Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 50
Текст из файла (страница 50)
С:пдошпечьно. урависни( (8.:1) каж;юй точк< (.<, у) (шике!")и:и!О< иаирав:ив>и ка<а<плш!ой к ииг(<ральной кри<юй в той же гочк<. Еглп это иаирав.и иие п.юбра шть отре жом. То и(с>)"1ит<'я НОл(' иаирав)и'ний. Заг<ача Н1Г1егрирОиапн>1 диф())ориицивл! ИОГ() уравивни>! чик:1к)'1»ит4'я иа Г(4>хц"'!'ри'ик*кох! я )ык(' и том, и обы пайти кривьи), иаправл» ши касатеяьиы к к которым В каж»1ОЙ ГО'>к(* сош>а (аеГ (' юшраВ)и'.ни<'м ио>!я. ()д у ХХри ивр 8.1.
--'- = -'-..г:й О. 11 каждой то !к» кроме (О, О) ((.г .г у!.14)ВОЙ к(>>и))())иции!Г>' каса Г(ь!ьиой и инт('1'(я<.>ьн(>й криВОй сову >ш„цит с -'-. Очевпдио, по любая прямая с ураши ии< м у --- 4<г .Г 4Я>.)пдв("Г 1ем свойств~м. !>о дглОВОЙ ко >ффицп» нт ка» а>4. !ьиой . !и и в;иооон ее то>ы (»Г,д) равен у .=- ( =- --. С.ледоввтельпо. х вите! ральиь>ми кривыми диффе(к !п<иияьио! и уравнения бу!у!' 4!(и!мы() д =- (гг <1)и<. 8.1), 8 далыи)пшем мы иау !имея р» и!<пь и( которьи прогт<йппи ми!ы,и!фф( (я ициальиых упав>и нпй.
0;шик<> расс игп !в пь па к / р Рис. К.2 р;1$)сп)и р( ) (8.6)) ро =- р(ле). 2а7 286 то, (го В ООШ( м ( лу (си (шх( удй( тся Найти !я пи п)н! Тйких 1 рав(и)ц!Й, н( пр$!ходится. !1(ытОму при и(тл(довапии дп(р()и !и нциальных урйвпсиий и()х((з илигь,(ва направления: кп и]гпишицхт $)$(о!)$(л., к(цда мы.
)и' им(я ша)цпи"иткого выраженим для рспп)ций, д(хци*м 3)ь($$(е(ы Об их )и]цсчи'пии, и 'ч!н'.4сннмс $Н($)поду, (д(' мы прнО:(нж('$1$и) Вь!числя(гк( '3па'и'ния кОнк!к*'пюГО р("пи)ция В кОпкрет((ых ГО(кйх ( зй,шццой тОчнО1 тьк) (чтр! Нацравлс)(ия будут ра(тмотреиы па црцмсрс 3не)йода изоклин, и жстодо ломай($а,'д((л($!и)) . Определение 8.6. И)окл((нами на()ыиают( я и ом( трические хи-ста то*и)к, в которых касательньи к и(комым ицт(!Гральпым кривым (охршшкп иостояцпое направление. !!озтому уравцшп(я изоклиц имеют 111()(: )'(л.р) = )Ч,.1нюая 1$(рг(! раль)(ая кривая.
пересекающая и:к)клицу, имеет в точке пер('('ечсция угловой кочффициент касат("льцой, рвань(й Ь. !1:)я($ )(остйто (цо бо.1ЫНОЙ Набор и кж)1«ц н О $ м( тив пй каждой их цих кусо*)ки кьяа((льцых„можно пред(Навить пов(шсши ицт(чераль- $!ых криВь3. 1юдОбнО тому. квк м(та$$:(и 1(( ки1 Опилки В мйГни)- )шм цол( выстраш)ан)гся в и )ве("пи]л( опьп( вдоль силоцых лиц ий. др х Ор()ьр(ер ($.2. —: — =- --'-. Здесь изоклр(памн яв,(як)тся линии р' '' 1'! — — .--- Ь, ' .. Нрямьи р -.= — — х, )1 скольку Ь ~ — — ) =- — !. по- (, Ь/ .и 1(ацривлсций (которос имеет угловой коэффпписцт Ь) ортть Гоп)цп,цо и н]клпцйм. !хадж('г( $$ цравдоиодобцым. Мо пнтеграль- 2 2,2 ними кривыми бус(ут окружио( ги ть -$- р- == с (рис. 8.2).
