Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Таким обрвэом. р =- Сх+ С облпее репюиие Чравиеиия Кл(- ро представляет сооой иу иж прямых. проходящих череп !очку х = — 1. В этОм слч'ите ОР ибак)щей с('и/!яства прямых и(.'т. с»О — "=-.Г(» . р): сй с»р — =- »(»(»,.г. р) с»» .г(»а) = — .ГТК . 1»о, » ;. (»1.»а). 1 а =- сс(»): р:= р(») 'В р == (б' +:.;,») с»-'р 3.14. Системы линейных дифференциальных уравнений !'(Пн!Ни(м с)н:нмы даух ) ран(п!Ннй щюьппн'1 с я пара дифференцируем ых па и)ггер()ало (»;, » ) функцип.Г --' сг(») н р =- 1»(»), кО(о!и ю !6)и пОдстанО15ке !5 (ист('мъ" (8.46)) обращанп оба ураансння В тож:(с ( тна,. Общее рени ние с истс мы (8.46) содерж(п дие прои н)ольньн) постоянныс С( и б' .
)8(ли:(аданы па иь(ьш и. условия '1О 1(ожно о(Ц)()гнс(пть ( ! и ба, т. (ь най1и '(ас" ! иО(' !Я пи)нисе !'.сс!и на ИПОскО("си ')асц1п д(картоВу снет(м)" кООрдипаГ. тО ренн ния систс)мы (8.46) х(ожно ра('сматрияа1ь ю1к ('иссох!у нараме'Гри'!О('ки заданпых к!)иВ)(х. ВОВп('ящих От д)5ух парамстрон 6 1 и С). на'(ыааех(ых пн- )П(!!»Юлаи(Ь( На '!»НП)(сь((И. Прн некоторых услопиях па фупкцпи Г(», о . р) и»с»~ ».
т, р) криВьн. (8.48) ие нсре( с какггся. Таких( обр)е)ом, с ели задать Начальные у( сюния (8..)7), то получим кривую семейства (8.48). Прохидяшую 'и'»к'1 ТО'н(у (хо, ро). С'уп(с (ч'1(у(Г! и дру! ая интерпретация ренюний систсмь( (8.46), о*к нь удобная н разли (иых нрик)п!»(Иых иа((ачах. где Н1(рах(етр Время. а (л(»). р(»)) координаты точки на плоскости (х, р). "(О!да »к пп ни( (8.48) оп!И)дс,н«;1 за~~и дапжга(ия точки !ю и(косс»:! (»1» торой траексп)рии и зависимо(ти от изхн неиня»„а — — и — ' (!» (»» коо»н(инаты скОЙО(*тн 'Гой ж(1 тОчки. При такой инт( рпретацин с'истс ма (8.46) Называется с)инал(и(((ско(2 с Вен!Смо((, плоскость (л.
р) (осыос)о)2 ныоскосгпькь а каждая криаая (чгккйс")па (8.48) ~ало((о(! Крпоо)!. ,1)ииейные с)!стели! с нос" ! с нос" ' ' ' )с1, щиснтами можно гх „. (! !Виям 2-го порядка. ч, '. '. Пх к линейным у )анне '', ка. При,)нер 8. 32. ѻ ( — = З.Г - 2р. «!р (»» ДиФференц~ с»ар с»(1», с»»ь с»» с»» ' «»а) — = 3!г — 2!: с»» — -'» г1 Р, «»4!» (»Р с»» ' с»» р — 2р + д -= 0: Р =- с'(» '1 + ( Ъ»); а: == -е (б 1 -1- б '» + ба) + — (» 1 Ч. 6») == =: -';;(26', 2б! б') =- ф' -,'- .' ) !аким обр!В)ом, ренн ин ешеине систсмы имеет аи»: ГОчпО так жс! х!Ож) Г но рен(ат 1 ! ЬИ 1ИН(ИНЬН СИСГ ко:)ффиние)ггами 6-). .)ОЛ('(' НЬН)ОКОГО ПО) рядка. П!ои нер»».З,У.
