Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ортогональнаи и )гормироваинан на )а, Ь) (ти гена функций ца?)ыааеиги О1)??и]?(о)1)миг)ооаю(ов. Дли не( иыиолцяготси и лонпя га. (0 ),*„) Если ввег"1'и символ Крепи)кора )О, )пфп; ЛУ~, гп =.п, )йт ( ! ))йк(;! ! )1х ~))т. а (9 8) (0.10) Определение 9.7. Кокос)скоп! к) фупкппи !)е11стви гслького переменного Если функция к)тпая, то ('(--() = 1"(1), а )слп осктпая!. го :в,((-0) .== --г(1), !)ткуда ел)„)уст раплн пк (9З). В Лемма 9,3. (.'и! тема фувкций ппех пкх ) ()и:;- 1.2,3, ...'~ О) =- 0,1.2....) где (('(г)) = ) их(х) ) р!'в(х) модуль фупкцип,)'(х).
Лемма 9 2. 11сякук! ортогональпук) систему, не содсрж пцую функций с иу.нчюй нормой, можно иормпроваты ,г(г)кааапк аьспп)о. 11усть па )а, 61 зкдаиа орпп )игалькая система фупкций 9„1х) (и =- 1, 2 3....). Еок)! пв) стп повьк фупкции )!',) (.!') Фу ( )((' то полу )сипая таким обрааом система )Г)ь(х) (п =:. 1.2.3, ...) бу- дет ортопормиРОваипг)й: г у пах' 1 псах (! )ок — -- )йг =-- — к)п - — —, == 0; гп 1 ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ б ~ ! ~ ~ ~ ~ г ! ! ~ ~ ~ ! ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ с ! ) ) 1 фк,(х)))),:(:!)) ~б!) =-; — — —,—,--- — —, ! )9„,(х)~()к(х) г)х == Ь„„к И'.»(х))0))'у».',.!)6 .) го равепспю (9.6) можно и)"рг пи) ать:!))к: „Г(,г) --=.
пь!') + )(1(х) и д(х) с х)(,!) + )3)(х) п)гиява)о)ся г)рп)!)вглпкп кьмигии (п,()), г))тп! где д(:г) — -- и) (х) — )(3(х) - сопряжоппж! функция. Норма фупкции опрсдгля))тся формулой 11 далык йгпем пам )к)кадобится с.п дукпцее сгк)йспю: )) г" Г 2 ~,)'():) Рх У(-!') =: У(х): ~(,г') )й)' —:.- „), ' (9,0) О. Л-::.) =- -У(х'). Покажем сгй)аведл)пк)сть Ргик))и")'ва (9.9) а о й Д.г) г(! -:-.
1" (:)-) )йг )- 1'(х) г(:)с П )) Й первом ипк)трк)к правой пкгги раве)итак (9.10) )д)лжм яам! пу )к)ремепиой х =.= — б г(!) =- -)1!., )огда и и Я г(,г) )(х — У ( — ! ) )И вЂ” ' ) )) -. ) )1!. :) и г обпгпм периодом 2( ортов'опали)га кк любом отри)к! длппы 2(, ,г(!)ка,п)гпг.пк)тоо, Так гк)к бы.)а дока )апа л) мма 9.1, то .)) у ) ек)к)1 дост)п очно дока )кть для оп1кпка ' — /, Р ) п)кх кгп — — — д)х =- 0: Г )пкх и кх гйп — — - с;ж ---- г(.г == О, 1 гак квк подь)нте) ральпьк фупк)гии пе )стнь!.
П1и! и> г= и. 2гп>с г)' /и 2П)к 1 !е 9.2. Ряды Фурье ! Г и г аи:и — / Г(.г) соь -- — (1 (е ие Г(():) == ~ с„(уг(гс). ! ~ ~ с ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и >пко г(ат Г г пи'(и! + и) ка'()и соа — — еоа ---. (1.г.=. ~ (сок — — --- — е ! ок -'*----- — — ' / сЬ:и ! и 1 аг(гп -!. П)1' 1 >(>с(л! — П))! := —,----- Я)п - — — — ' +- — - --- кгл — -' — — — ' ! == И 'Ь -)!) 1 1 -(» -~!)' 1 лрл >и у.' и; и ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ с ~ ~ ! кл(п) -- и) гге(гп д и)'> (еоа — — — — — — -' — сок -- — — -- — - ) д» == О ()р гсл о(пл>ы клеть цокааала„ Ю 11ай>а м е)ц!" квац!Яп нормь! Птпк фупкций иа >-1,)е !ада =- 21: ( > ~ ~ у , лжх Г; 2)пп:и) ей и — — —.
