Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 53
Текст из файла (страница 53)
+ра(х)у =- О 11 непрерывными на ',а.6! коэффнциснтами р(х) яйлястся лши ййая комоййацйй у =- ~~> (;ус(.1):ьюбь>к и лйьи>ййо незавйсймык йа том же охре!кс", !аогйык 1и ньсйий у,(.1) с 10)ой:)йольиымй постоянными ко.>ффициентамн (*,. УРВВненпЯ.
?й;сй;!Ны н?й)ьгзвс>льнь>с) нььч!Йлы!ь>сь Ус)>о!>НЯ дахо) .=.до, . с д (.го) = '1/>, ...да >(хо) ==- д„>, >де (го е >п, Ь[. Получим систему у$)ыВи(*ний 8.10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами С>дь(х(>) + Со)дх(!ь ) з-...~-~', а С! д! ( ! о) + 62(гь(со) +...
+ $'*,, ьа'„(гь>) .—., д! б ! д> (:го) + $.;в) ьл, С(ь !а., Ььь 1> аьь 1! 01!$ке((сп!тсьек'и >г!Ой систех1ы я>злястс.'я с)н?)следите>!ь 1?$)ОП- ского И (хо), Отли'шый От ну>о> !и> т()о?к)мс> 8.7, 1йким О6$>йоом, :>вдов пйчйльньн. условия. можио с*дшк-пзеииьоь образом шзйти ковффицие!Ны (', (1 = 1,'2,, >1). ТО!дй д — — ~ ~'О!аь 6>",~е)г реь=> п>гнием у$)й>!ненни (8.'26), ус!О!мне.по))я!Он!им двииыкь нй >ильи»,м УСЛОВИЯМ. Следствие. Х!шссимвлыюе ьис;ш линейно независимых решений липс ьз!(!ого о,!породного диффсренцивльпого уравнения ровно (то ИО$)ядку.
Определение 8.8. Лк)бьи) и линейно и( вйвш имых решений ли!и йного однородпож> диффсрепципльного урйвиения и-го порядка п)влывй>отея фу!с)плсеп>пса !шсо(1 с!(с»ьссьоьь рсва. Иш! (ФСР). Дадим ши)еоб по( троепия ФС1 . Пвдйется и ьисел и„, где ь = =- 1., 2...., и, Й =--: О. 1, .... и — 1., у(до>зл(ьтворяющих условию (о> [0 О сй-. > ! (п — 0 (Х> и '-с>пения д,(х) онре;ившм нй пзльшямп;шй к Явями д (хо) =-и для некоторого хо е [а, Ь[. По тсо1)ем! 8.2 онн существук>т и обрйзукп фуп,:ьвме>! ьтм!ыьую ( истсму, тпк кйк их оп?)едс лить ль Пропского 1$)(х) х: 0 в точк() .!о, глсдовйтслыао. по теорем( 87 функции дь, дх,....
>с„лищьйпо и("зйвись!мы. '!Нк кпк существ)к"г бесконе шо много Определителей, О>специ*>х от нуля, для каждого у?>йвнепия сун!ест>зус т бн'сконсчпо много ФСР, !с перь рй!'смотрим урйвпепия вторсяо порядкв. Урйшп ньп 1(ПДй д" а ).д' $-()д-.0 $8.3 Ц яп„нп'пя липейпыь! однорс)дним уршпк инсм >пороге порядкв, $).($ — псктояпньиь Теоремы 8.2 8,8 Нерпы и >шя ясно уршзнсь ппя. $)(дсьь искй>п решение в виде с.
". Это еднпстпшш)о! функция. ,!.(с ) ь. Ьь. прОИ;н)Однйя кОтОООО 10)ОИО))пион>м1ыш ('йь д -- с . д =- кс' д" =-: $;-е"'. По.ссчгйвим ее в уриши)пнс (8.33): с ' ад- т рд + ($) =- О, с"' >в О. 1!олучим Ал -ь $)$( ->- д =- О. 'Ото урйвнспис ийзоием яа- (ХСКТЛС 1)щ ЛПЬ: И СК(! СЬ д?Х>О>СС)>1!(СМ,:(ИС))С[)()К ПЦПВЛЫЮ> О У $)йв>и ПНЯ ',8,3:?). При нахождении сто корней ио,>можиы три слу !йя. 1. '$ш крпмипвнг П -=. р"'--4(1 > 0 уршпй пш пм(кт дпйдействительпых рйзли пзых корпя Л ! -Х Ат.
По теорем( 8.8 Общее рсшспщ урйв!и ния (8.33) пьж ! т вид д = С.'!у! + 1'тьхл гд() д; и д со( тввляки фупдвментжтьиую спет! му. Ип примсрп 8.10 язв(к-!по, >г>о (ды и с"" линей~о >иеишисимы прп Ь! -г $е. 6(>с>!о!Ньгс)н но, обп>ес рс ш( нне урйвпс иия ! 8.33) бь„шт им("! ь вп ! д —..- С,"1 ',!" + 6;т(А" '.