Дважды диффер('п Пир я уя !и раое уравнение, ., НО)!УЧИМ х, с»': с»1» су)т К/ с»». (»» ' с»»' с)Р ХД43 х =. О. 1 == О; /5! Б =- +1: )г»3,3 < х — ' С!с» + < г <' + б з )йй» + б..! < ОБ»: й =- Гчг~+ Свс ' — СЧХБ133» — (,'4совб ,.'151)х рйл:!и'пн Хх рйдиОйх(тиВных БР!ИРгтв 35р<'мя з кО»цб:и'*Гс)! от»ХО)х<5Й г( Буйды до 5<и)35333йрлои ле!. Ъ Ой!<И("И!Хе 18Л111) он ни н)йет нроц(*<т радиоактивно<О распа<Б! приближенно. КОХО!а Веще<"м)Й < гйновит< я МЙ.ХО, нй хннйк)! д<'й("пк)вйх ! дру! Бе 5»!Коны. Ио'.)тОм< с Ргх иги ура!!И(533иех! <Бяз! Нзщо Г только ВХК!Мя 310)<ура<хи)ХБ, ЗХО Хи' В1хц»Я нолнОГО Ра(нйдй.
(1-.35 ТЙК КЙК й =- (1»Б ' 8.15. Уравнение радиоактивного распада Основной закон радиоактивного распад! : ' '. ' Б СО<"!'ОИТ В '!'ОМ, ЧТО скорость распада радиоактивного всщ -. р е(5гва и опорциональна личсстиу пераснавш<тося вещества д в йнный момент вр<"монн. Если о<к)»Значить;г:1 ) к< „ б (»») )ли'и ство в(чцества в кхомегхг! Бремен то зтот никон можно !Зыр»5535ть и виде с)!с))ухо!И(ХО дифференциЙлыии о уравн< ния: (1»г — .=-рт (1» Гд(! 1) зйви<'ит О'!' Вида Хи; ' ' ' " ' (г!'с! )диойктивного вещества и выбора систе- мы единиц.
Знак < — ) озн" * — Ознй*1ает, чтО кОЛИ'н)стВО 13(щ(',стВЙ убыВЙ- ет. т.е, скорост1 отрицательна1х. положит'.: .1, О). П, ельно. ) > О,. усть цри» =- О .Г10) = з.й, Р(*цшм это уравнение: (1:!' — =.- — р (й; )н /х( =.= — 1)1+ б'1, х =- Сг '~<. Учитывая! Иащзд1 НО( у("Ховие хй = » и53РР 4 х =:гй(» закОИ радиОйктивиО! О рйсх!»!дг!. Иййдехг и(.'риОД ИО.ЧЛ)йсийдй. 11()риОдом 310лур15("Хц<ХХЙ нй:зывакп'времяТ,закото; з' .
" ' . ' т<яв во( ), ' ' 'О"''рО<'. кО)ХичествО ВС1ц<с! Ва уменьп!Й(т<я ВдвОВ ИО ( рйвн(чХию с цер!ЗО)13)ча)хыХХХМ зна*!ением: 1 1 х1Т) =- --хо! -- хе = г'е(' 1И2 Т =- —. р 8.1о. Закон роста биомассы Еглн жив<:ю клетку помес! ить Б шпа)ельнъю ср< лу, х!) онй ни!Хи т 1и)змиожйться. 8 кй к(тгк' коли "к с пычХИОЙ хгц)»!к»(р)!<чики (ч ро<та принимаХот 'гак на5ывйемую к<)нц("И!рацию оиомй<- »5И1. !51мер)и'м)'ю ('1'ХОЙ мйс('Ой кл<'!'Ок. 31йходящих(<и в 1 ('и' рй("- твори.
Следовйт< льно. единицей и:!мер<ни!я служит ! Мг»см'. Будем < "нгп!т<ч что !Хрирост биомассы за малый нромежугок )йкм»ии 30)ОХК)рцион<ьцн колиигтв» оном(их! 3 йданнхХЙ мом<н!т ир» и( нн и длине Вчого малого промежутка. ',+го «)гласу<!сея с Оггыпхымн Ханнымн для большипстав охшоклето Хных организм(ис 11у< тьгй количество биомассы при» =-О. Будем измерять И1»г»3<О<О!Зйт(5)31 ИО ('(' ко.ХБ'3( стВО *и'1)В 5 О'п)иь ххйзхь!Р 10)Охц'жутки Брехи ни фнксировапной длины» — —: 1!. ТО!Тха получим цоследоиат<.гьгХО(ТЬЗНй'И)НИЙХ«ЛХ.Х,....Х»о ХЗХ( Х« - КОЛИ И)СТБООИОМЙС<Ы В мои<'нт 15рем('!513», Зйкон ростй Оиомнс( ы Зйдй(*,тся г ИОМОИХыо У'Р»<ЮИ'!ИХЯ г,,г --.!'„== И»,.г« 38.50) цк 1 кочффици<чгг пропорциональности, не:Завн<ящий ин оч «,ниот», Урйвн<чни) (8.»5)О) н»езьи5<5(:!()3 рекдррецщим4Б у1)й«ХБ ц<»(хи, г. (.