(1.г —" 3! 1 1 - сок — — — - ) (1(с»и ,, Нксг Г г 2агкя"> (оа- — — дт ":. / ! ! и- (гоь — — --~ Йз: =- 1 ') Пусть функции Д;)!), Па;(анпаи на (а,, 6>, цо)>ускае г р(г)г)ожени( а ранпом(рпо (кода>цийеа рад по о!по! Он>оп пой па !П,й! скет(>м( фупкцлй (1)„(я:) (и = 1.2, ...): Найцем коаффгппп;пт>а си. У.п)о>Пил обе 'лести рав(п()ва 19.13) на (Я»,(.г) (п! === 1. 2, ...'! и проипт(исрироаав )го 1п.6!, Ног! >' 'и ! Яп >! >>„,! > ! -- / г, Я > >»>»и)»' = ! ~ ~ ~ р ~ и ! ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ! ~ ~~ ~ ~ и ~ ~ я и -! ==Е ('и (1>»>(.!')'ги(:!') (1ае И>и>омним (см. Попра;)и.
7.Я!. ">го если ря>), (9.13! раалом('р)и> (>к>ципя и (/>упкцпи:~и(.)) пеп!Пр>пип! па !П,6/, то >тот ряп мОжнО ПО'(г(гвпк) ин'!'с!'рирОнп'!'ь. В ( ипу ор>о! Опальное ! и фупкций г„(х) на /и. 6; а а (1),и(,) ) да. >и:;,-. и иги) ! !'!')Ь !") (-!' ' —" О гп гил а и ~ ~ с ~ ~ ~ ~ ! ! ~ ~ ~ и и ! !~ ~ ~ ~ ) а Г(;г)(»3),(.г'! (1х =: си,!Яуи,(.г >/) 19.14) и Опре,!()>ение ) 8 1 )фф п>кпи! (и, олр(.п (пи(>с фор мупой !9.1-1).
паяьпга>от к(я>д)фи(!Пеап аияи Фу1)).е фуп)>п(ии Г(г)! о(ио(птельно „(аппо>! ортогоналыгой систем>я функций; )»(л). (1)упкциопа)>ьцьп! Ряд (9.13) с ко>к))(1П>ц)к'атаки! (Р> рье о„, пн:>ьь глк т('я рядом (р1(!Г)ьс пе )ависимо от (гсо схогп>>лести. Ес>)и 1!Я) п(рлопипе(кая фулкцля с >криопом Х' ==- 21 л л пу("как)>пля ра:)пожелие к 1>яд Фурь( цо тргл Онометри п"скОй гис)екк фулк>>ий !9.11), то и> с Г п>»', плг) 1((г) -"- — -! У (п»(ок -- — (-6»ягп -- -~.
(9.15! и' > )гце >п>аффп)пппгм Фур(,е и!.П»,6„аы (исаак>гся по формугам ',9.1.1! с у и">ом равсак"(в (9,12!. т. (. 1 1'., Пля 6„.=- — ~,~(.г) а)п — — — дг (и =- О, 1, 2,,), 1 Г пкг Е>„--- — ! «(.г) вш —,— 71.7 ==- О, ае >г их.г «(х) = —, + ~ а„сов — ''-, 7>.= ! (!).21) а г.>' «( ) == ~ Е>„в) ».-- ! 343 Е Мы предполагали, что «(х) р!х>ложииа в равномерно сходягцийся ряд (9.15) с коэффиц!!!"и !Ими Фурье (9.16).
Теперь определим, при каких условиях на фупкци>о «(х) этот ряд будет схо- Д1П'ЬСЯ. Определение 9.9. Функция «(а ) н>т>ывагггся крса !На-непрерывной на интервале. если она о! раничена па этом интервале и им>'1".т на, пем коие*>ног' ч!к>ЛО точек р>х!р! И>а тОлькО 1>е)КВО1'О 1Я>15а. Пусть дана функция «(х) с периодом Х' = — 21. Иптер!5>м> ( —, ) — — Е,Е) назьп>ается основной обдаст»к>. Постронх>,'м1Я э1ОЙ «)>ункции три гоис>метрич1ский ряд Фу 9»е: ее 7 ОХХ пхх '! «(х) --- + ~ ( а„сов — + Е>7, >йп — ).
(9.17) »=:! Теорема 9.1. 11угть функции, «(х) кусо ппнненрерывна н им!не! кусо н!О-и!>п)51117ыйнук> прОизВОдп>к> В ООНОВнОЙ Обл>нти (-.Е, Е), то>-да: а) ее соответст!5)чо!цнй ряд Фурье (9.17) сходится для всех х; б) сумма .'>(х) этого ряда 117урье равна «(.г) в точках непрерыВНОгти «(х) и раВна с)х>ЕИ!ей!у арифх>егн*!ескох!у НЕМ делО15 слеВа и справа в точках разр1>ва, т, е. 2 и В «(х). ег лн х точка пепрерывнгкти б>(х) .= Д~7 -- О) + «(:1: + О) — — — — если х то >ка разрыва. (91 За>нечание. Так как в точках непрерывности «(х) «(х -. О) = «(х + О) == «(.7), то равенство (Г»18) можно эапнгат>, твк: «(х+ о) + «(7 — 19 .'>'(Х) =- — - - — — ' 2 для всех х.
