. (у,.-.--- —, =- аг(цх -. ~ )+х- (6.3) т ~г . - ((х =- х"-'(йт — '-' , 1»-71 ,.С; р+) | Г(и) ((а =-- Р'(и) .1. С'.
Г Г((й(х))»()'(х)((х — -- Г (»6(.1;)) + (". Г ((х 2 ~ — =. )и (,Г) + С". то Определение 6.2. Произвольная иервообрн;шая Лля Г Гч)ХЫОМ Н ( ОЗИа Нн)теи Г (:г) называет( я неа)цх де»)ен)гмз( инга»ге( хм, . )б Г(х)((х. Таким образом, (ели Р'(х) . одна из и(рвообразных для ГДг) иа (а, )), то 3!зки тим, что, если Г(х) иервообразная для Г(х), .го ()Г"(х) == — — Г((г)((х. Позтому )н);! ~~~~~~ и)ггти 1)Гм(а ((ОИ .'тОит еи) '11'О инО(ч как дифференциал лк)бой нерво()бразной З)()я Г(х). Легко доказывая)тся следующие лве форм)т(ы( 3 ес : лесь А произвольная постоянная .
1,((х) и фх) - интегруемые функции (т. е, функции. Имеющие нервообразные). Дейгтвитези»но, иу("Гь, например, Г(х)) " С ",(х) иервообразная для ,Г(х), а с(з) - не))в(х)бра)ная лля (1((г). тогла (г'(х):Е СУ((г)) ' =- Р'(х) (7) С" (г) =- Г(г) 3: д((1(), 1)о равносил)но фо~)муле (6.3).
Анино(и ию у(")анавливвсгс)1 и (6,2). ,. аметим еи(е» что, иоскольку не(л)рел('ленным интсгра;к)м названа враизвальиал иервообразная, то равен('тва (6.2) и (6.3) гл(— дует ионимать так, что они имеют место Лля л)обых не )вооб к: т чно(тью ло постоянного слагаемого. Основой, ля и »Ь рактиче(к(ого вычисления интегралов служит х та личных иинекоторый (тандартный набор так называемых таблич тегралов. На основе таблицы ироизвоциых можно, обращая е(', вьшисать ряЛ таких интегралов.
Таблица неопределенных интегралов 'Эти фо~)х(у)и,( сира)(е)(лив).1 на л!Обем а()амс)!ц(алке. На ко'гором съ!ц()('Гвук)т лщ)ая и 1ц)анан части ('Оотнеге'гву!Он!Нх равгчитв. Посл(дние Лве формулы Отмечены номерами со штрня)м. так как далее будут замщи'ны на более общие фо)тх!)о(ы. ') =- — х) -- 2Ри ~х(т С':=. --.г;.г — 2!и 'х,' + С'. ,2 б б О;щако форм)л (6.)) и (!).3) н(достаточно Ги(я вь)ч)'(зи'щ'я (.колько-нибудь сложного ин Гег|)ала.
Позтому угттцкн)им с(цс н(- которые важньи'. свойства инзтграла. Теорема 6.1. Пус7н Г(и) пг~рсрьи)ни, на иром(жутке (а.))), 2(х) нен!)ер)*)и1в и им(()г иенрсры Н1у)О иронз1к)Г(ну)О на (Я.6 н1ин!ем ((7 х е (а,))) .-.-ь (у(х) 6 (а„[)). Гогла, если ,'1ал()с. сйг (а+»)(«1 — »:) 1 ()(с! + .! ) (((с! "":1') ~ г «1»' а- — »; '),2 1 ~ (и + л) + (и -- («') 1» =-о~" —..—.—.) --- ) ,((и(»')) «/и(г) —," Р(!«(»))» у «1.). — — где а>0. ь«аа -- .Г» Имеем: с)(«« ?») 12 »; =. (Г«! 1 | абаи ')гс = а((и~ ~,,««с!», . ~~2~~У Х == агса)п и + (':" =- аг(тйп — + ( '.
а Д«)ха.!()п)с«»««ьс«п«ао. Действительно, оба интеграла в (6.4) суще- (-1 В? ктг, по( ко»п к)«поды нт(?ральн ь(е функ)!Ни ис?п)и)р)лип)1. Д)?- л(с по прае)илу Гп!ффс)х'НЕ?и)и)канин слОж!Н)й функпин пм('('м (1 — й («()(»ч)) '= — Х'„(«()(»)))«() (:г) =" Г («й(«г))«1) («!'), ')тО и дока:?ЫВВ()т '(л*орсму. й Зшиечаиие. "1 (ч)!х мв 6. ! И«к нт Название,мс пылка и«)«)««)и«и«а«)к К или «исю«)«)«1 .)«Ы(««им игр«еисниоа в н(опреде:к Ином Вите? раас. 1!«ко?с»Воок) форм)?«)у в 16.4) можно записать в 6(мк( н)илвдиой фор?ич ( пом(ицьв) м("гола ио,к"гановки.
