Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Попому общее решение данного уравнения 2г + у + 2 =- Се'( ири им С ирвин)мает лнгбые значения. нгс)ыван)тся однородными и иривод!пси к урави«ч!Ияк! с разделяу ющими(я иеремеиными с помощью замены ' =- — '. Тогда у =-. хх. «1д д = хх; »бс дг с1.", де х 1и ! В!и =! = — 1н !х! + 1Н С11 .ьш - .= ( .1С ду .. $! ( $ О $ — '2 х,ш х дг 11(чр( $(руе)$1И)с'1 Ояйпъ'1О: - ) Р(х> $2 у =- С(х)( Р(:г * г!х -$- С'(х() Р(.(.)( л ' —,-. С)(л.), дС (Х) ! $.г> г(х — — —. =- (>$(:$)ел д;1: Ич (8.12) (.,и дует. гаго дд,,д — -' 12(х)(у =- Д(г)$!", и т( 1, дх дв „ду —,-:= (1 — п)у "—. дл д.г и тогда и""' — 'и-1'(х)у' " =- Ф ) д:г 1п у$ == — !"(х) дх -$- 1п С'$ (С$ > 0), — ) Р(х>гй.
у=-С'( л ' ', Сф0. 11рй де,(ш>йи йа у оыло '>:$(уп(( $(о р(3$$к:йй(' у =- (2, (х1йако (и(О мО)к('т бь( гь Вклю"(епО В пайл('$1$(ое ('1',$1ейс ГВО репи)пий, есл($( ('>итвГь, 'по пОГ)Ояппйя С мо)кет прпйимать и 1(ул>()во(*'(пан!1$ие. Д;>я и>(т((гр~>(2$3$1$>ия п((у(пород(шго ли>и Ййого ур(3333(е>$$(я (8.8>2 мо)кст быть сп льчоваи,1еттп11 ">риацпв пес ояп>(ой, При 1(рим(й(йпи вчоГО м( Года, свй"(ала $3$$$((Гриру(т(я с(й>пит("п)>- к)п(1)(3 ()диоре)(ппе ура(3$$('3$$$( (8.9), Обпне р(пй'пйе которого йьн'- ) !$х)Ш ет вид (8,10), 11ри посчояййом (2 функция С.'(3 л ' явл)итси решением Одпородйого урашн"йия. Иопрооуем чеперь йайтп решепи(.' йе()диор(чдпо( о уравйейия.
Гл(и(а>$ С' функцией от .г, т, е. 6(т$ем и(квп ре1п>)ии( 3'ра>3>$(йия (8,8) В Виде Где С'(.$) п(ш:3в(стпая ()>у>(к>(и)$. Дал(((е. проЛ(ИФ()>е!)е>(ц>(ройав р>1$)е>$(-$ $)о (8.11), ип (8.8) п (8.11) полу (им ()С(х) — ( Р(х)гй ( Р(л",йг — -е л — с(л()л)[х)(3 л + (рх - 1 Р$х$Я>., — ) !'(х) (х у(.г) =- С(л.)е Л ' =. С'(с Л + С Р(х>йх 1 Х'$>! (г -$ е - ~ С)((г)ел дх.
81ы йи:1пм '3тО Обпй'(' 1)еш('йие 31ипеийОГО й(ч>дпОрогп$О1О 3'рвюн'пия (8.8) равно сумме об(цш ( р("(пейна одйор()диого Трав(и шш $8'.10) й шстпого решепия йео.пшро.шого урйшй пйя (8.81. 1$~ >.>у*((ч>О>п($$ ося ип $8.18) при С1 — — О. 1'г;ппм спв шла соотв("тс п>укяце( одйородпое у))авп(йие: ду ду сов х — '- — ус$(,л' == О; — ' =:= — --- д.>ч дг у Вшх 1П',у$ =. 1п ~В>$>,г, + 1ПС"; у --. С (йп.г. у =.= (."(л) ьш:г; у:=-.
($2(х) в($>,г + С (х) совл. 11о,в тавляя в исходное уравйепие. (и>лу"(им ('Ой Х С "(л ) )йп х+ ('(х) сейл — С(х) >Оп х — — - .=- 2гвш Св(х) вшх .=.— 2.$ в($>.г Сй(лй =-. 2(г С;:г( .=..г + Г(. Т>(к>31( обра()ом, ре>пение данного урйвй( йия имеет в>(д у( г) =- С(;г) >йп х == (хл + С'3) й($>,лч 11ек(у1 Ор>г>(3 2331(р())ер(31111>$$>л(ь((ь>(" тра33>й'1п(я пу11ъ1,)амепы ш'- рсм(ишой могут быть св(депь( к лииейпым. Например, у)чашйпие Б( рйулли, ймшощ(и) вид в((дится к ли(н $1поа(ъ вамепой = — — у ' '. Пр>3 атом Разделим уршпп)вие (8.14) йа у" и полу (им 11одставюе (((.13) в (8.1бэ), имеем е(2 — — — — + Р(:г)= = е э(х) 1-- и еЬ линейное уравнепие 2(ля фупкции 2.
