Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Тйкил( образом, обн((.( (к на ни( уравнения име(*г внд .Г' р == (/! + ("т(" — --- —,г +.г. 3 2. 110!В!Я )й( !1 -)к( ИОИ(н! 1 5Г( )=-А а) если А'1 -/. а. А",„>г'- и. то д бул('м искать в виде: д =- а(л'", г/(( а нен:!вестный коа()>фици( нт; Л.Г . 6) если А: .-.= а, )га -,ь' а, то р будем искать в вн,'кч д =- х(н в) если А) == Ат =: и, то будем искать д в виде: р =. ах г Прт>«>(ер 6( 24. р" 1-д =---2( (';!ш н>ла решим о„(!К>(нщно(" уравненн( да+ д =-О, >(и !/ 1а( 4 '( 1!Оде!авив данно( р('ни ние в ураши>нп(. Иолу нн'и 4а( ' + а( ' == 2( ' '. (.Окрйтив ий'->к('нане)ггу, нм(>ем !рашн*ни(":>а = . Откгд>! а "1'аким образом.
об!ц()( р("ниши( неодно(>од!Кп-о урашн пия им(ет вид 2 р == ( 1 кц> Г + ( е СОК г + г ,) Харакири( тн и>ский много !л( и /Гт + 1 =-. 0 Имеет нару ком ил( кено-сонряж(>шых корней /г! =- 1 и А'> =-. — >. Зна нгц об!цее рецп'- НИЕ ОДНОРОЛЯОГО урайн(ння им(е! внд Ре — — (>ка1Х + (,ЯСОЬХ. >1а(тное рециши а(о/(пород>шгоурашнш(и бу,.(ем искать в виде 1/ =- ае ' '". '1(яда 310 й$ Пример 8.27.
1 1 а =- —.—, Ь == — --: 9 9 ба -- 66 -.-= О: 26 — Зс = О: 38 =- — 2; -4с+ 6«" = 2: -4«" -- (НЕ = О; 2 27 '? 13' 2 31 =- — —; 3' У = -';— 13' 4. П91шая ы1'ть йкОмп.п к«$нм! зкспОН13нтаэ «(х) =. е'"(Аяш))х+ Е3совбх): а1 Если 612 Ф ах!р, то будем игкать У в Внйс 1/ — - сйй(ав)п?зс+ + Ь соя'рх), где а и Ь неизвестные козффицнепть1, б) Если 612 =-ах$р, го будем искать у в виде д = хс"'(ая(п)?х+ +Ьсоя(32), Замечание. Есш «(х) является!уммой функщ1й уха!ПНИ!?! о вида,, тО '1аеГГное', (жшенне нпК,ГЕЯ В Ви„а' 1?ммм 'ПЕ«т?п!х )кпкний для каждо!х! слагае?1О!'О. Пример 8. 28.
д — Зд =-.г — 2е" + 2гйп 2х. 01?и!13« 1?13Н!3*пие однороднЕП о уравне?$ия имЕет внд де — — С! +С'21' '. Д.Г Тогда 'шагное р1 шеи не ищем в Виде у =. а!!2+ Ьх + сх Г 1«ТЕ"" + са!и 2.1 +,Гсов2х; д = Зал' + 26х -3- е' + $1«з" -1. 311,!!еу '+ 2е соя 2:г — 2)'Вш 2,Г: - 3/ у .= 6ах + 26+ 61(е™ + 9113гсхг — 4е яш 2х — 4)с1?я 2Г,.
Подставим репи'ние в исходное уравнение и полуиим бах + 26+ 616' + 1)1«х1 "" —. 41 В!13 2х — 4$1оя 2х— 9ах — 66.г — Зс — 38ез* — 91(хе з — бее;ов 2.г + (?)'яш 2х =-. =,г — 2«' '+ 2В)ПЗх. ,2,:М В итоге имеем систему уравнений для нахождения неизвестных козффициентов Замеча?ЕМИ. «. Е«1!и $9?апая о» ть лип!?Й1кя о пе»31!ПО«»52!не?! 5? 11?ав- П?3НИЯ ПХК?ЕТ ВП '1 Ее'(е!йй" + 11й 3х'' + ...3- ав), то. если р не явл?к тся кор!к м характеристи !еско1о ера!Ни*пня, то Епст— нОЕ' 1?епп'пие" падО искать в Вид?'. «l = е'"(Ь, -'."+ «513).
