Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ооознй !Нм 'и р(з Л«оМ риис!Няни< меэк,!у зтими то ! коми, взятое са злакам, т е. Мо Л1 равно роост<нюню В зтом случае говорхгг, что вычисл(нй /и/л/и/л н1)/)/ы</т/<1//ал =. но х, т. Гч щюизводния, у и! и щающю! кйк не~Оср<'дственнук) зйвисимость = от х, тйк и и!висимость =. от х н)рез по( рад< тво у. Приведем те!юр!/ без де)кйойтелыг) вй ВтОрую !сор()му О !0)ои нгодных сзнткной ())уикцин. ~Ч. "Орема 5.
Пусть функция; =- «(зч у) дифференциру< ма в тх)ик... а функции х = — - /(/(!/, Г) и у =: <)/(и, а) дифференцируемы В то на. (Цо, Го), при к/м за =- <1(ио. !/и). Уо — — — Ф(ио. Го), 'ро)гдй сложен! функция (и. Г) =- «(а)(!/, </),/)/(и,//)) 5!Н<))<)э(ренИИРУ< мй в точк(* (ио, Го ) н «(Л1) — «(Мо) й) Е!// Ц' дс (хц"Гоеобо ' ' «:-=(Л)а)) /)е ' ьеорема 5 9 Пусть ()э) нкц!(яо <ке / а(го, уо . '! О! дй у нее существует в з той то*! ' К Х)М)' НВНРОВ;Н'Ни)О О.
К<НОРВЯ ВЫ')И ' сляе ! < я но < юрмул< се(Мо) =- -.',(Мо)<,„+ .'„(11о)< х (5 20) Доха,з////!/и!Ь< !/1//а. В самом де ич ..,, яд<" ич )Вдйднм ир5!х!уго. И)н)хОдящук) ч<)реи 1О )ку Л«о в нан )Вил<он!н и *, 1 и ю че ' ' ' .;: ! )екторо е, в нарам< три н"- екой форме: М/.11 =-.
1е. или с "=:- /'о -) 1/;,: У -"= Уо + 1/ / (5,21) Ц! форх!(с! 0) 21) и< х!<Оь/и)нн</ < и ' ! 1О <.и„!уе!, по щй)амегр 1 кйк раз н СОЩ)йз(й<)1' (" В)КД('ННЬ1М ' ' ' '. " ' ' / . О О. ранее рйсстоьчни м (о знаком Л1)М. Позтому формулу (5.19) мож!и/ пер( нисйп в виде „-,'(Л«о) );щ «(/о 'Е )е' у:-1<„) -- Пха., ) /-о ,) ')')) Но нырйжени< !'5,22 есть не по 1,;. °; ' ' " и по ию<. кйк опред<леиие производной в то"<ке 0 сложной функции От 1: а(1) =- «( / (1).
у(1 )') . /де х(1) и гу(1) задах)лтя формуломи (5.21). Поскольку но условию функция -=- 'з:, < . и< к и ма в то иа" ' /о уо). а функции:г(1) и у(1) ди<рференцируе. * .ювой о(и как линейные функ -цнн от, нрн и/к! :г(0) =- хо„ у(0) = уо.' х (О) == Г„., у'(О) --= <'., </' ', .! о В силу теоремы 5.7 воз! гцгх< формул) (5.20). ДУ тО' кй Мо, Л« МЕ)К ' ' ', ' '' ('М1С1И1ЬСЯ В НВЩ)ВВЛ<ННИ НЕКТО. рй е, и хил/уг Втом) )ни<-п)янн!о. (< л э.
(Тли (м<)ститься в щютивоноложцу!о с'пэрону. ОП О ЕЛ р деление о.8. 11р/эгг)//(э/1)/<э!/' /«)! и а ел .. ' у !к)ЕНН .=-, 1) /и/ на и)х)/ха<-ннкэ е в ГО ! ке М иальн и ; ' о ' -' П)й(") ('и Щ Ц)аж(')Н1Е с, =- сова. с, =- соя 0 =. Язн и, Х(.Г.у. =) =. е, '(1>с(Л|а) — ('-.', (ЛХ(з): рр(ЛХ<$) ), (5,2')) П ар)р =- -р- .ПЕ )П,ПР "зр ' пз),5* 5).гз' 182 На и;нк ко( ти формулу (5.20) р!ажио переписать в иной форме, если ьспомнить. что где а н де углы. которьи вектор е образует ( координатиыми осями Ог и Оу со(па('«тгвеино. Л им( нзн>. ес(ЛХ($) =.—;, $ Л|<$) сова +:.„(ЛХ<з) совр =- =7 (ЛХ( ) сова+ р< (Л|а) вша. Лля <))рнкции и пер('м( нных и =- Х(гз,.... Хп) производную «ю нанравзн ии!О л)'изи в(( го е (лаз) озц>('дели!и ие) ()>айму:и 5 аззан)гичной (5.22): Х(,(хзз -$- 1< !.....Г(з + 1( и ) — Х (:Г ), ....:г(„) и'„(Л|е) =- 1нн — — '-$ — --" — -------.'-'— — — -" — " .
