Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 47
Текст из файла (страница 47)
11ус>1 те!!В!н О з ?? ' +хь ПОЗьзкькь Щ)ОНВВОльнук> 'ьч)'!ку .е'о 6 « — Й. Й) и е -- Й -- (:ьо! > О, По <'войству точной верхней !рани найдется то"!ка.гь, ~~~~~, пео в !очке т! ряд (ходи!(я и ььри ззом )хь! > Й вЂ” с -" /э>о). По то!да но теореме А!ко!я ряд а6- солюпю схо:нпся н точке ло. Зьи ип. ря;ь а6(олюпк> сходится в кьптрввэк «-.Й, !?). Если в.зять:нобую точку .г: 11 / > Й. то в ьн й ряд 'Зсикдомо расходьптя, поскольку и протишк>м слу ьа< в 266 (оогв(т(твукпцем мвож<'спк л(<уу.к и йягпсл<<я 6ы )лемсйт. Нр<— ВО( ХОДЯЬЦПЙ '1 <Ипил К) В< РХПКЛО 1 !Уй1П, '1ТО П( ВО )МОЖНО.
% )лик ж< и!Гак м(*и)ски искать !Хядиу«хо,(имостпу.=))о)кио пре»- ложнть Олпу и<лихи(у!О <!)Орл!у!к к(уГО1)йя хОГя и <к унивс(н йльпй, ЯО 1юмОГ<й'Г ВО м1ип'их <т<учяях. Теорема 7 28. 11ус и* !алаи ряд (7 73), !»е все кочффпциен (ы сп огличнь< от пуля. Тогдя его радиус ходимости Й вычисляет<я ио форму и. (<<п ! Й= 11 (7. 78') !(*и.! 1! ири услонуп) суп<(с <вой!и(ия дяйного предела. 3<гя<счаг<ис.
'1,ксь я( ьч ключам)ся слт !ап. ког,ю предел в (7.78) р< 10 . -'. <96 7ол<ат(пп('(ь(')ппо. 11т('*и Впй'<ял(' О '-. <' к. +'хь И;<В<('тцо, 'по в .гочк< О рял .<Вьк)домо (хо,п!!Гя. 1Йги*м<<и .г У= 0 и к ря;(у и) мо.:<Улей пРименим НР)гиии<,:Тапи<У(6( Рг! .п ! ! ! ----- -,-- =- !з ! 11 12 С),! Ьг ! . !<',1! )!'! (7. 79) и х.
!с„т<1! ! и -*:х Ря!( 6у»< ! сходи ы ся ябсолютпо при !.г! < ( 11ри !.г! и <' исходный ряд рй(хо,цыси. !юско<!ькх партии п ие<н)ходимьп! прийпяк схо п)линг!'и, И.<ак. !Нсло < облип!Нет им <чюй<-ып)м. что НРЯ 'Йг! <и. с РЯД Во< олю!НО (ХО(и(ся, й пр)и !)1:.
( риходит(я. 11о т(м;ке (й- мым свойством облядж'г и радиус сх()димости Л. С)и;(оват<ль- по, Й ==- <. Если с =- О. то при лю6ом .г з! 0 пре,!ел (7.79) 6ю<ет рюн и й.к„по ио ири <инку,1а)амйеря со(пи('!тгвупг глу саю рьк ходи- м(нг!и ряда,. ( ГКОВ1ва<(гиии). Ря„'1 (хо'<ит(я т(л)ько и "ГО*1к<'.:г = О, а пгго и очпа пи)г, <п) Л .-- О.
Ес.!и же с =- +:х, 'го пр<д<л (7.79) 6у;кт при лк)йом л рйв< и нули), С<кдоюо <сп ио. ряд аб< олкп по <хо(имя))Насей пи.и)ьч)й оси. А что !На)ит. Мо Й =- +ъ.. Чаким О6рялом, формула ( < .78) оп< а< т<я сиры<с»липой и В зтих особых ('Л Л' ! ВУ<Х, ' " .л л П1угьлзер 74 ~ п..я Рассмотрим те!К)рь наряду < рядом (7.73) ряд .Н<у !и К '"' (7.80) п=1 Ряд (7.80) получил<Я пз ряда (7.73) !юп<лснигпл( сгшЯк!)(Уг<!!!!.- ровипие и. Лпалоги пкн ряд пх .,пу! -- — гг ' и+1 и.- й п< му час ! ся ий (7.73) по'<си<пил<пи !сии<се(л<7)опаи йсм. Ряды (7.80) и (7.81) сами являются <теиеппыми рядами с ря,,цотами сходпмости Л! и Й) соогп('<стп(нпо. Лак сйя <аиы меж.