2. (иск?)иыипйпт Й =- 0 уравнение имсс т двй, рйш>ых кор>ш — =- $т .==. -- —. В кй)пк"пзе >и"рвой функции фупдвме>гпшь2 пой сис те мы решений выб($)сь! дь =-, '. 1!Окпжс и, и О в кй и с пк дх можио в:пьть хс"'. „.$сйствит( льно, ,ь( д — .Г(ь д == с- 'ь а $ .ь'с. ~: и 2й,м. $(т,,с(( Подсшиим в урйшиьпис (8.33) 2)п "' $ д .Тгь' + рг ' + $))м с' ' >- хде '" = ($,2 р)1 ь ) . >1,," ~ гьь (2$( + „! Йырйженис в первой ско(же рввпо пул)о. тйк кйк А' р( пи'пис" хйрйктсристи и с кого урйвпепия, пырпжепнс по второй скоб>н >пкр ж() равно пулю, тйк кйк й =-.
--;. 1(/х>хи !о)о, д) и //> лин(нно пс !Вадимы, Дсй(ласс!( Вьно 1д °,) ),2['>' ...,21.>,2й..' с е с тс" ~ °, !., — ' /1+ Лтв) — Лэ!» ' == г ' '> О для лкэбОТО я. Зпачит. в этОм слу'п)е с>бицес" рен>с'ни[ д =-- С!РЯ" -1. [:"В>» "х. 3. Я1искриминйнт П < 0 уравнение име. '. имеет два компл(кено сопряженных корня Л'1 =- В + )р и Л' — — 3 8 — и > --- и — !!ь н каче<тес <РС1э выберем д) = Р""' и =- ексьс Т) — уя =- с- "-' .
Тогда общее рсшенис имеет вид У = Ад[ + В!/В>. Ущ)остяк! Ни;[ Об(ц('го 1)спи ния. По <1)орк!уз<эм:э[йлс>1)й [скя. псэдразд. 7.7) Р'Р =. с<хя >/> + ! (йп с'.; В =-, — Т; 1 ! - ! / .." ВР =., -- „У у: с ' ==. (тх,> — с,вш<д. Тсяла ! =-.Ас ЯФ" Ч П [' '1'" — "'"(1 41"'. 1/' —.— с к' [ А соя !ч )е + 1»4 яш )эт + Хэ' < ов рг — >П вш»рсв) =- — (~" ((С! <О<(я»>сг + бе яп>и»>г). д + 2д — 24д == О. Корнями характеристического уравнс'ния ЛВ ' 'э/< — 24 =- .шкпся ЛЯ .-- — 6 и Л =- 4 3 +' < — ' =-Оявв ['"» "+б["" — . =- 4.
Значит, общим репи>нием бу/[Р"1 я».' При.мер 8.18. д я- йд д Рб>у -- О. Характеристическое урйвиение ЛЯ~ + 8/< + Н =- О ко <нь Л =. --4 . ' и!(чци'м )э»[ет Хс1, .; ° ",, 1 =- им(с.!. Один р =. -- кратно<гти два. Значит, общим 1эешепием бэ»[ет , (м+ [',-1.>.
П1)име/э 8.18. д' 1-д'+ д — — О. 1[ерник!и характерис тичес:кого уран!и иия Ли+ Л+1 ==- О являкп ся — — — '. — — — — ---. Значит, общим решением будет >УЯЛ, . ТЗт, ъ'За' 2 'аж/и)му коршо характеристн (е<'кого урю!пения Л" + уА' -; кд =-. 0 соответствует оп >е, .'„" ', . а. ь'д([!Н)ннО(".
р('.Ш()ни(' /[н(1)ф(ярепцисп<ьного уран!и ния /8.33)...[о . / ..; ). »..1 кск>ано, что таким жс образом можно 3[13 рспп)ть и линейнь(е уравнения с постоянными кочфс)!ни[и!(птахи! более вьи:сяп>го порЯдка Пример 8.20. д"' + д" + д + 1 =- О. У характеристическся о уравнения /с!! + ЛЯ + /с + 1 =- 0 есть один вещесп>епный кор< нь !<1 — —. — 1 кратности 1 и пара комплексно. сопряженных корней Й —.-- !. Лх -.-- — 1. Значит.