Если ж1' у явй!?НГГ«я корнем характери1"ги кского ураниепия крагное 1Н а, "ГО пн М1ое 1» пи И!и ?)?а!5!3«пия еле;1уе Г иск нм В ни к. у =- гйсг («5„Г'" -3- ... -! Ьп). 2. Пусть правая пить линейно!о дифф3 ревциа.п,ного уравнения имеет Вид е;1" («-',(.г) соа 1«Г -', («„(х) В3п е?х), Г:[е Один и'! мпОГОпле'нов (Р~ пли ($„) степе'нн я, а «11?уГОИ .
1."ГЕ"1П313и пе' вьпп1' к, $3?ГДВ, 1!Оп!«5 ' !3«3н Я152!Я!О3«Я КО)Я!Ямн ха«?акт!1?и( Ги'искО10 уравнения, то часик» ре1П!Впн? уравнения следует иска Гь В ниде у =- глй(й,(х)ЕояЕдх . 1«й(2) »11?уг)., а!Ели «? ?и п«явля»?ГЕ я корнями характеристи некого ?:ра1нк ?пн1 кр1?л- поети а. то частное репи'пие уравне!ппя следует искать в ви«в 11:=- хйсгй«А (х) Еоя 3«х -3- «3 (1) К1п Ер ). !211 А„',х) н 8„(х) . Мпого мк ны степени х. у' — у =- е'"(х — 1). 14о)?ни ха)?акте )ни тн'некого у)?апп15ни?1 1 =-:121, ТЕ?12«а у.= хе (Ь х + 61х+ 61$). Г,2 у + Зу" + Зу' + у .=- е '(:г — 6), Трехкратным корнем характсристи нхского уран!Н?ния будет 1, то1да паст!К?1 1?е ?пен?н и; жно искать и ПИДЕ.
у = 22 е "(61х -$- ЬО) . Пример 8.28. у ' + 2у + д =- я)п 3г. 131кны образом, ИЕ?лучнм общее у =- ела(Асоах+ Пъш:1). х ха у ,.? 11 9 О7 1?1'!Пш!Не $П'ХОдн1п"о у)?1?вне!Пня '?х . 2 3 — с" — — — я?п 2х + — - с5?в 2х 3 ' 13' ' 13'' 1ак как 1исла х1 ?1н;!Як?тся ко)?пями ха)?ак!131?ПЕГГИ ПЕ?кого у)?авпе53!Ия крнГПО("!и 2, тО откууга (! таком гчу щс Р -' Гд Ч '-'У-- '((х ' ' '- ') ')ак как числа — ! .(.
) щсщн)тся однократными корнями ж)- рактсрп(тп и ско(ю уращи пия, то чги"пнн репи нпе ип(ем в вигр р .—. х( "(',,а$х -1-аа) ((жх+ (6(х+ д(,) нш.г). ((д У'.(.г, 1), а) ах У,(х., р, а) ф (а) У,'(.Г,р,а) (()((а) У,(х. у, а) 8,12. Огибающая семейства кривыха Урашн'!Ни кривой кроме !и р( мсипых а и д, иооб)цс ).оворя, (о.вржит (ик(птй)ьн по(')ояпиьн, о! ко1ор((х 1ависят рагм( рь(, пид $! (юложепн(' ')1ОЙ к(цп)ОЙ.