(у с<убой Й, Л! и Лт7 !!и„, . Н,сп! Й! =' 11П1 —,-" — — = 11Н1 — — 1!п1 Г " — = Л. а и-к: !(П + !)<;, „1! и х и + 1 и.-" !<'„)1! Взяв те(и рь за исходный ряд,'7.81) и прим('иив к нему т<'Орсму 7.29, получим, что Л вЂ”... Йх. Ила и, справ<»липа <лс;г'ю)цая г< О!н!Ма. Теорема 7.30. При !юч.кином иитс!.рпровгспип радиус схо<ймости <теп< ипого ря.(й, и< лк"пя< гся. !!ус)1:)йз<ап (!<НОННОЙ ряд (<.7!) ( !и йул( Выл! Рйдиу(ом схо!пм<н и! Л: О. Иьпк;пим. какими свой< гвйми Обладги г его сумма ь шсгервале сходимосги.
Теорема 7.31. С.'.умл(г< <тепе)пил'о ряда ди<рф<)ренцируема и пп<срВВ)и'<хО»имо( тн и ((-1<ро1Гию ц<ая ю !Н)с<!Яе!(я )я) форл!уи' ( ~ с)пг" ~~ —..— ~ и< „хп Теорема 7.29. При почлюьпом диффсрсицпровяпии ра)(и с ходимости степенного ряда ие м< нхи )ся ( Й! -.=. Й). Дол)(гяапг<ь!Ьсгпто. (1<ыпостью дока)ьппыь Вту теор(*му мы !»« ь не Оу <ем, ОднакО НРОВ1 рим « 1 тв(!у)к и ние д 1я сг!у(гзя, когда радпу< (ходим<К ги ряда )ейходипя по форл(узи (7,78). Име('и: 'и и 1!В Л = 1иц — — — '- == йьп 1 ' —;) и ''х П и — 'х.
и" , (оги!Я<пп<льсп<ло. п(<й<тв)гтельно, Воаьмел1 НРОЯ зволы1У(О !ку .УВ Е=' (- Й, Л). 1)ыбн)рел! в интервал< сходимостп так)чо то 1- 7.6. Ряды Тейлора (и = .7(хо). Продифф( р< нцируем (7»<5) (7.86) ( ! — -- .<» (.го ) . 11]и)дифф<']я)нциртем (7.6!]) ) (~;,г)л = ~',;,.-' —.
о н--о н;о (7,Я3) Й (,г) =: 2 'е + 3 2са(х — .!'и) + . + н(н — 1)(и(г —.го]и + .~"( ч) 2! ,()Д")(х< ) он с н и. 270 ку Г<, чтобы и )полнялось !Иравенсгво)хо) < ]х!! с Й. В силу(ох!)а(<ения ]эйдиу(.а сходимо(ти и]эи ио 1:и)ш)ом лиф<)я р()иц(6)овйиии э !»яда и 3 и]эоизводных 0)е(<т ГОт ли И1ГН]»ю1л схОдимОсп).
й зна !ит. -)тот ря,ч будет ай<.олк)тио ех(и<иться в точке .!.!. Но тогда для и<ходного ряда Вьшолпеиы вс< условна теоремы о дифференцировании функцпональп!Ях рядов на отре )ке )-.Г),,1 1). В силу атой <еоремь! равепство (7.(<2)) 6;д(т пй)аведлпво иа всем ()1- Ри)кс 1 —.г), х!',. в том шел<' и в точке.го. ПосколькУ хо пРоизВОльиая 1Очка из и!и < !эвалй (хОдим(я ти, 1О НО<13 '1а(м ! Тв<ржд('- ИИЕ 'Г(*ОР(<МЫ.
е 1!римеиив 1тнсрь эео]к му 7.3! к ]эяду н.< и!Х)333!3(ыи))х, нийд()м. 'ГГО ( умх1а исхОднОГО ]эя)ш им('<'1' втору!О и])Ои <ВО»1нхк) В и31- прввле [ — Й, Й), при им Т(~ < н ги г ) .— И(и — 1)('„х" и т.д. н и :»тОГ и!)оц((<' можнО н]я)„<олжа)ъ )ИОГрю!н'шн!Н). В ри)улыи Г(' 36)пходим к сэи)..<уилц()й теор<чьи.
Теорема 7.32. Сумма ст<чи нного ряда <" ш*ну.ивых! радиусом сходим<ити бесконечно,(иффер<)ицируема в интервале схолимости. Ири и<х! Все ее ир<э)г)13<ээ<иые по.!учакэтся иоч:и)ниь<м диффер< нци!)о!)аи)иа! соотш т(твукяп( е *! И< ло раз и( хо шого ряда. Захп тим теиерь. *по. <и ли степенной ряд им«т иепу.и вой ра- Ш(ус сходимости Й, то. выбрав ирои 31)оэи и<я),г и 3 и<п< рва»и сходимости, можно и роиит(три рова п ]гял от О,(о .г. (Проверь ге само< тоя сельцо выно ии и)и в(< х уело))и()1 1(о!я мы О6 ив Г< !]»Ир(ь вгопш функционального ряда,.) В речу<<лаге иолу"шм. (то х Вместе рядов ]7.73) можио бьшо бы ра<тмотреть ряды»<- сколько бо.н е оби!<Нсо н)„.<а ! х.
