Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 44
Текст из файла (страница 44)
7.! ). <(асти*и!ы1 (умма 1>ида >и будет равна и.!Ощйли той !а- <-(и стуи< ичйтой фигуры, которая рая полвгж'г<я пад итре;и«ом "1, в + 1!, и ил«>ии>зв вс(й О("скок(*чиой (туи<'и >атой «)>иг1ры буде! (Ов!шла! 1* с < уммОЙ ряда. Докйжс>! тсиерь слслукипук> т<юрему. Теорема 7.15 (иитегральный признак Клан!и).
Пусть за>.х дйи ряд < >юложит(лып*ши !левами ~ а„и функция <(:< ), » ! 01Ц>сд(вюиийи ий пО>1уо<'и (1, +.'х ). При'и'ы выиОлнякл'ся с,>!слующие условия: 1) Д») >юир( рьии<й >ш 11, +зо); 2) <<(!) . 0 ий )1. +с:): 3) >г(,г) мопото(и!о убывает ий (1, +:,х ); 4) Ч и 7(л,):=. о„. Тогдй ряд 2 в„<.ходите!1 и !Ом и .>ольке в >ем с.,!Ю!йс., ко!Сцй. »=1 Док(ь><ил<в!1 с>йво, Д< йствительно. иу<'и, втщале сходится ряд. Тогда, если обозначить <>го частичньи суммы крез А„, а в< !О <3 мму ч<Й>(>з А, то, кйк было иокй;>йио рйиес, бу;!(>т вь(волияться !!< рай<>1!<ТвО 'Ч и =--х А„.=.
А (7 2<)) П<к !роим и и<рь н! О<и Ог к!к ты<ни !о<! р!и(х <!«вен! ! 'ту!О <)>игуру, изОбрй>как>шу>О ряд, и >цм>в(едем !'рафик д ='- )(») (рис. 7.2). Рассмотрим функцию Поскольку )'(,г) > 1), то (7.30) возрастающая функция. Эт!з фупкция числеино раева площади криволипсйиой трапеции, 1з(«иолож(>ш!ОЙ иол графиком !7 =-.- 1(»') ий о>(я,>кс (1,Ь), Фиксируем Ь и вь!берем наименьшее натуральное число в, такое.
что и гз Ь. Попятив (<и. рис, 7.2). по криволши'йнйя трапеция <од< ржится виутри сту<н'нчатой фигуры, построешюй нйд отре:зком (1, и). НО площадь такой фигуры как рйз и равна части*шой сух(х>е А„! 1и(да. Площадь к)гиволиисйиои П><ии>ции ие превосходит площади обы млюшсй! ступ<>пчатой фш уры. «леловатези 1!«>, г у 1(*том (7.2<)) ириходим к и(>рйв«яству -., йи, Е(1) =-= 1'(') "х х 1 (11ЦФ1ОИИ и(')„ии и Л .— ! 77 -!в < у( г) А -' »»(') «(.г. 1 1 Пример 7.8.
гу — —, агс, ш —. .„.)п н 77=.! »" - —. Ягса)п— '„~Н и ')ПН и) или ) ( г) д.г + н). 1 Х 7ПХ' и .! (7 32) 1 П:г) =. --, 25'1 1 '1)) у„инни тиоряет иа иолу .. ). уоги !! . -глс! Теперь видим, ято ! ) у„о . " °, ). у а! ем углоииям ге))р1 мь а1 е, .' 1 7.14, Пег»на)у »1 г) 1(л сх»)дитея. По аго и оанаяаг т, пто,г( 1 ал ((»г) 1(лз Пер)— )бОР))т. СхО»гит1'я !И1гю')хал П»1"гЬ Г)1)М)РЬ, па1 1 ' ',' ') фи!'у )у на е. ф ..н)пи ну пл1"ао и иолу'! !Им к)тртида)ни и гтупеп ппук ф иу. и гображе)п)уго )ш рис низ ика ии„ин), что гтупеи*штая фпг ко)о к)1)раины, — а). Иелиыа, " 1оой 1 )аигеции.
По)т))му ш)рпидлиао о ).а1 т1"1 иу ) копией крин));)и)шйиой )ра)к ции о )17)х гледло пее нера гк нстио: 1 О 1 ~' ' ' ' но1 и ')асп1*ип1х1*1'ык! ряд : а. откуда Но (7.31) еязианает ограниченно! ныл ека)т его сходимоеть. : едоаат!, па сти)димо("1ьь О1шп и 1 Ттак)рь можно иссле,, -,, о)шп мейс"п)о рялош действительно)' )исло.