Эчо 1)од( $$( ржл)иггся ц впали.п)ческими выкладками. 8.3. Метод ломаных Эйлера (иффереп'(иа-"1'ых урав1и!пий. для кигорых можно Найти то'ц(ос !и и)они(, в(х:ьма узок. 1!Очтому )же (О вр(!Мсп ., !. Эи)и"рй испО.!ьзук)тся цриб;(иж()нны(' хи'толы при р()(ц(!Ици ци))фср(пцийльцых ураши ций.
Мц(и нс (оврски цныс методы )ислшшого ицтегрироцания црсд(тавлшот собой то или иное у)очцсиие (улучшакиц(ч скорое!ь цриближсция) метода ломйнь(х 31!)3('рв. !'Ис. К.а ~(О! '" ""' '"'"'""" "' 'У ' .1( НГ]иб) '1$иошниЯ з!ц)'(сии51 и(]кон(О('О !к'ци'.$!иЯ р(.с) нй Отр(')кс !Гсо. !)) О'Г- ! н'юк д(лится ца л рйвцых ()и резкое длицы Ь (пш(. вы пиления), г, — — .г($ + Ь(. 11риближ('ццыс зиачспия искомо(о решсция в точк( л$ (Обо)ца (й)о)(я р,. 2(ля вы шел(ция р( заменяем на (хв,.г) ! и( ком) к) и$п1 Гра:п,иук) криВун) Отрс!ком с(' кй(йт(-:(ыюй В то'3 к(! .Тц. 1/ ), С,лсъ)1)ат(в)ьц($, р) .= р ь Ь(/$е г'1(" ($( == У(.(о, рц). А)(В]1О$ и шо, р2 .=- р) + Ь!))$, где р,:==- ) (г $, д) ),..., р„==.
р„. $ + Ьр„! . гд(' .($,', $ .—,((,Г„), ро $) (рис. )!,'!). (!рц Ь -- О ломаиьи Эйлера цриближак)тся к (рафику искомой цит((гра чьной кривой. Можно по$$й(й(ь, ч!О В (лучае (дОстй(() (нО хООО(п( йр ф( ик!ц!и $($2 р) '1ля Ре > О )й .> О, такое, что цри шаге Ь < Ь ломацйя будет отли'(й $ ься От Графика н("ГипнОГО р(пипия ли'ньпих 'им ий е ца Всем и р(')к( (его, Ь, '!! результате иолу )итси ломапая, которая носит $11$1йй)ш(':!ОманОЙ Эй!)!срй. 8.4. Теорема существования и единственности ! Нссмотрим (п(дачр )(о(ц(). '!'рсбуется найти $]. $1!Ввцецня р' =- У((.р) $1$ $й и творякццсе начал ьи()му у(, ил)ию Окй зь!ивет(я.
'ГТО ири н((ко ! Орых П1К диолож($$иях О пихительиозйиизой (вези (1Я)вп( иия ((>.1) Взй чйдй ш йс("1,(й рйзре(иимй и решецис едии(-твеипо. ПйжпО\"1'ь 'шдй'1и )хопиз Г фп'1и "(е('к(>й '1'(>'и(п:зре>и!>1 сО("1(>ит В тОМ. чтО углОВ)зя, присО(',*О)$и'пньи) к урйвн('ник!. Оиис1!вйющс'му кйкОй-ли6О (ц>ОП(сс, д(лй!от зйдйчу ~фи!>$ иски Опр(д(лспиОй» Пй()ОВ('м миож('("1'ВО )1 пй плОс:кск"1'и о!$>к(р(($>$(х.(1, с (ь$и кй)к.по( точка $>() ((г().