(5.23) 7-"(З Р юумеет( л, т< ор( ма 5 0 буд(т ( зц)ав(длива и )з этом слу иич а (1)орхззтиз (5.20) $$рим т вид „((Ц), 7 7 „,7 (5.24) !уз<1 е =. (<«.....с„), (е(:= 1. Нвед< и в слу 1ае двух !к ременных векзор который шюовем г|)адишиаа$И фуш(цнн .-. —.— Х(х, у).
Позу!а фор- мучу (5.20) можно н((ячзиеап в виде "„,(ЛХО) = те>е(Л|е)е.= $(ь>е(Л|<з)$(е(сове!). (5.26) 1!оско'н ку $е( =- 1, я( (к). по максималы«к зю хзо,зул!и (и «ц)ятом и( отри!ил(шьное) ша «ение нроизводиая -,(Л|в) принимает при м =- 0 и совпадает и э гом случае с, р>а(51115) ~.
)акир! образом, грае)«зе'7<та )а)ар)аале)! а с<аарону 1(аззХ)ы<5тХ)е.зз«аего росша е|>унхгцззи а даннаи л)а (кс, а его «Надули е оа«и<даша с <мп>рсипзезл шил( е КОХ)ел'ззг)5)а р«пгзпа. '+Го очна нн г. 'по градиент облад(и т с!К)йством иез((зарзз<1717$$— заи77$17. Если. И)шрим(р, пов(риуть (ист(му коорднз!Ит на нло("- кОе'ти.
тО и'зм('ияч(я как кООрз[инаГы т и (б так и коОрдинаГы ! ра,зи! Итзь но и зм(и)гпя оин таким (Йр(к«озз. что сам град!Нз!п как вскт< р и( т)и!ется н( и.зхи"ниыхз. 11('(' .) ГО ОтиОГИ'Гся и к с.зу'!<«к) функции 7) !«ерем()ниых. Упомянем еин об одном <'!зойс и!е грвз!И(з!Гга. Назовем ливией уровня функнзн! двух н(ц)ем(нных р =-: |(х, р) линию с уравзниием |(л,у) =- (, Гд(' е* 1и"кО!Орая НО("!О)н!$«ая. Ок(!э!из(з('"Гс)$. 'ГГО. ($(ли |(2:.у) днфф(р()ицззрзхзма и мы вы!и(:знм «.ради(«зт С<с в лзобОЙ точке линии уровня, то он бъо(ег нерпендикузоцх и этой линии (т.е. иернендикул)цн и казап<льиой к азой линии в (оот!а г(твук>щей то «ке). Лна)!О! Ично.
Де«я ())ункции т(я х !Нз(к'менных а — — |(,1, у. ") (5(. пою асан(нтль уроаи я буд(<г задава п,е>я уравне)«иелз а З 1)адн()п 'зг' 1115 лк)бой то 1к<) э!ой ио!зарх«юсти буд< 1. «И1И!(Яздикулярен касателыюй нлое кости. Это свойс$пю гряди(чпа но:!воз!я(т использовать сзо и г(зометри и'< кнх задачах. В()ри(ли:я к ()лу зак) д$«ух и( ре!Хи'нных. П)еп функ)$1«я |(.Г,у) име<т обе низгньи производны<, и, в некото(юй 'р' (кблаезтзз. 'Ео«2!11 можнО ра((<р!очц)еть в ( вок) о и р(дь !И(-и!Ьи нроиэводпые от «о их часпзых прои шодных. 1"акззм обр!Гюм, нридем к еле)1)5«ОН!им зетыр< м прои зво !Иым азаа|)ага >)ох)лдха от и(хндной функции: ) -,...
) ., 7. \ П ))7 П 7,7 7 П дг- (Ха- <Хззр (5$)$!я них также уоотр(бевзются о<к) зиа к ния - — -. —,— д.га' (Лге)ЗХ' еду(ЛГ |12 с дув' ПРОИ ИЮДНЫЕ "',.р И,",„НОСЯТ НаЛ«аии< «МгопаННЫГ Нйазиаа<1- нмт, Можно |зов(1«зази, что а «луча( )ии|п)уыиногти совета)тмх 7)Х)е)(рзезе)дз(зр с они, с<на>ада!вяз. друг с (ХХ)угоги5 так что различных ироиэводньзх второго норядка )и и тырс, а три. Аналоги пю можно онр(делил, !Нстньн* нроизво:зиьнз е!Кхк)- го пор)здка для функции лк)бе)1 о числа пер< мшзных и $«ри этом, в <ыу'зас нсарерманосши емз<51$(а)з)ия.г зц)аиез<зе)<171(пх, они будут зависеть лишь от того, скол! ко раз проводи)их ь дифференцирова!«ие ИО каждой и 3 н(1И м( ннь$х, ИО и( Оч ИОря;зкз, в ко«Ором тако( ,<иффер("нцировазнн ярова„!Илось.