имея один табличный интстра( можно Вычислить ли!ого,!ругих ии.!с! рвлов. .ГХри«мер б.й. ! ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ у ,г» 2, 11,: к 1„.! с ',г (1».' =- -,- ! с' «1«г' -й) ' й Огы('тим, 'пО НОд '.?ником интеграла с10и1' ер!ффе!х?н!Еиал первообразнс)й, к которому можно применить правила действия с дифференциалс)м. Вычислим теперь Еисколько новых табли гиых интегралов.
Рассмотрим Раним образом, дополпж и таблипу интсегралоа форму«н)й (1«г» х' 8. ~ =- —, == аггейп — + С (и > О). Аналоги*о!и вычислястгя интеграл (' (1.г 1 л 9. | — —,— —,, == - а!'с()« - + 6' (а > О). ' ',| с),а+)се а а 1 1 !а+к), йп!а -) г — 1п'а !)) +С = 1п1 — 1 ?-( 2а,' ' ' ' ' 2а !а —.г) Итак, но))е'!еп еще один таблпчный и!гге( рил 10. --,— — —; =- - — 1п! — -«+ (" (а > О).
«1г 1 !а+.! ~ аи — хе 2а !а — .г! +Г«)т И!П ('.!'РВЛ ЫВГЕКО?) НКИ ПЬК?ЫВВКП* вВЫ(ОКИМ ЛО!ВРИфМОМ)е Вьн?ислим са??н рь — — гд™ Ф ь',ге»г И | с)»: 1 (и г !. ?««Т) + й =- и,' — — — «1»; «1!« ,«л';.!'- -',.=-..= ,'==|-„= ~":=--'=-,-л — )н !!«) + (' =. )п«(1+ ! и ' Д!+ (' '1анесем зтот инт(1 рал к таблицу. ««.
| —,— = — —..::«)Г?«: ««).«.«' (А«О). у;.и-- ?«»' -!»1 ,1анный нитсссрал матс митики на,)ывак)т (Г!»Нншым логарифмом». ~Оба?и!к! к тиблину п«Ил(и(нне /(Ва и!ГГВГр!Мн?«котс)1)1(е пр(л)и?рительно вычислим (1 (1««' -~ Х' .= )п «!)«-'--~ + 2 , | " ':,+), ь')с('-"«'-) «а 2~ Ж: .г 1 2. ! — '— . = ! и ( 18( — ' ~ -, (,' зыпг ь 2 — — (ь(' (--,)~.((( ь |к О„|ин ( ьн ьшаз! Пыи хы ГО ! ин| с! рп1)О|ьапия кОтОрый назыВагт('я ьпппс(7|э(|1)она|Гаем ло ч(гсьпьлзь. Теорема 6.2. 1[усп функции н(г) и п(х) 6 бп((а,61) ( т.е. (ами ьнгйнрышьы и икнкуг нщцэсрывпу|о проиводпукэ на (а.б)).
ь (э )о'(х)(1х =-. П(х) и(.) )„— а(х) ь('(.Г) ах. (6,5) Доххьоаыиьььсглоо, 11( й("ппп елыкь, ( )='- ы(х)ь((х() ) == ьь'(;г)н(х) + ьь(х)Г'(х). (6.6) Все функции. участву|оп|н( и (6.6), непрерывны, слс;|оватсльпо. ьььы'ы)т ьы)рьык)бр(с!|0 н). О и;еда ) ь 1 (( «») + '"| У Вамстяьь, что Одной из первообразных для ( н(х)п(х) ) очевидно Явл)нт(я н(х)|'(х). )о!да из (6.() и выт(каь.+т (6,:)).
° Формулу (6,5) можно записагь в более наглядной форме: ( а п н ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ « ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ э ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | и ( о р к ~ г(х)(1и(х) =- .(х) (|) — ьь(хМ.(. ). (6.8) ,ха!Пи ьй ььь'тО1! имс("Г зна'пьт(мьь(нО ь)ол(',с уьку|о Об.|неть прим(ььн.'- ния, чем м('год замены и('р( менной, зато в этой узкой области он ььсзам('ььььм. Л!)имер 6.3. ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ з х сов.ьь(1:г =-. | х" (1кьььх .= х . шх — кш г(1(х ) = =- хе аш г —. 2 х кььь( дх =- хз ьььь х+ 2 х(1сов х = — †.г |йпх+ 2(х(око: — сок.г(1! ) =- ') =- .Г Яь|Ь Х + 2Х СОЯ Х -- 2 ЯЬП Х + С.'.
