Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 43
Текст из файла (страница 43)
— бби. Аи =.,' 11. и —. 1 л 'х! . *'Ч' и ) Х ' аи б би ся<»д!»Ии>я. 111апоыниы, что для прои.ьволыюго ря;(и такое уп«)ржл(*,иие иссправе»(ливО,) В е'ВО1О О')е>рсдь из данпОГО фак'!'а мОЖ)ю Вь>В('сти два п)нкп!ика сра!п)ения. Теорема 7.10 (первый признак сравнения).
11усп, даны два ряда Т(пу(а нз сходикикти ряд) ь болыпимп ч.ивами <леду(т схо <п к!Ость ряда с меньшими (:и ю>ми. »2ака,пни<»лы>Гаво. 1) самом деле. Обо(ип)»)иы и ре:! Аи и Ии <е) спешьк сук(мы рядов. И ! 1'7 12) с и лу< ), что 11О рял 2 би ()ходится к !Икоторому числу Л. 31нда вь!пол)нитии: ! ся и( ра1«*)н'твО Ви < 1>. (7,11) 11)ш)омпнм, по в !сором< Вей()витра(ти п)«у<ел моььотонно возраста«>щей последов пельи<к"! и совпадал с !о )иой !«рх)и й Гранью. ! Из ','7.13) и 17.14) находим, г)о +!и О !Иаимт, '1п> пос»и»<о)иь>сп ио(!1 (ли) (и Ванин)ш.
и ')О!да ряд ~ аи «ходи>(ть и — ! ВаМЕП!и. ПОу<Л(Н>ИЕ <7.12) МОжНОЕИЛабнт>и ЗВМ< ИПВ(ТОтр<- бовш<н<'и, *п(>бь! ,:1(11)< >вительно, Гели выпалит--!Гя 17.13), то и<ран(и<егво для шею>в рядок можеь. Вар>п)ип ься лини для каис <наса )псла номеров. Отбр< к пм ш< иь! двух рядов с зтими иом( рах(п. От чтоп>, квк и як стно. схо <имое гь или ра(ходнмос ! ь ря Гов не измени пть 1Ь) для новь!х ря»ьоп уж(' бу»<("! Вып(ьпк ио (7.12).
Теорема 7.11 (второй признак сравнения). 1!у(ть,<аиы лва ряда с п<»Г!Ожнг<ьп пыхп! )ле)тми ~~ а> и з б . 11ус>ь7<>ки>е и, и. и.-! и::1 аи 1би при и - -х:, г„п б —;-' 0 1о!"(а;пи два ря;и ( хо,,<я пи или ра(ходят< я одновр< м< пно. Дан<в!апии>ь<.тва ..1ой( пипельно. по пир<' кок ни>о зкви>иь и )пног>п Отк),<а >!Олу>пи'пи соотиопиьи)и> ,'1' п(т)пю)я !цх>сттй!пне свой("!ва шсловых рядов и !и;рвый прих >иак (равнения, !ш !'7.16) находим, *по «" ли сх<о<ппж ряд ~ би. и:-1 го сходиг<я и рчд ~ аи, а такж<. с< ли гходится ря,! ~ и>, то и -1 1 ГХО;Ог(тя н ря.! '~ би. 1»Оа >циГ!Пака ('рати'иия )и>звО:1я1О1' п)м1 после;<о(санни ри;ш, !т < ходимоеьь снес>и»апачу к нег)е!Опани)о шкогор(по друго!о. как пршьило.
бо»и е орос! ого ря п). Но для ирак пеиткого при.н нспия згих признаков нужно им('! ь>и"кий гтап;шртный набор рядов, про которьи изв( е> но. сходни я оип иш и< т. и с ко горыми можно сравиивап другие р>Ы<ы. Ее<ни(твеппый )пи<("п)ый) нам пока к.икс !»Кпх )ж;<ов Оора>гк>Г Ге(жигц>и'1оскн<) прОГр<'("сии, т. е. ряды ви»<й '.)пачсгп сс!", где (. > О, сз > О. Е и )>.=.1) (7.17) ряда си)+1 1пп — )е и„ и„)! ")сп 3 Л' =Ф вЂ” ' — — 9 < сз, ии и, 9 — с! « — ' с! + с) == (!1. ии И,)И 11 з (7.22) следует пера>я"яе) во (7. 23) ип 11 < С())Ц)- сз)(ч ! < и)у(11! ихси ите!9! < ()у(1,! ии >;! < аи си(71 < ссяс)!., :3. или С! "Е) < (7()и <(1+с)=91 < 1 ° Ч1':3 1 — и().! с < и, 9 ь (с 2!) при О < (7 < ! такие Ряды скопятся, а при (! ~ 1 расхоз(я)ея.