Например, Ранее была по.чучепа формула для дифференциала д" функцйй двух переменных. (Ъ(ь! видим, что <1" зависит как от точки (чер(з погр<дсп)О свопх коэфф<щй(»)пов, сов))а;<яюших < <астнымн производными). гак и от днфферепцйялов пер<'.Менных д.тз дЭ!. От<пг! отметить и еще о;пю обстоятельство. Если )яппсять днффершщиал фупкцйй двух п(*р( менных в виде дз =- Р(т.у)дх+ ъ)(х,у)ду то в слу (ае, когда 1)(лз у) н Г)(<(з у) илп кы <н)прерывйы(,* нн гные производны<*, справедлшю соотнонн;нй<' д~) <ОЕ' дх ду поскО 1ькь' и та, )$ 1(ругая (ютш"п!ня < Онп»$дяют <О гм('<наннОЙ НРО- д ИЗВОДНОй (Эхду Определение 5.0. Вторым диффер<пцнялом д-о функции пескольких пер<менных назыв)и*и я днффе(н нцнял от <к нерво- 1О дйффе(ю)щйаля дн 1<рй )с:)овй)1» ч ГО дафх~ж?)е«((па„(ы )«»;«(В<е с<ьмых 11()р<РМ()(111»(г счотант<ся тто(:тт(ол)и<и<ив.
2)ля функции двух незавнснмых И<ром(нных:1, у ( у и'- гом ряв( не п)а ( мешайных произво;(ных вь)раж< нш для второго <йфференцнала примет вйд (5.27) <Эзх =- х,". (дх) +2Х».»т<бгдд-ь хъ (дУ) . Выраж<'нн< (5.27) предшявлжт со(кн! тял назь)вяемую кнадратн шую форму отн<юительно < ьк к!ора дйфференциаловь (<Эх. ду). ъ ря:1у ж«' »!М(гг)<м, ч!0 В Отли'п!с От нсрВОГО дифф1(хепцня та Вто(й)й дй<)~ф( р( йцйал и(. Об:И!дает свой< твом й)<вар)<а<гг))остй: если .г, у перестанут быть независимыми переменнымй, а сделякися дифф<»ршщиръ()хп!ми <))ънкциях<Р! От д(»уГих 1н'(ижн)нных.
то форм)ля (5.2?) не буде!о ст)Э«<оьЭХ(н<(о. Поэтому нтор<»й .(нфферш(циал можиО с <итять лишь ъз(обных( <'Окр($(НСНРИ*.М д;1Я записи слця д< ленной комбинаций производных и диффере(щиялои аргументов. х(ОГОВОР(!Моя <)щ<' О следу)Ощсй т()ръ<инОлОГии. Еслй,з.'!я )!КР- бого вектора (дз, ду) у': (ОД)) второй дифферепциал две бъ'<ет огрого болыне нуля (меньше нуля), то будем говорить, что ои по лоо«)1<тле Г( но оп?)< дех<ет( «'нп()пцотп(льйо от(рс(Э< и и).
15)зу<;н е(1я, тако( условие бъдет Выполнено не всегда., а:!Ншь нрй оп(н делей- нОМ ()ОО'1'нОшш<ии хп)жэ(у кОэф())ици('!Г!а)зи д х. Пер( йдем п)перь к вопросу О локальных эк< тремумах функ= ции двух перехн иных " =. ) (.г, у). Определение 5.10. Функцня = ==- т'(х,у) имеет в точке Л<о .»)ок<ыт ни<а <иоксит)<м (((1(н(ы<<дъ<), если !) П(Л?о): Ъ'Л? Е ($(Л?о) — 1(Л?) < У(Л? ) Ц(Л?) > 1(Л?4. В дяйном Оп(яд(л(нйй (к)чь йд(т О <-)ро) Ом мак<ъямъме (мйпйм) ме).
Есл)1:<,(()сь захнтш! и, зпяк и<"равшн)тва на неетрогйй, то ш)лучйм нестрогий максимум (минимум) ..1окя;<ьный ъ<акснмум н локальный мпнпмум носш собйрательно< н(ювянйе локальти)ео зхстпремуа(<ь Теорема 5.10 (необходимое условие локального вкстремума). Пусть функцйя = =. Э(.г,у) Имеет В точке Л!($(хо,уп) локал~ный за< т(я МЪ м (бьггь мож1 т, $« < тр<)1 йй), й ИЪ(ть Ойа дйфференцируема в этой то'па . То(тда =х(!'о уо) --- -',',(го.уо) =- О. Замечай(<е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