Здесь дваждьь применена формула (6.8). 200 6.2. Определенный интеграл х с,,с г„,=.6, Мьы))к(ьстььо точек (х,) ьььс)овскь 1)азбненп(мь от1хьзка н (ьбознаьим кратко буквой Т. Введем да(и с величины .Л.г, =- х, — х, ! и 1.(Т) =- ныхЛ.Г„ ( ьде (ьх, длина отрезка (хь |,хь), а (ь("1") ььаыиььькь ()паиетроги |ьазби( ния Т. На каждом отре:ьк(',.х„.
ь. х;1 выберем произвольнуьо точку сь( а, РазОие|пье (' в! |01жьшыми *ьо'|кйми чь назОВСМ о|пхееисйнмж 1хмбпсннгм и будем обозначать чср( з Т. Ясно. что диаметр отмеч( нного рььзбнеььия 'к(Т) не зависит от выбора точек ',, поскольку ььоььностьк) (ы)1хьдеэья()Гся мнОхп ствОМ (х(). С.Опоставим каждому Отм('*ппььн)му разби(*ни|О Т сух!к!у о(Т) =-. ~ Яг"„)Лх,. кон)рэно иазо|и м пнтса|мльной с|(1зьььо(ь для функции ) (х). Определение 6.3.
Последовательность отмеченных рььзби(*- ннй 7"„на)ьпьаегся )и)1хм(ь. |ь(ноьь. (слн йш ),('1з(,) == 0 Определение 6.4. Если для лн)()ой ьк)рмальпой послсдоваьсльности отмеченных разбиений (Т„) соответствукхцгп! |юсл(- , ь(ньагсльпо(ть ниг(|гральных сумм (о„) сходится к одному и пэму же пределу,1, то этот и|яде)| ьысьывается опред(ьл( ньгььм ихе пн, 1)алом от функции Дх) по отрську |а. 6|.. 1пп о„— -- .1 |дс о =. П(Т ). 201 Наряду с неопределенным инте| ргмаьм (см. Подразд. 6.1) существует н другой тип иит(|грала. Называемый о)ьре()е.)еььыы.(ь ьььпа(е|м кон. который, на ььерььый в ьгляд. Иич( ь О общ( го и» и к|(е !' с ььсоььредслеьыы ьх! инт(гора:|ом я лшпь в дальнейпн'м выясьп|ст('х их глубокая внуь 1)енияя ььзаььлы)с!!я эь.
Пуст! На Отрезке (а,6| задана функция 1"(хь). Разоб)|нем э!ОТ отр(ГЗОк иа бО;ье(.* м(лкис пи:ти конечники числОМ '!очек 36 так. *по | 6 !'(х) (йг. (6.0) Ри(. 6.2 Рис. 6.1 6 Ь Ь | .!")'Ха: -- .Т(а) ! ==- .!(!),Х! а а а (.'ледона)(льно, 1! частности, 6 Г 0(6г =- О. (6.11) 202 203 1 юумсе)(ть инте! )ал ' ' 3?, . сущ(ству(*! нс у всэ)кой функции. Ф ! , дэ ! кОтОрык с'~'щес;!'пуст О)цяьк'эи!)п(ь (ас !3., 6УДеь! Пеки,п)33!.! тапс гуи!?Рем()алис н,( пох! о(Р( )к( ( И('НОЛЬ:)ОВЯ'П (Уи)Д)*)О)Ц(К) с)Хля ОН!яде(3(чп)О! О 33нтег1?Клаб>" )е и и . ! Обозна и:ние: а аналоги пня обозна н)нпкэ пск)пределе ' с ', ; м .Нного ип г(3граля, однако в данном случае в('ли "Еипй (6.0) чис;ю, ' . ')э И ),)угу)о эукву, о)чек ( ' ) Вм(()о т можно использовать любую дру. б )О знач(ни() инте! Р)ла и() изме ниг(я: 11очсм у жс* для северин(нно друго! о Об>(с "- сктй выорапо ооозна- 'Н ННЕ.'., (* ТОЛЬ НОХОЖСИ! На ИСПОЛ Ь ЗОВВ! с ни (, *.: .": (Ися )(ля неопределенного интеграла" .Это сч ., " ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