)(априм(р, геом(тргеискос м(сто то и к. уу(овл(творян)щих ура И1Н'н и 1О (х - а) + у == (1'я, ) 5') ) ( сть окружи(н ть с це"итром в гочю' (а. 0) радиуса Й, Ес.щ а 10)иипм(н'!' )Н(5:$И*1иьн' 'и!и"н*ния, а 1( $юстОянп(нч '!о !$ол)'чим (х и( й(".п)о окружнщ"и Й с пе)п рами пи оси ()х и одинакового радиу(за.
(! 1(одобн(!х е.!у пчих гов()ря(, ! го и(да1ю гемейств() кривых, )вви(ъицих (и и((рамечр)1. '! гобь( пока)ать. Что а, входит в ураии( ни(* в ка и ( гв( и()рс)!( Нного и ц)ам("гра, у( леишлись )нщобиьн ура()пения з((иисьинггь ссн дукяцим (н)р(Г)ок); )((( криньи (тм( йгт((а (8.36) могу( каппыя одной или н(- ( кольких липий. (! таж)м (лучщ чту кривун) (нли -)п) ш)сколько кривых) иа:)ыван)г ааийатдсй д(гниаяа с(:ме!атал.
((уньн!о„1ожим, (то кривая, задаипая урав(и(ииями в парам('три нском Ви!1(5 .)..= 7(а): р = ф(а). (8,37) кипи т( я к((ж,(ой! )п крщ)ых и м( Й(.тна (8.36), ири и м пара)н тр а о $$(и и 1О! ж() как в урнщи ниях (8.37((, так н в ур(51)пении (8.:(6). (! ! уран)н ппй !8.37) ганге(и: угла иаклоиа к)иапщьной к кривая и люооЙ и )о"(к( (щвщ1 ((р ф'(и) ()х (()((а ) ' и тап(е нс 5(ла и (к, щ)щ кпс п( лыюй к кривой и 1 ура!(и(п)!)$ (8 36) оир(дс,онтся п)(оопнип("пия У'„(:, р, ) ((, -, У,( р,,! ((р -= О У (.)зд.и)(нх(а) + У,',(хч р,а)ф'(и) =-. О. (8.;)8) ((о иредполож(*пню, при всяком лначепии а кривая (8.,)() ка(ае'*Гся сООтв(.Гсп() юпЕ('й ж(ему апач('юпО а крнвОЙ (('м(й1гтва (8.36), поз!()К(у для всякого зпн н)пия а к(х)рдинать! х и р, опред(лякициеся уравнениями (8.37), будут удовлетворять уравш ник) соответ(егву(ощей кривой (8.36).
С.'лег(о)5$(т(1$!щ(о, для всяко- ГО:)Наги)ния и (з(рап(".дливО равеи(5'пк1 У((д( а ), ф(а), а) = О, (8 3(!) полу (асн(о(5 подстановкой .1' и у из (равнений (8.37) в трави(- иие (8.36). ((Оггому подпав прои:ин)дпая левой щсти (8.39) по а должпа быть ра1)на н1лю для н( яко( о:)па н пи я а. т 1ч У.(х, р.а) 7(а) + У'(г.у,и) ф(а) й У,()ху,а) -.= О. где х =-- (р(и); д = —. ())(П). ((рииимая во внимание равенство (8.,)8), полнчим У)(.г. у,и) .- О.
(8 А О) Отс(е)Г(а заключаем. (то коордипап( то н к огибакицсй у„(овле- творя1ОТ уравпени)!м (8.36) н (8.40)1, У((г.д,а) =. 0: У„(х,р,а) == О '1. с. Нарвы(ггрн'н'('кис трав!и'ння ОГибаниц(и мо!')т ОЬГп напд(. пы решением уравппщй (8.4 () относит(льио х и р, откуда,): и д определяя) гс)1 как фуикции параметра а,. Рас('мОтрим 1$рив(',, Е('(шьи( ране*(' приме'р (' с((ки'.Й("пюм Окр)'ж- нО(ГГ(!Й (8..! )), ! ((ю(ЕИ((к(н)р()н(ЕИ(к)$)а)5 (8.