В простейших случаях можно сравнить ряд с рядом типа (7.17), попо(*родственно при)1(пп!в один из признаков сравиеиия. Возьмем. например. рял Очевиз(ио, справедлива следукяпая оценка для членов иго>о / 2 й Но ряд с члсиами 1 --) зто геомс"три нская прогрессия с Ы 2 с! = -- < 1. Такой рял сходится, а тес;са по первому признаку 3 с.!жвн(.иия схОдится и ряд (7.18). Одпако часто ие )дас)тся пепосредствеп>н> сравпить члепы ряда с гип;иами !Ооыстрическс>й прогрессии. 11озтому приходится искать другие пути для такого сравнения, Так появились следуняцие лва признака. Теорема 7л(2 (признак Ко)пи). !!усть для ряда ~ и„с )).— 1 положит(>льеыми членами вьшолеяется условие !!ш ( ~и (7.19) и--ъ; Тогда при д < ! рял сходится, при с),ь 1 расходится, а при с! =- 1 10)и псах 0)в(;Га >п*, зса) 1; Дна,>а)с)ссеьс)псзс).
(ействителык>, пусть вначале 9 < !. Возьмем такое малсн) число е! з. О, побы с!1 — -- д + е) 'п>же бы>п> хи пыли) едип$щы. 1 аскрО( и у(ловчи' (7.19): 3Ж: "''и.- Х =~ !)Ус)„— (!!! < с!. (!)(1), < (1>, и,„< с!". (7.20) По пс'рвому признаку с рав!и'ппя из (7.20) и вытекж)т сходимос-п, ряда. Пусть теперь д > 1. Возьмем такое хп))!Ос) ее > О. чтс>бы 9— — ся — — йе бь!ло болып() едипипы, с!И(и)а раскрывая () .!9), пай- ДС'М. ЧТО ~ (12и с!п НО ОтетедаСЛЕДУЕт, ЧтО !!П> ап =- ОС, т.
С. и„цс("Г!КМИТСЯ) К ПУЗПО. и 'м. а тогда по псобх()димс>му при:знаку рял Оп(хо,сипя. Теорема 7.13 (признак Даламбера). Пусть д)>я рядн с по.!ожительиыми шепами ~ а.„выполпжтсся условие и=! Тогда при с! < 1 ря)! сходится, прп 9 > 1 расходится. а при 9 =- ! признак ответа ие дает. Дс)ксьзитс)льс)гп(зс). Пусть сначала с) . 1. ВО;зыком такое малое ез > О, чтобы 91 =- 9.+ е) < 1. Рж кроем (7.21): Выкипим перпвепство (7.23) для нескольких поморов, начиная СМ: Видим, 1то справедлив(! ( Оо п1опп.'иис Ол Ьз ).Вг" 3 'т'гг > л(3 =-'- 1 =-' (г < ---'. И, ол < л,,!. '433+1 3 Дро мер 7.1 Впр ~(!!Т1~ !7?26! ).а:л ? л ХХр(?асар 7.2.,? --.
о > О. и,' л=- 3 — В < 9(г,! .; (г!',( ! !7.27! !!з !г 23! (лслсет. ! Го (У г > '( — ",(,г!г'! — с', '?.1(3 11ерсо6ози зпим ип;и к(ьз, !«)липу! .((' + А' =-- ггг. То!да шряа(ч(- ег1К) (7.21! Прим('1 Вид л~ ' 1(3 у(31 т, (л ал, < С'(1~", )де 1' =- (1?у(!! '. 113(юда ио и(раому прп?и!яку срааиепия полу !пм с)юдимос-п, Р))ги(. 11ус'гь геи( рь й > 1. 1)лы()ерс м ля > О так(я. '11ооы Ча --- с! —.
— В > !. Ил !7.22! Иолу (им. Ипо 11о 5 го О'ин1'за("1; и'О д.,3)1(3'ВК13Х 1(ОМ()р!«5 :133(3(из( после(к)аямльио(ть 1(ь(~ с иол(окигеппымп 33«нами моно1оиио 3)озра(ггае1. шзчииая с номера .Уз 11ОВГ )му Оягом . (Ига ис мож! т стремитьея к иулк). т.е. !Уарупи и ис"обходимь(й при шак и И ряд ра('ХОдитс'я. И кя и?стае иллкюграции р(итмотрим с.,(еду!оп!и( даа ириК1('ра. йпл1 Рии ~,'((л ---. !Ии - — ---- --- -- < 1. л . л " л -- .Иг - 2 6 С,(е,(о(з(ззе. В*Но, дазпгый ряд схо,шт( я гю ззризиаку 1хопи(. 1(ш — !Ип — — — !ш О --к о, '--. !и, 3-1?',ол -.