х(иш йпыс лиффеэреээщиеэээьееьее' уравиешья ш*рвого порядка (8.8) можно решась другим способом. Сделаем пеэдстановку у = ии, еде и(х) . частееое решение одеюродпого у(эавпепия у'+ Р(х!у =- и. Ъэгда ы(и' у Р(х)и) + и'и —.—. О(х); э е(ее и + )'-э(2 ) и --= 0 -- — — =- — Р(х) е(х; и ( л(.маг )ив =- — Р(х) г(х+ С(; и.:--. с Так как решение частное, кеэпствпту С( можно положить равной нулю. Далее 1 э ( и и' Г 1 е ('ба и' ==- Ц(х)е"э; и = ~ (э(ег)ео + С, , - ( п(х( ( — ( Р( 3( ак Г ( п(.2 и у .= нт =- Сс э + е'.
2 ' ~ ®х)сэ е!х. '1'аким образом, получено то жс самое решение линейного уравнения другим путем. Зеекееэтике, что решать уравпевия Бернулли можно тем же саммм е;поеооом, что и липе йпме, пе п(эиводя ик ее(ии(еэв(ээээ еээеьпеэ к линейным подстановкой 2 .-=. р Пример 8.8. Расе.мелрим эг(эеэвэееэ!еие Бсрн12!эеее 'э Р 2' 2х уя Перэеэеяее еииэсиб вариация поеггояппой: у е)е2 е12 у == — -:. — --.-,—.—; 1п у = —, 1и,ээ+ !иСэ( 2х' у 2х' ' 2 у --. С( йэч у --= Се (х) ~г; Се (х) Се,/к 2 2 2 .: 'эх С(2(.е') ' С(~ 2х" и 2 С С С'(,г) -.:-, „эхэк (" е)Сэ — -- эгхе(ихт —,— =-- —, е —. 3 3 3' (-:,( =- 22Л(2+ С, р = Се(:е:),2:ез еэ'! К(' эеэ е22 == Ся(х)т" 2 == (2хзе + С)хср — -' 2х' + ('х' ' Бторип гппгиб екэдстаповка у =- пш и,и х , .2 2х 'и2ия ' "э ит э х" ее~ и — — — 2( + еуи — —— эх,) и"и" 'э " е1и е(х — — и ..
Эееэс и 2х' ,,2, 2 т2 ' 2хэ' "' С эгия' ' "' 3 3 3' ив =- 2Хвэ + С: ув == ЬЭ'; 2:е(2 (2,,'У2 С) эу ( у евпееыээ жие( У 2 1 Рак как р, =- —, то можпо виде ть. что даппое уравнение будет .г'„ линейным относителыю:г как функпии от у: у э г х Ф-в(пук(п —, — - х в(пу, 2 или у х впеу — х..— — в(ээ увш 2 1'е'шаем кеегодом веэ(эиаэеии и!эои:эвольпой постояееееой: е(2: е(у, у — — — 1и(х( =- ЬеС(й-',-:, .г вшу' 2' у х =-. С(р)гй — '.
'2 П11дставик1 х из (8.171 в уравнение у ., Я(ну у у (у118 '.- «1п У + С'(и) — — — р — С(у) 18 — ', =-- в(п р в1п -': с,, У С (р) --- сов: — . 2 '1о1дв С(р) =- 2вн1 -' + С, откуда полу*ина1 ответ у у д у х == (2В1Я ХУрп.иер 8.10. Уравне11яс р'(х'у — хр) =-.. 1 яв:ингтся ура1пн нием 1)ернуллн +сухар Делаек1 замену х == Гнс 1ак кцк ц ~ас"гис»е рс»Н1еиис уравнсннт1 и И пр-.=О, ди 1(у то — — =- -- — '. н у ПОдс.тавиВ и Г + Ц Ц + П1»у:=- и' Ц' Р; с, с в !.