у(з) Втого миоже("пзй вход(п В иш о Вместе с ц("лой окр('("!Иостыо 1.187п). Прим( ром открьпого миоже( твй служит круг без (рани пк>й О к р у ж 1! Ос ' 1' и . .(1иожест)з(> А пй:зывш"и я ('(з>кз>(ььз(. ('с.!и лк)6ьн'. л)я' с'1'О тО'(ки й(1(гз.уз) $$ (1(в(гй.у>т) можно соедииип (кпрерывпой кршюй целиком со( гоящей и) точек ->того кшожестйй. Примером ('вя зиоз.о мпоже("пзй служи г ужс уцомяпу(ый круз 6ея грйшщы, й Вот:Свй и„з(элпровйцшях дру(. от дру(й круга ос)рй.(ую(.
>(г!Пл,и(ос миожес"Рво. Открыло( (.вя:зпо() миожество 0 пйзывй(тся о)хзйс)г(ь>и Теоремй 8.1. Пу(э гь в плоскости Ог, у1 суще(ггву('т область В, для которой иы(юлиякпся (зл('дуклцие условия: 1) ) (.г, у) п(прерывпй в об„ип.).и О; д,г 2) -,—.(х.у) цеир(рыви1В облйсти 0; ()у ' '' 3 ) (,г($. уп 1 С! О '1шгдй гупи ствует О ся О. твко(. по зй:шчй )хои(и имеет ршп(- иие у(х). Оцределс шкк пй (хп -- 7> хс ~- О>$. При (пои един(твешк>( Иийк', пзс!реми упз(1)ждй(т, зто ир(гз то(ку (хй.
($$>) Ооязйт(зльио проходит шпегрйльийя криййя, и толькоодий. Существ >- Вйии( и (дине!В(зипопгь р(л!и;пия ИОжнО 1"1всрждйть „п1пзь1и Огре>к(* (х() -- (к:!и -$- Ь'. О„!Ийко можио сиойй прим( ии и т(ор( мт, взяя 'зй ий'им!$1(у'к) точи)' (хп + о, ургв 1- е)). Прп чпж( изжио, побы реш(иие Ри вых(!дило зй !ржиц(у области 11, т е. точка (г(з+ е.
у( ге .$7>) ) приийд и жйлй оы с>йлй(-1 и 11. А и>й юги ию можпо цро,((>лжйть р(*ш!'1пн! и В>и 1)О, 'н*1к"'3 '1 Очку (хе - 7); 1$(хв -- 8)) . В кй кстве прим(рй р ксмогрим урйвишзи(' у =. 1((у>". Т((к>1( урйвпеиия мы ийу*шмся решйть дй нх, й сей (йс сообщим липш, по вес р("ш( пия дйищ>го уравнения имшот йпд у — — (х ж О 1'1, где, 6 (цюи:и$0льнйя ИОстО>(иийя, и. крОме '1ОГО, ("("'и (')п(' рс'.шс*ии(х тожд(х твешю рйвиое пулк>. Если мы заладим ийчйльпое у(лоши у(О) = — 1. то >шйд(тся единственное рси(шцих у =-, (г + 1)'.
уд(ш,и пюряюпке .лому . условию. Одпйко, (ели мы:)йдйдим и(зчап (и>е условие у(1) = О, (о (ЮнйружИМ. *ПО ПМЕЮтея дйй р( ШЕИИя: у =- (à — 1)11 И у =. О. !. Порьи удов;кзтво1)яют ятому условию. т.е, ийлицо ийрушеии( (щипствеииости, Причина в том. что у точки (О, 11 имее"(тя ОК1ксп(о(ть. В которой Выпо))пеиы йсе Рсловия т(зо1)ехп(8.1.
А у го (ки (1, О), кйк и у лк>бой дру(ой точки вида хп, О. в каждой >кр( стиости ийй;(игся точки (й имепио. Ясе точки, лежащие ий ( и Ог). в которых ие (.уществует частная прои:изодпйя по у от $(рюк>й !Яств и(х(>диого урйвпеиия. ()тх(стих! также, )то репи иие, тождествеипо равное иулк), >(($1(д(>ет тем свойством..(то в каждой его точке пйруш>и*тся лииствеииость. 1йки(з решеция 1(йзы>зйются О((об>(ми (см. под- 1.1;. 8,18).