общим ре(пеши м будРт д.== < 1( ' 1 [ >в)п,»се ~.'Ясов.г, Пример 8. 21. дл —. 16д = — О. Характеристическое урашн ние имеет четыре корня: д! В = ~2>, /сз ! == ~2~,. Слсдоввт(з).но, 1х*пн;пис м дйниого урввн(ния б)щст функшси у = (..'! Р ' + Гас) " ' + Е.;! В)п 2л + 1'"! соя 2л, Пример 8. Вй. у ' — 3у' т3у"-1/'=О. р анее оыло доказано, пи если характери<тическое уравнение для дифференциального уравнения второго порядка имеет крвтп!,п! кОр((пь л-, т(> 1х*,!П(чш((м эпп)эферс>нцнйльного уравнс пия будут функции с! "' Н,се ', МожнО доказать, '1!о если характс1я .,[х ригтичес кОс" ) рави( ниР эь!1я /[!(ф(1)('1хчсц>я!ми ИОЯ О ) рйвнс'ния и-! О порядкй Яки ст ко1)< нь Л крйтно<тп ! „.ЯО 1)спи.пнями ьч ого/[иф<1>е— рспциа:и ного уравнения /Н1)и и'м, лннс'йно пе)ависимыми) бу- дут функции с'.".Я»1"', ...,.г' '<С"', Харак ! Руис тпческое уравнение Л»! -3Л<1+ 3ЛЯ вЂ” Л вЂ”: О им<с! корпи ЛЯ 0 Л> !1 = 1 поэгом) общс< рспиши [шно(о уравнения имес т впд у -- [/Я + [."Вс' + [ "(!.Тг'+ [11<»>»'.
8.11. Решение линейных неоднородных уравнений рмсмо)рим пш(йно< ш они>ро[нос [пфф<р< нци)п нос ур )в и(!н!я(< втО1)ОГО НО[в<,[кВ с НО< то>п>ными коз()эфВн~иРнтс(ми 1/" д /э//' + </)/ -= /'/рг). /6.34) ТГЯ)1>о>иа (5.9. Если Р>(х) н !/х>(:1:) Два Решениа неоД)п>РоД- цого урави( ння ()5.34), го !/1(х) — р>(х) является решением однородного уравнения !/ + рр + др =- О. Дока;(а!Иел! с>>1 ао.
(р! — ра)' + р(д! — 1/а) +- (/(!/! — 12>) .= -= д1 +1>д1+ дд) (да +/>1/е + (/!1/а) .',/ .( = 0 (. К,(ой!!( (ьно, общ(( (к ни ни( неодно(к),(но! о уравн( ния бу дст илн ть в!1/! д = де + р, где ре общее репи>ние ()диор()диого уравнени>к д )й(т)ня' (к нн*.ни(1 )и однородного уравнения. 1>у/(см искать (к"ни'!ни; 1/ !Ольке для функций Г(.Г) сцш(ийльнО(о ви/!и. 1. 11рййй51 часть м)ия'Оч)н'н .) (Г) "-- и ~ !' + аь )х +...
+ а)х + а(> а) если А:1 ф О, А >'ф О, то д 6Удем искать в виде: Р =- Ььх" + + ... + 61 г + Ье, 6>„т'. О. Зде(>ь 6е. 61.....,6„неиавес (ные ковффициенты. Ик можно найти, подан(вив р н урашп'.Иие: 6) гкли А! =-: О, А в ф О, то д буд( м искать в виде: р =- .1(/>,х" + + ...
+ 6)х + Ьо). В данном (случае в уравнении (8.34) д == О, и степень многоч:н.на, с)оящего в правой части, равна степени д, поэтому р должен нлн)ть степ('н!ь на единицу ббльн!укь чем степень ) (з ); в) (чли А:! — — — Ае = О, то уран)ы>нне нме("г внд д" =-- Дх) н его можно решить >нк)йиым интегрированием. Пр'иллер 8. 2>3. >> ) р —,!/ =- х — 3. Сна')йлй цай/(ел! Обц(с(*. (К)пи'ни() дв о "Ний)ОЛНОГО уравнения — =- О. Характеристиче(ко( уравн(ние А"' — А .= О име('т корни А'! =- 1 АЯ =- О., следовательно, рн ---- ('! + ('4('.
'11>(г! Иое ренн цие р неод нородного уравн(иия бу>д( м и(кать в виде р = х(ах- + Ь;г и г) 5 ог/!и д —,)а,.! + 2(л) ->- (. р — боа 4 26. 11о/(ст))йнв нолуч( нные ренн)ния й урйнн("иие, иолу чаем бах + 26 — 3а.с — 26:г — (' =-. х — ,'1. „в 11 )ир 1ИНЯЯ кО)ффици( н 1 ы нри О (ин >кон) г. ( 1( (к нях 1 в л( и( й н правой частях погледнп о рав(чиГгва, >цньходим к ( игт(ьмн ур!и( НЕПН)й — 3а — — 1: ба -26 =-0; 26 — > =- =3. 1 Р чнением атой сис!емы яв;)я)отея '(исла а =-- — —: 6 =- — 1 и ( .:: 1..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
