Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Д»>кизи!»(е»(ь<»тно.,.')е<!( твитсльш>, во |ьмем ирои(июльнук> фиксированную точку х|> <г (а, Ь). !1 еилу второго условия теоремы и (7.58) иолу |им но и( р|к>му нри |наку с'равнения аб( олв>тнук> ехОдимо<*'гь с)>ункци!шальио|о ряда,. Докажеь(, '|тО (х«о Гуь|м||, <>(,г) непрс рьппш в точк(> х|.,)йни и('м следу|ощие (<ютиоцн|иия: '>(х) =- .5„,(г) + Лй,(.г), |>де Лй,(.г) — огтвток ряда;, 5'(хв) =- ~ (хв) + 1!в,( ). Ф(х) -- 5( - )(:= ~(5',й(й.) —.5;й(х )) + Лй,(х) -- !1й,(хв)~ < <= ('.> (Л) — >„,(х>о)( -1 >Л;й(»1 )) + (г>й,( го)( (7.5>11) .| х.
-| а >>!7й»(х (=-( , "„(х)~:ь ~ (йй(х)>>:т ~- „„- йй, (7.60) )!ели ншй, й»й П1И>«(е»!Нвля(* Г ООООЙ о< тйток с:ход|и(( Го(я |иелового рядй (мйжорйи и |), по(кгому онй (тр< ми |с я к ну!!к> |6>и |и — -м:., 11(х|ьмеь( прои|пюльное е > 0 и поделим (|го на 3. То!>дй цо Е вире»(олени!о б(>с'кОн(>"п|О малс>Й д:|я .- '> 0 3 Л 7(': >» ш > Ло мв (йй»( —.-- ий, < --.
3 Положим. ш =- »ь', то|да |ю (7.60), (7.61) ( ледует, что 2 ((>(Г) —,>(х<>)! '-' (»ь>у(х) — <7л (»в)| -|- -- е, Л(ми е, Ох (.г) нредетавляет собоЙ конечнуа> сумму непрерывных ф| нкциЙ и.;и!йииь Гймй нсн1х рывцй нй (О,. Ь), В чекгГВОети В ТО !" кс зв. ИО оирс леле шпо |и прерыию("и! для т(ви ж|. самого — > 0 3 =|1,'(:»«): Чх.
6 11(.1>в) =- ~,<1л (х) — Лл (гв)( < —,. (73>1) 3 И |як. д,ш:п(>бого е > 0 нашлась окрш-п|о(ть 1;(хв), тикая, '| | О 71»>я л|ОбОГО:Г и:1 йтОЙ Ок1я((тнОети Вепа>лня(г|(я нерйвене ГВО ,'7.65>): А вто и сюиа |Нет ненрерьпшос"ть <>'(х) В го'|ке хв. !1 силу ирои |ВОль|вк-ги гв оп к>дй (.»|елует утв<ржд( ни( теоремы.
й Отметим, *(то пали ше < холяци Й<я мажорйлты явилось «у|Не( | В«иным уелойи(>к|,ц|н|юй (но!и|мы. 6(в ксг|орогО ие врон!|!о бы «> !О«>а !(;лье тв о. Теорема 7.24 (об интегрировании функциональных рядов). 1!усть Явлин ряд (7.5»), удовлеп|оряю|циЙ следукяцим ' »т«Ив|ям: 1) «'и пй(х) б б'((а.б(); '>) ( упцетВ>ст еходяц(йЯОЯ мйжОргоГГй ~ пй нв (»1, Ь), п .1 '(огда ряд (7,57) абголн>гио сходит<|я нй (О„,Ь) и енраведливо 1ившв'тво ь ь (»й(х))(1г =- ~ ~ пй(х)(/хл й.