и т, Слечсиизгельио., Вшиый ряд сходится гю при шику '«и (ам6ера. И 3 (гримера 7.2. Вспохпшая ие(кохо и(мый иризияк гходп;«к-ыз. можио ег((О!)с! ь (зажиый вывод: О Чи " О =" Рйи — — == О. л.--п! Иг(я'аь Вяга цс«3«'ии'и:иибг„г;,53(я'глиилг В7)лди(г(иуа(3 полаиагпсыьиая 37)р)(КУ!3(уя 7!?сугг(3773 .((с'(1 гс'ггу(сс' ггх(кггго!)73(3)3(г 03)и(ти?3 ш(3(ь 'пО как В 1(риз!(ак(' 1' О)3333.
так и 13 и!)И5пяк(' „.1алямб(ра 3« 1«клю (еп (лушй сг .=. «х,,13В сь ирз( 31( казапльс(ак р(и:ходи мости такого ря:са В кя «спчн ггтг можно 6ра 3 ь гпо1юе *и«.- ЛО, бО. и 3 ИС Е ЕДИП ИЦЫ. С р зипеии( . (аиши о ряда со с тапд йлпы и и«6ором радое иююм(ш н;ч гйюгеиУишис скио.и, сито: 37( то 3;интс.а Уловит!« а 3гв)- го «ир(ккакиааег. гкиозь я и йки. '!3« пы п !метрической иро! рестщ( лиоо (си пь 6ыстро р(«утсуг, лпоо о «иь 6ь«зри уйыияк)т. 1!(3?гзо(гу дз!я миоз(зх рядои с1?аюн пи(' с зй)(и р( с( 13)3?)и ии «гс»« --". 1 гин !. 117(приь(ср.
для !)яда ~ —,—, и 3(риз!гак Кои(13. и 13ризиак .3 , 1аг(ах(6)ергз 3(рииелу! к (7 -"= 1, ч.с. Упо как раз тот сг!у «333. ко171л 1(ри:«гаки 1«' (ю;!поляк)1' ОГВ(тиГь гш Вопр(к' () еходиыО("зи. ,.)Иг( и( и (!уж)н) р)5(ги~)3(гг иа6ор сп)и.га!Гп(ых !?Иг!ОВ. Узчс? можгю снс гатчь.!оказ(из (зце опш при ишк схс)димос ! 3!. Ио пр( дгазри- 1(льгн) „(окажсм чеор( му.
В)3алоги1и:к) 3(о1В)мс 11езнрштра(ха о мш Вл'оп и ь(х после?Винте(' пшостях, Теорема 7.14. !!ус!.! с!)уи!(цз(31 сг!.г'! Опрсд(леиа иа полуоси !В, г ю1, мои(пъиио Возрасгае! иа -)(ой полуоси !6ьпУВ можс*г, 33(гс'!рого! и огрюиен'иа си( рху, 3. е. Л Л1 =" О: '(7'33 6 )о. + ( ! ля (7!.г ! -:: Л7. '1 о!?133 (У!пес ! Вует пр(".дел ') Той Функции ири л — + х.. Долг(3 гаггглльс733(ю -1(гйс Гюпелы«), миОж(х'ГВО 53(а'«'нз(й О?уч(к ции (д!.71,' ограни и по ( Ук)рху. О6()зи(1)и(?! через с то"шую ВерхШО1О 1РШП, л)3О! О ЬПН)жСЮтаа: !))и )ьк(са! произ!«3«п,иое а .. О.
По саойепзу Верхиеп !рапи .1,7(: с -- В < гг( гВ(!. '!о!да д.о! лю6осо.г > х, б)7!е! Выио.ишчьея с(лпиопгеиия Р 71 сходит<'я 7(.г) <1». ! По <и О и озиа шст, что ь Ь (Ь) —. У(й.) <)с. 1>ш д(а ); — с. Р'(Ь) = А„> <, А. 0 ! 2 3 >! .< Рис, 7.2 р 250 Если 'т( перь в гят>' проколотую окр( стпость 6( ско>н;чиости 1)(оо) =- (»: )») > А), <тв* 1!Оз(ожит<>льиая >кктояиийя А бози ии>:г<, „.1адим теперь геом< трич('скую шпср!цв'пщшо ряда с положительш(ми члщсами. Построим прямоугольник, Осиовапи< м >и>торо>-О < лужит От)и>зок 11, 2) иа О<<и (>». й вы(.отй совиадй< 1 <. ш>рвым ч:к иом ряда а>.
Площадь такого прямоугольника чис!и'ипо равна первому <инну ряда. Лпйлоги'пю. но('троим ирямоупхп иик < оси«>ваши м (2,3) и высотой ав>, затем пр!июугольиик < осиовйнисм 1«3,4) и вьк:отой их и т.д. Получится иекая бксконс шая < гупш( <атйя фигура (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