(и + цу) + цсц =- п11Г1у, 1 Отк' да н = —. у иолу и'нное '1на 1еи1Н1 и, в уравнение, получим ,1 у у дс 1 — = — — ду. 1' У 8.7. Уравнения в полных дифференциалвх П»х1мОскеи слУчсгй, ЯОГДЙ левая 'Рк'ть стиффс»РОНЦЯЙ;и НОГО т(»авн1»ння ) ц(х» Р) 1(л + сьЗ(х» У ) 11У == О (8.18) является полным днфф» ренцна.нэм неко1орой функции ц(х, р). 1» С« Иц --- Р(х,у) дх - Ю(:г у)1(У С.н дон»и«е1ьпо, уравнение (8.18) иринивпн»г вяд Если УСЯ) является ренн;ннсм уравнения (8.18), гс» дц(х, у(.г)) =- О, »Л» ДС1В1В1ЕЛЬНО ц(х, у(х)) = С, (8 1О) »де С" постоянная. н наоооро г. если у(х) обр»»»истсгг В п1гкдество урагинсиие (8.19), то. Нродифс)11»рс»нцнровав ьпо равенство, ири, н'м к уравнениго (8.18).
Таким образом, ц(х. У) = С является 1»бгним нн гегр1мнсм уравнения (8.18). ,Р(11Я того 1тобы левая 1асть уравнения (8.18) была, полным дифф»'1уен1сналом срц» 1н*оокоднмо в сл "п»е 1нси(ге(»ывнос1н дР сди н»»тнык нронзводпь1к —,—, —,. выполнение равенства (с»1, подду д.г 1илд. Гь1) (8.2О) 1.1р д.г дц , да '1» ада —,— .= Г(х, у); .; — - =- Фх. У), Откуда дх ' ду цСЛ ц) =- Р(цзу)1)х+С,'у). Откуда 1 — — — =!и с 'у; 21»Ц — -21пСУ: , Л 1 —,, =- —; —;- =- — 2р 1п Ср, х'-' и'ц' ПОскОГП ку интс»Гря(х1ваняс'.
Зд1'сь Всдется1 1н» исс(и»ми'!Ни>й .Г, 'ГО »1(н»н;1волы»ая носз»лни1а»1 С' пе завис ит От х. Но явля1»тся» воо61цс Говоря. функцией иг у. Продиффвр» ппировав найдениу1о функдц. »сик» ио у, упем» 1то; — =- С1(.г.у), и получим уравпешц для др н»лоясдения с (у): —,- ( ~ Р(х.
У) 11х: ) х С' (р ) =-. Я(х, У'). д г~ ду(,.) Заме(иы, 'гго ('(у) дол)кпо')авиесть ~ольке от р. ег,ли драв(и(ии(! ()).18) Д(',ЙСТВИ')гЕЛЬПО В ПОЛИЫХ Диф())ср()П((ПВЛВХ. Пример К11. (х + у+ 1)«)х + (х —. д)5+ 3) «1!) .—.— 0. Проверяем выполпепие условий (8.20) д д 2 т-- (х +;1/+ 1) --: 1: —,. -(х - р + 3) = 1. ду ' ' д2: '1«(да ') п(х,у) =- (х+ р+ 1) дх+ С!р) = -' — +,г1()+ «г -! С(д); 2 —,-- .=- х + бя(р) =- х — р( Е 3.
др б"(у) —. -ух-~ 3; б (д) = --"-+3д+С, 3 2, 2 п(з.„у) == — + ху+:г — —, + 3д+ ( !. 3 т. е. В(ггегрялом данного уравнения будет 8.8. Уравнения порядка выше первого. Простейшие случаи понижения порядка П иекоторых простейп(их с)(у )аях уды(тгя р()п(ит! Ура()пе)(ия Высокого порядка, сводя их к уравиепиям первО! О п«1»)дка..
1. Ура))игпи(5 имеет вид У("' == !'(5)5), 1'('(п(пи(*, Вто)о ур(п)п()пия иаходи)ся пу(ем и-крат)5«го ипгегри- РО))аиия. 11ример 8. 12. д! О =- В)п х: дд!' = — сов х + С!', р"' --- — В!Вх + С)х+ С2; р — ООьх + б ! " + б 22 + (.;5. 2 Л .2 д = вш.г + С! — —, + Сд —, + С';(х .+ С(,. 6 2 Л .Л,2 у =- - г(ю х -! С),— -! С2 —. + Сз — — + С! х + !"л. б ') П обгйее решение уравиеиия пятого порядка входят пя ! ! произ- вольп(,(х постоянных.
2. Урапиеии( (5(о!Лпх) (к)рядка пе сод()ржит иском«Й фуикиии, Г, Е. ИМ(ЛТ ВИ Г(х.,д«,д««) = О. 1!«!»(док Вто! о уравнения может бы25В пони)кеп с пом«(пью ваедепия вовой функции у' =. Р(х), р = Р(х). '1огда уравнение Р(.е„р, 1)') = 0 является уравпеии((к! 5)ервого порядка (л иос(п5ел!- ((О пеиз)я(стнОЙ ф) нк! В(и г)(х). !если при )Игом егО удается рюпить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