! й:-' | в>в! и м с хо|(их<оет! ряда в |0>авой |аети (7 66) гарантируется. Заасечииие. Обратим ввимаии<, цо в отльпве Ог >торе(|и (7.57) ра ( |алаи па о»йрс.»и, а |и ва аров |вольвом |0>омежугк(л !то <у|в«- > в ввв игпольву('|тв щи локаипельггои Лаев>Й теор(мы. Дока»>»1!Н(о»ьп>и»о. 1! ( Илу теор<"мы 77>3 ряд аб( олютио еходптв |ш (В. Ь), а его сумма '>(х) Н1в>д(гйв»!Яе(( свхн! Иецрерывную па ,в, Ь': функцию. Снова яшин|ем равен<<гво при лк>бом нахуральш>м»»»: , «,"й,(.») =- ~ ий(.г); !)й,(»») =- ~ вй(.Г), й=-1 п-..й» | | 1)огкольку 5(х) и Л>й,(.г) ненре'рывны на (а, Ь), то из (7.67) слепо и оет>тгок Йй,(г) и прерывп| на (»1, Ь), а то|да вее:>ти , рв функции интстрируемы иа (а.
Ь). 11роинт('гриру( и раве~ство (»" 671 (ОГдй сумма исход1и)п) ряда диф(()(',!)Внзпц)з'емй на кй б) и ('ПРВВ('ДЛИВО РВВ('НСТВО Заметим, что по свойствам о!0)е)!е)!ениого !!Нтегр!)ла Ь Ь л л .' "Я=К ) л~.-(" " и--1 'а (7.()9) й(1,! виДнм, по ипт(»ГРал от части Гной сУммы ()пз((!!) Равен иь стичиоп сумм( ряда, сгояпи'1 о в правой пгсти (7,66). Оценим теперь Второе слагаемое в (7.66)! л 'Г. '~=)з()=" )"- и п=-зззЗ ! Ь 6 л пп и П!'Гз з ! ( ~. '~.п(, И) ! ! п - пз!.! п-.л«, ! 6 з," П .-й~, )"-— п.— -!л", 1 п-..плЗ ! и (7.70) ЗЪарема 7.25 (о дифференцировании функциональных рядов). Пу(ть .задан ряд (7.57). удовлетворявиций с)!е,еткпсцзм у('ЛОвням; ! ) (у и п,л(з ) ~-, (".! ((а.
()!) ! 2) . (7,57) сх~; .: 11; 1,йз; ! 3):УГЦ( ТВУ Г ")Д ГЦВ .1 -П(ж()! " !Л ! (й ~ !(л(ГГ) л=1 па (а. 6!. 264 )(О уп, в (7.70) равно консттипе (6 -- а), умноженной на остаток СХОДЯПНп»ОСЯ !НСЛОВО(О РЯДИ (МажОРаитЫ) И ПОЧ)тОМУ ЯВЛЯ(тСЯ бе(коне*!но малой в(личиной при и! Оеч Значит, по теореме по зажатой иерем! ннойп и Лл,(:Г)((!! — 0 при и! .-.
х,. Перел ходя В (70)6) к !ц)еделу при пз --! Ге с у и том (7.69) и (7.70), НО;1учим (7.66) !. !" л !!с ~~ и(.!.)) =- ~ «'и(;:). !к .! и () „'„(!!)(ь —: Ь ) '„п)л:= л и.— — ! л =-1 и и х з (нп(з) — !(п(п)) =- )) вл!О) - у нл!п!, »-. 1 !. л .†. 1 или .! Ь. „( ! Е«п!ч!.ф: '„Е)) (! п.= ! л — -! л л —.1 (7 72) З.(ес! буквой ! обозначена переменная интегрирования во избежание путаницы и к !Ип( гралам от нп применена формула ((ьк)- !.Опй зг!езйбниц(з. ((од зпйкоь! и!пзч $з!(лй. (теин(е!О В зцзйвой за(ти ( !.