)О)) ПО и. ('1и ГНЯ х $$ у ПО- сепн1нпыми, ПОГ(учим ('исч'()му ура))и('ний для иахОжгн)иия Огибак)щей семейства (8.30): я --2(.г — а) =-. О: (х — а) + р- =- )е". 8.13. Уравнения Клеро* Р == Р + ТР -'2РР' Р'(х — 2Р) = 0: рассмотрим уривпеиие Р'=- х/?' т йЬ') Р' =- 0; р =- (..1 + ФС) / / 1) =;Г(/ + !/. р .= Сх -(-((/(( ); х = — -/()'(С) Обозна*)ив 1!' =- Р, Р/о ==- Р', имеем Р'(х + 1) =- 0 откуда ра == ??-, или р =-: хг? урависиия двух прямых, ивраллсльиых (ив Ох, которые каса)от«я всех окружиостей, эа;игпиых уравиеии~;-м (8.38)), т. е, являк)тся огибакицими;пипки « семей«тва. Зй.бечо)(пе. ',)Рави(пия (8.41) ю!Осла мо) чт ои1хд(л)ив в /!Ру) и( дУ дУ' крпвы(* Одпак/).
(«ли хо(я оы о;в)в п) и!Хя(иксе)ь!х —,— я/1И вЂ”, дх дл /п«1па От яус)я я /х)е лока')ыю огрьч1н'н'ны Б 1Очках. удое:11)творяю)цих уравпоияям (8. !1). то эти ураваепю) опр(делякп .только огибаюи)ую. 11оложпв Р— — и, иродиффереицирусм это рав(чп тво по .г: др Р == Р -Р х — + ((/'(?)) —; дх дх (11) — (,г + /8 (Р)) = О. па! др Откуда, или — — =- О, или х + (()'(гэ) == О, В 1и*,рвом сл ) ч ю. Полу чьи к) (?х — С = (Опчг, во вто)юм х = -/()'(1)). И/1 первого ревев(тва и уравнения (8.42) получа( и обив е репи иие уравпеиия Клеро„а иэ (!истомы паходим еще одпо ре(пеппе. Заметим.
чго система (8.44) ('овпадает г парамегри (ескпми уравп()иияыи Огибакц(в й (8,41), гд(э В роли иарахиггр/), о выступает С, а У (х. д. (') =-.- д — С г — /8(б ). В Рю (ра()т(ел(', 8 ) 2 бьщо дано также досплю шо( условие гого. !Тобы система (8.41) опред(ля- дР дУ ла с«лыс««гибакэп(у)о: хотя бь! Одиа и:1 10)оиэв«диь(х —;-- и;Ри —, дх др д.Р отлична от пуля и обе ограиичеиы.
В даппом едуча( — — .— -- 1 Р' О, дд " (?У вЂ”,— = — С, )иачит, урю)пепи« (8.44) эа'Рвет огибакэп)ую. которал дх иио(;:(а может вьйкгциться в го Рку. Осли семейс пю д =. С,г+ (у(б ) явч)н'!«я и')""(кОМ прямых„т. е. Прямых, ПРОходя)цих 'н)реп (эдич точку.
При.мер 8. Зд. 1?=. (Р— Ь) (8.45) Положим 1?' .— -- Р. Уравиеиис принимая т вид д =- Рх -- Р). Продиффереициру("м (ч о по х: Иэ иервОГО раВеи(тВВ и у))ВВ!и ИИЯ (8.48)/ пОл1"1/и!и Д =- ( 'х — С- Второ( равенство приводит к системе х,г- хе;ге «! куда Р =--- — или д =- -,— —. — =- — —. 1'("пн;пР1() ур(ипи пия (8.48)1 2 ' 2 4 4 хв д =-- — — Является оп!баюл(ей «смей(тва прямых р — -= Сх -- С-. 4 Иртьыер 8. 3?. )иффереицируя урави«иие, получим / / В П Р'— -'Р+гу +У О'1'ку/да и = б и х =-' — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