у1)а!ни ии<гй1, < ВязыВБк)и<их! зий'и'.Ин('. 'Хл<1щ и('которой 'Хи< лоБой и< г.инговательпо('ти со Зна и виямн одного или н(< кольких цр<ды„Х<щих Хл<чХОВ чтой же 11«<зк»»!ОХ!»)ге.г! 3<О("3<3, Отсю,<Б и нй'н5вни<ч 1)('к!»1)1)(555553)5»»»Р. '!.(ч Зб(ггуни3(5 на*зад)«1 РИ1еии(гм р('к<'рре)гни)го урщ)иения назьниится числовая ил'ледонательно<"и.
Вс(' 'Зл<*ны котОООЙ у,'<ОБ»н)твой)ПОт зтоь<у ур)53513ениХО. 1 О!пить р("" курр('33!но(' ура!5!хе)315Р .щй'ХиГ найти Б((' сГО р(ии)ПХХя. П1ЯОбра:Зуем 1»»,5)0) иначе: .г'г» г 3 ==- 1й)г -! 1).гй. 18.51) и 1и ОООИ! 1 х хи 1)г .! 1 г л -' 3 — (рг»». гд( (1 пс:зависит От номера и. 3«ЯЯ:Гп, из (8,5)2) иайдем х|,ха и т.д. Физи иски имек)т смысл только решения с условием Хе * |1. !аким! образом, д.ц| ЛЮбого ха |пзйДЕМ ПоелсдовательНОС ГЬ ХО..Г|, ..., Хп, В обикм ела'|ш 1х|ззп.п, )х:каик*.и.||«к урзз)зи(изи Грз;шо. В даппом случ|кк и хп =- (1 хе г(ох«*три «скал про|рсссия, Как ЛКХ)!|я математи и( кая хк)Г(е)ль. погтро("ии|оз модель опи(ыпа(т процесс цриближ(пио.
11а (Ямом деле мод(плей кажд(но проце(са может бьгп мно|о, а выбор той или ииой коикрепюй модели зависит от целей моделирования дашюго яил('иия и гре- буе|МОЙ то'пи.х'"ги. Построим .! еперь другу|о модель роста биом|иты. В преды.:|угц( м случае пас и им рссошзли яна«п иия хп коши нтрации биомас( ы и ди("кР(:1 «|*!е меме пты |цк ме пи )и, 1()пеРЬ и|к: 6У;:.)УТ ии|еР(- совать:ша к|«па чтой концов грации х! !) в произвольпый момент в)н)меки |. В (оотьсц пзии с выл«си:|;к)жепиым полу |им уже ие рекуррептиос. а дпффсрепциальиое ураппепие. 1ля того чп)бы е|'и ИОлучить, буд(ь| ('чит)зть.
'По "закои рО(та )8аб)1) я)зля(гг(я ириближ(зпиым закОИОМ. котОрый пыиолия('1ся т(*м тО'\1шзч ч";м за м()иыиий и)х)межуток |цюак ии (|о ра(сматрипать. 11(*реник« м 18.52) сл(ду|ощим обргсюм; .|п|) |п 5 — "" Ъ. (8.53) и:|ам(.гим, по и !8.5)3) слева с|опт и,|раженис |п В )цкд«ОЛОжеиии, по а(( прот( ка)О|пи( |цх)|ю(хсь! до("ппоч|ю Глад«ко. 1ах«тик!. Тго Откуда (!)1 — = !Г(!6 1И|0" -= )2 К Г) ' !и ха --- 1.'; ы !а! ж; к ут с «.'.)Яч . о" 1 'курре ' )1 иия 18«))1) !«р( ходи и к дифф()х и|О|аль«ему а рашкзпию ) 855)1) )э По;|умасм, ьакск уравпсни("тразпн;( решить: е)х (Й .|п|1 Хп — Г! + 1 иэп| 6 |(Х) |00 1 1' (1.!)п '1то гцюще вьшпс.ъпчс у — —., шш 3! --.,' Отжт уже и!вест(п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