(2), ийхо„иг!.ся зич!р( рьпзнйя функция. Почтому по свой("пзам ппптрала ! 1н;!н",ме!)иым Верхним Гцк)делОМ чГОт питы р(ззз Г(нффереициру- ! М и ЮО ПРОИЗВОД)ИЗЯ РВВНВ ПОДЫНН Г(Н).1Ы(ой фУИКНИИ В ТОЧИ(,* .». Первое слгивемое в правой ча(гги (7.72) константа, произ- !Н))сийя которой рй!)п!з пулах '7)и))())~ реициц)уя рйн( п(тво ((.72). !и),!учим (7.7!).
И 7.5. Степенные ряды Важней!Ний класс фупкпиональпых рядов обреезук)т (тп(зззе)злы(' ')лды. т. е, ряды вида 265 (Здесь снова в конпевых точках а, н й прои !Водные понимаготся в од!Н)стороннем смьизл( .) Дока)(зи!(Ог! с!)изо. Дейст!)ительно. фи)и нруем з: Е !п, ()), 1(И)да ряд ~ ззл(л) удоилепзоряет в(!ем у('ловиям теорем 7.23 и 7.24 па п=.1 !)тр( зке (О. Т).
Значит. он аб( ол зепи) ( ходи н я, еп) сумма н( 1зр(— рывпй и к н()ь!у можно Гц)им(пить ())ормулу. йнй;зоги -зи! Ьо (! А)6): „х", ».--о «7.73) !Е";Е, Из «7. (4) и ! ь',76) еле>ьэезз что 'г„.г") «А(?"', где е„числовы( коэффициеьггы. е!>ье ны )Гого ряда онреде"лень! иа вс< й числовой оси и им(чот прои июдвьн' гкюх порядков.
И шесте), что (реди в(е х функций наибол(е ехорошимие све>йствами ея)ладан>т многочлены. П<ьсьма усеннию ряд «'<.73) можио было бь! на(звать многоч(ньном 6НГВК()не>я!!(>й (тон(яш. 1!о всяком случае, можно наде ьпы:я, по такие ряды В отличие от зьругих функциональных рядов обладая>т очень «хорошимие е 15()й(гьььььзььь.;э!Э! >ьад1'.жда ььолностыо Оьц)ав.(ыва(тея, как 6уд("! ВИДНО В ДВЛЫК йШЕМ.
Заметим сначала, по, каковы бы ни были коэффицие нты с„„ ряд «7.73) сходится в то'ьке л .= !!. П< ш рь докажем (, к дуннцую важи>по пх>!Н*хьу. Теорема 7.26 «первая теорема Абеля). Если степешюй ряд «7.73) сходипя ири,ьо л О, то он (ходи.п>я а6со>потно нри льобом х, таком. 'по ь!э') К ,',гоь. ?[(>к<1,5<!Ты(о!1>е*>Г<е>о. ?з("ьй(г! 1>!!тес!! ь>О, е)нькс1ц)ге'х! л г- О: )э'! к !Хо) и оценим мо;ьуль общего "!леьш ряда «7.73) !(З>,Г".) =.-. )<е»хо'« — - ) ' = ',е,„,ге",)е?".
где' <? =- ,.'- — < !. «7.74) Поскольку р>ьд сх<>дизся в зо ьке ло, но ькх>6хе>лимому признаку его общий ч.к'и стремится к нулю. (> Ге> -" О, Поэтому н(>еле,ьо- ВЬПЕЛЬНОСтЬ 1< „,Г,", ), КаК ВГЯКаЯ (ХОД>циаж Я НОС ги ДОВатЕЛЬНО< тЬ, О1'!НМНЗ'и'.НВ: ЗА > О ЗЗУ: Ее>< > .хе' = 1 „.1<>ь! («А. «7.76) Но в щ>авой ицзги неранено пьа «7 76) с гоит ч:к и <.ходшцсйся пьо- ме П)ичее ко!5 ьц>огре с( ии.