,Г(оказатегп с гво этой теоремы пе привод1>м вв>!ду его сложно- Теорема 9.2. 1"ригонометрнче1 кий ряд Фурье четной периодической функции содержит только ко>янусы. а печепк>Й только синусы. Дана.>ага!>>>ъс>>н>а. Пусть «(,г) р>!склцъьп>аетг>я в ряд Фурье (9.17) с коэффициентами (9.16).
То>да, если «( — х) — — - «(х), 5к с. функция «(х) и*,тная, то !;!! 91 1Г, ти 2Г„, 7>х>' а„:= — ~ «'(.г)1ОЯ вЂ” 71!г =- — ~ Е'(х) гов — — 1)х! Если «(.-х) --. — «(х), т. е, функция «(х) >н:четная, то 1 Г пгэ; 2 Г, пхг Е>„== — ~ «(х)вш ---- 1(х ==- — ~ Е'(х)в(п — — — 7)г; в Г 7>к.>' а„--- — ! «(х) сок ---- >Ех =- О. 1 ВВР!КТВВ (9 19) и (11 29) НО !ч*!1н>! !' Тпп'!ОВ5 !'В5>91"пя! Опргд>'- ленного и!гптрала (9.9). )хроме того, извес гно, по прон,>ведение дВух чеп>ых или дВух пг'чеп!ых ф>пкций НВЛИ>гпя 'и'ТНОЙ функцией, а прои;!в>м5>.ние ч!5пюй н нечетной функций нг"кчпой. Таким абра >ом, если «'( —,г) =-.
«(х). то г. е. ряд «(х) ра! к!!Вдыва>*тая в ряд !17урье по к!х:пнусам. Если же «(--х) =-- — «(х). то '11 е. «\х) расклады>>аетгя ИО 1'ипуг'ам. В При.мер 9.1. Функция «(х) =-= —,— (.г > О) >а>1апа па (-.х. Х). 1'1зложнт> !1' в 1>ид Фур>1 и. Нол»>уж» разлож!пнем. Найти сух>му 1)а-1 2И вЂ” 1 »=,1 Реип наг. Ф > нкцик> «(х), за ганнук> !и! ( — х, Х1, !О>ОдОЛжнМ на в1 !О 1ис>пи>у!5> О>» п1".1ни>ди п>ски с п>>1и>од>>м 'Е' ==. 2г (риг. 9, ) ). 1'кл 9.1 'рак как имое)' Вид; ~(х) "" ~ )ь е)п 1) г, )-:! гд! 2 )" 2 )м .-.=- "- ~ мп ))л )я -- ---(- кп «ь) ) =- ~ 1), к)п — —.
2 л.- ! )х 2 с)ж пск)! = — (1 — ( - 1)" ) =: ' (о к)) )'дс и =-: 2)ч и =- 21 — 1. пи,г ))„=- гс В'и! -- — )х:— о 4 и. к)п(2() — 1)х и 2й — 1 4 4 пял '-' 1 — - — сок пи+ —,; —, егп — — -, кп к и" 2 )о ки пах «'(х)-- и ";)-: ! При,г =:.; е)п(21! — 1)у:=: 1--1)"'. хя ! 1'пс. 9.2 )1 к) З-. 2-,;. !) , '-т '2; Як ' и! )с!.иая !))упкпия.
1 == г то сс ряд Фррьс -1 г, )ь 1)4! = !1, 1))ь.. ! к(21 — 1) 1пким обре)ом. и то )кех нппр))р! пикк)тн )я.3. Четное и нечетное продолжение функций Пусп функция ((,!)) )ж!)апа то:и*ко )га иптсреалс (0,11, 1то 6)я речдожить «'(;~:) и ряд )1)ур),с, гч нуж)го п)к);)олжить па пп и р- :.!1 кал (-1, 111.;Э )о можно )и!)лп)ь басни лсгп)мм мпож! с! ном лкккь бои. Всп получек)ьчпсгя оя,)ы Фур)к 6)лут пп (0,1) имс)ь суммой «(.г) к то )ках цлпя р! )Впостн и ! рсдпс!' арифметическое прел.— лов слове и справа в то )кех ра)р)пи!.
Б)к; ипт! реала (1), !) ))и ряд)я бу )сп! прадстйа))яГь ! ои))йп)ппо рес!)п)пп и) груп)сции. В частности, Д(х) можно пр)гдолжп гь чотп)ям образом и ра)- л)гкитж по ко! ппусак), а ! слп ородол)кит!о)с и тгп )и обр)мок), )о полу )пм рж)ложлпи" по !ипусим (! м. тсор! му 1).2). Промер 9.2. Раело)кить «(т):--- т, чадаппук) пп (11. 2): а) по синусам: Й) )го косину)ч)ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