8.5. Уравнения с разделяющимися переменными Определение 8.6. Урйииепие вида у = )(.г)д(у) (8. 7) (ш.зывйется уравиеиие$м с 1х!П(де))лн>(о(ьз($$(л перси($>О(>хх($1. ду х "штывйя, что у = — '., получим дх ' ду д(у) — —. =- )(х) дх, '1'огдй общим интегралом будет ду — )'(;г) д.г+ О. д(у) Если урйв)изиие д(у) =- О пм(ет действительные корни вида у .:. 1), тофуикцпи у —...
У также будут решениями урйвпеиия (8 7). 11р( )>(ер 8.3. ду у дг х 1 й $;юлиВ церемеи>$ые, иитегрирз('м 1п(у$ '= 1пф.+ 1ИС'.>. С» О. (у де :г — — .1.. Подс1ащи) иос)!еднее ОВВ(')ктвО В ур!»Ви('нис. !Кь д.г дх Л)'*1ИК! д= д- «!х ,Г(х)= г —:д =: «1.! !( ) —: .г '!Нн!»тим. что в слу ще Г(с) (ге х о:Нш1юди»н уравнение яв)жчси уравнениен1 с ра«)д('ляк)щимися ие)н'.Менными (см, ирии» "р б.,'1), х(1 + у ) дх — у!(1 + х ) «ду = О. д (!!И)дим НОву)О ())ункцик) ' =" —.
'!О! (а У дх +х — —: —. + 1Йс: дх ду — '- = —. 2х+ у. »!х д к!в — '= » х. х Полагая; = 2:г + у, получим 8.6. Линейные уравнения первого порядка «!д де, «1х — †.= е ..(-'), д;г дх «!х ,'!!и!» Йиь!и дифференциалы!ым урш)неиием первого иорядн» на и)ва(. г(я уравнение, лине!и!Ое о» носительно не!г)вест)к)Й (!)УИКЦИИ И ((1 ИРОИ:!ВОДНОЙ, Т.
Е. ИМ('.!ОЩЕК) ВИД «1= — — — — дх: х.+ 2 ду — + Р(х)д =- ()(х), »)х + 2 = Сс': 2х + д ==. --2 е Сс; у =- Сс' — 2х — 2. ):!» Р(.г) и Я(х) будем считать непрерывными функциями иере)я иной:г в той области. в которой требует»я ироиит(трировать р»виение (б.й)), Если Г!(! ) = О, то уравн( ние (б.й) ньс)ыва»)вся «(ии» !»Им.»! Одно!)Одни!м. В ли)н йном одиородиом ) рав!Ниши ду — -! Р(х)у =. О д«г »» р» ьи ши«и ра!делян)тся: ду — ' =- — !'(х) «(х. д Ин!е! р1ц)уя.
НОлт )веки 2ОО Потеишц)уя, иолу !Им равенство )у! =- Се)х» (гдк СВ > О), которое.эквивале!пио равен(тву у = хС(ь)' или у — — Сх, !Тде С может ириним и ь как положительные., так и отрицательные зиа*и!и!я. К1К)ме !Ого, !О)и д»втении на д было иот» ряно )ни!ени(1 у = О. Почтому общее решение данного уравнения у .== Сх.
причем С иринимает любьи" значения. Разделив и( ремеиш и ( интегрируем хдг Г у Г (ду= -.,: „à — — г,!у-„Г- .-С,: !+уй ' 1+х-' 11+у' 1 !+. 1И('1 + д ) == !Н(1 + хз) + !и С; (1 ! уз) = С(1-! хе). Разделяя исрсмсииые и интегрируя, иолучим !и !х + 2( .=- х + 1и С)1 /х + 2! =- С! «": )д(" С МОЖ()т иринин!Вть как НОЛОжительньи), так и Отрица!Н)!ьньи. значения. Кроме того, ири делении на + 2. было упущено решение х + 2 =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