Оз(.'!ода ььо не.'рь)омз «!и! Знаку сравькпия и ьеьп( ка< т утвержде пие т< ор( мы. й 1!с( чи(ла л, эдовлетворяющие нерьмк ьн"пья !ь.Г! гс .'.ге), (х>ра- ЗУ>(>Г ( ыхьхье*'!'Ри 11ьый и>Гп $нзвл с ьк"ь!ГРОМ В ВУ;к и !н1,111)( О>1 !.!о/. Таким Обрьььзе>к!. сходимость сь(ььеьььью>О р>11а 15 'ь(в!!к' .Го 15>к" кт 'зьь еьобх>й! (гсо абсолн>тнук> сходимокп в целом иьггерва и . Понятпо, по е(пь зри возможн(ьсти: !) нет ни одной отличной (и нуля то ьки, в которой ряд (ходится. Значит, обла< ть схо,ьимости да>!ного ряда это един(твеввал точка .г == О; 2) среди точек схе>димо< ти имеют<ьч то ьки, сколь угодно больише но моду>по. Телла соотве"! сгвун>щие шп( реалы можью ра(зииря и иео!.раки" и ьшо, что нрвв(дет к абсолкп ной сходим(к"ти ряда ва всей числовой оси;,'П суниьствунп точки, отлнчиые от нуля, в которых ряд сходится.
и точки, в которых ряе! расходится. П этом (лу ьае соотв("ьттвуннций инп*ршш ноль;ш рьв шир>пь неограниченно и должеи сущетзвовап, макс имвлыпн! интервал, в котором ряд аб(.од кп ио схо Ььп ся. Чтобы придать то шый смьн л Всем этим ие(ггрогим рассуж- ;И'Ни>ЬМ, ВВЕ;ИЬКЬ СЭ>ЕДУ>()ьи(Е (ЮЬЬЯТН(Ь Определение 7.6.
Рве)1(у(>юле еггоднлео(ти Й (те*пенного ряда и!в!в!!>!!ется с>и>дуюин"е ш("ло: Й =- выр«)э ~: В точке.г ряд сходит(я). «7.77) 1'здн>с (хе)>ьььзье>ез! и сов!!ада('!. с зо шой верхией ь!Ниьью зьие>- жества нсотрицьп( льных икел ме)дулей то*к>к ('ходимости. Если множ<ь<згво таких к!окуз!( й пе Ограничено, то ьк>ложим Л— =- +:Х.. ПрИ О К Й С:. +ЧС МОЖНО ВВЕ(гси ПО>щтИ(* ЕЬ>О)!<7>(5<ЬЬ(1 СЗВО- димости, н(ншмая ьюд ннм ннтерва„ь «-Й.
Л). Теорема 7.27. Пусп дац стеиешюй ряд с невулевым радиусом сходим<кти. То!да он абсолк>пн> сходится внутри интервала схОдимОсти. !нк;хОдиься ьик' е'.1'О. а 15 кОньье'Вых '1Очках ХЙ МОж('ь' В('('Ти С('О>1 Щк)ИЭВЕНЬЬНЫМ ЕК)РЬКЗЕ>М. Доке!Валье- ьь< ьля>. Ра(тмотрим вна ьс.к' слу ьай Й .= 1- хх ТО- г;ьа и1гц риал сходььме)е"! и ( овнаевкт со всей чис кшой осью. !»Оььмем ироьньк>льную Точку .Гв.
Поскольку множество модулей ток)к схо„ьимостн ие оь рани ь.'оо, найде"тся такая точка л!. в кнзорой ряд сходим.я, прн и м ).Ге>! к',.ь ! !, П пзлу ж>ре>хц,ь Абеля ряд >16сол кэпк) схо;!и!Э я в то ! Ке лв, Песк(>лыс у те) !кв .1,> была !Зыб«хн ь>а 1Ц)он'>ВОлы1О, можно сд(мьап 15ььвод 06 аб(о,Нот!к>й (хо,!имое>ги ряда иа всей ьис)к)вой еки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