(„(.г †.(В)", (7,6 1) л .о Пр<к той зам(ной и(реки нпой ] = х -. хо гакой ряд сводится к -", х. ряду ~ г„!", которь(й отли иится от ('7.73) лппп. обозван*ни=- ))=-о ем перемеиной. 1]оэтому все фак Гь!. опияящиеея к ряду (7.73).
останэгся справедливыми и в случае ря„<а (7.]<1), Здесь тоже <."с Гь радиу< сход)<мости, н)<и ко ив и рвал сходимо(ти (хо -- 11,.го + Й) 6утдет уже ( цеитром ие в пуле. а в пшкс хо. Т< орема 7.32 такж< справ< длш)а для ря. <а (7.84). Рассмотрим ряд (7.83) с н(Нулевым радиусом сходимости и обозна(им (го сумму яре).')(г). Подобно:<ействиям ( миогочленом (см. гл. 4). Ионыта( моя вылепить. как коэффициеиты с„, да<шого ряда свя )ань! с нроизвоэ(- ными <)го суммы в точке .го, 2)ля ншлядностп <аииии'м рял в ]эа)33<)риу!.<)х! виде (»(('):х Со + ()(Х .— ХО) ( <'1(.à —,<О) + (В(Г .(О) + х (7.66) + <' ()' — хо) + ' ПОЛСГВВИВ хо Вм(("!О х В ( х]4).
Найдем, '!ГО ,')'(.г) = с! + 2с (х -- .го) +:]( <(») — хо !" + .. + )ИЫ(Х вЂ” Х<)) Ч ' ' ' 1!Од(тавив !<хи)сто х и (7,ай) хо, и<э»(у'3311! !!О,и та!)ив,г =- хо н (7х<7), иахоэ<их(. Г!О 11ро,(олжив ироц<3<эс нужное шсло рь:3. придем к ())<эрх!уле ,')'(х) .=- ~ — — — — '' — (.г -- .гв)". и. (7.39) 7)>') (хв) — — ----(Х вЂ” .ГО)". и! (7М) и;;О (ш) гО(.Г) =- О.
и .Х ири .г у': О; !(.г) =- ~О. Ири .г = О. 7!)з( . ) 1! . ) — ----- — (, — ГО)1 — >г(х) О--х Х- /, ! (7 91) 5: . 55 1йким ООРИ:1Ом. МОжпО '1йиисйм рй15('н("1'вО (.')* ы з,,)ее'1 при„'и'ржи)5вемсЯ е'ОГ«1йии'иия, 'ГГО О) == 1. 5 Ржтмотрнм !т)и'рь прож)вильиую бескиие*-пю дифф(*р( ициру( мую (т.е, имено!Пую пр()извилш,и всех иирядксяц функцию / (.г), )й.)шшую в некоторой Окрестности 1$(.).О) тички хв. Сисчт)- вим 1)яд 1'яд (7.9()) инчон("м рядои! 7« Й ООра Лля фуик[)ии 1'(х) в точке О.О. (11!я! хи — -- О в)от 1)я;! !5йии)йк)!.
)вкж( Рядом Й)йк,!Оре>)в.) ('!Й)йп[иввется, бу. И"г ли для >.ги)( фуикиии ныли)лияты я рви(Он"! !ю, вийзйни !но( (7.39). г.(. будет ли Ряд Тейлирй Охи.!Иться к ИО- родивии й еги фуикции7 От!5("!) во(>бии* [Оворя, Отри)йцльиый. 1! кй (е("1ве ир!(ки Рй Рис( митрим фуикци1О Ис!и, чти 7(.1;) 6(гскине )ни диффереицируемй ири О..-ь О и О и пь бьитри убывги)т ири .г (1. 11Ользужь Оиреде;и иш м ирои)водной, МОЖНО ИОК Юйт)ь !.[«2 2[и ФУНКЦИЯ НМС('Г И!ХИГ)ВОДИЬК ВСОХ ПОРИ,)кив )5 т(е)к() 0 и вс( Оии рйвиь! Иу.)к>.
11(хгг!()х)у. сели вь[- )и)сйгь д«)5) пе( ряд Тейлирй (7,90). )ти хй — — О, (О увигшм, !то Ои «Осле>и! и) Одних иул(й. и >ий [иг. схи.иптя ий всей Оси к гижде(гик иному ну,ио. НО функции) $7 91) Отли )нй От ну.!я ири .! х О '1йким образом, и, ш дйшюй бескоие ии> дяфф("Реншц)уОмой ф) икцш! Пир(ик)и;иный ею р)И) 1( Й„!Ори ехидн и;я. ИО ~е к !Ий, 3)О) ИРИМ(Р ИОК(5515И)йст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