") - ) 1» (7.32) заведомо рагходитанапа. Ято при р: )) ряд )1,' '- с,, 1, и)ц))ип н и1)ООхОдимыи и)и11 ся, иоеко)п ку.здесь) . °, ., Ири « н„-)- 1). О. Расс м)прим фушспию Пуеть )е)шрь р . а ,:йшко иид1")ь, по зта функция удое)к ч яоряет леем требованиям юпе)'ральпо)м признака Коши. Значит, а данном елучае сходи- кюсть ряда (7.32) рааноеилыш гходимостн интеграла По иитегрьм)(7.13) 1)кг был И11)ледники иа схо»!Их)7)с) ь при и )у и)- пии )к'с1)бе геенн))х и)пегралоа. У')иг)п)ая 'но„)ц)ихО;)пм к Окон- еательному р)г)у.и»гагу: 1)лг) (7.32) сат)д)1)пел нри р > 1 и рп)г:177)- 1)п)н1)а нрн р "." 1. Оте)г)да, н )агтиогти, следует, по ряд -1. 'х: р)1»7) ра) хо;опся.
а )тяд '~ —., сходится. и Ряды, )адаааемые 7)х)рх)уои)11 (7.32), образу)г)т шце один ст)шдартный набор. ко горый можно 1лснольз))иа) ь при исг»)едоиаппи рядов на сходим ость. 3 -- л 1 .=ь х — т сходитси =' гходитсЯ и данный РЯ»!. 77=1 )7 7.3. Ряды произвольного знака В ятом ио»)ра7)де)к) будут рш смотрин) ряды. 1:и нь) которых имск)1 ранньн' знаки.
Памегим ана )а ик )то. егли нс) *)л1 пы )тяда Отрицат) лы)ы,-го, умножая их иа ( — 1), отчепх как изаг етио. сходимос п или раеходимог ть ряда ш) ме)н|е)ся, получим п)иквкительный ряд. Если у ряда, им)к'т("я тОлькО к»льекно)1 милн От)ин!ат).льиых *1»пеппи, тО, 771.6РО»ИВ их. 1ИОВа придем к пн»к)ягит()льнОму 1)я»1)с Аиа.:Пни 1- по Обс'н)ит дюп) для ряда, у кйто)я)ГО икнх'тея тОлькО кОП)пи)01' 'И1СЛО !ГОЛО)КИТ)7ЫЫ)ЫХ '1. Н)ИОВ. )а., =- <) ,": (а„( =- . а- а„>- (а„( Гд(' а,', (7 34) Ка' а„— ~а»)( ('д('.
а, .х ) ->" 'х. а„. 1):- 1 (7ь36) «1, == а„+ «„. 1(.ром(. того ясно. по Э ) х О. если а,» =-. О; «.„, ес>!и а» с ', ~и„, ((з!и «„Ъ О: ( О. Осли а„х. О. » .х; (- )х х' а„=- Э а~+~ а,, в (7.37') величин а„ (7.36) (7.36) 255 (»чц(',ГгпсннО !Ии(ым бутнт сч\" (ай, кОГда у !)ядВ имее>т(я (и('- к(э!ю'пн) МИОГО как пОложителы)ь(х, так и От!эинат(л! ных чл(ь пов.
Итак, пьсп эа„(аи ряд ) а„с чл( нал(и ирои.!воль)юго зиах .1 ка. Введем два новых ряда О и;видно„справ(гдливо !)авенство '1 аким обр>с!Ол(, ряд (7.34) пре.;п>тавляет собой сумму всех полижи!()1ы!Ых !)н ИОИ исхОднОГО !)яэ(а, а !)яд ((, .>) Гул(л(у ,35) ( умм всех е( о Отри((а'п*лып !х ч:и"нов. И.!в('ство, >то сходящн(ся ряды дел>гтся на. Вб(о>ног(!О сходяшн(ся и (тл(>в)(о(ходянпися. Выгк ням. как Оп!и"пьаб(опотнук> схо;(им(хчгь в терминах рядов (('.34) и ((.3О).
Теорема 7.16. Ряд ! а„аб(олкп.но сходится то>да и только >»:.= ! то!Да, когда сходятся оба ряда (7.34) и (7.35). ()ля а(хо;потно сходя1ПР1 Ося ряда сп !)авг '(ливО !)а>и'иствО Дак(лэа)лез!ьсп>ва. Д(ис!'ПитРлыю. и:! ОН1)еэ>елшп(я и а 1ю!1(д)и'.1шО с. юдс!О! сООп1ОИ1е*пия >а,', ( < '>а„',; (а,, ( " (а„(; (а„( =- (а,', ', + (а„' >!. Пусть ряд абсолютно сходится. '1огда н силу (7.36) но первому —.' "х ' х, признаку сравнения сходятся ряды ~ ',а,; ( и г. (а„!. И(э х=! »>=1 Отпода следует сходимость рядов (7.34) и (7.35). !!уст>ч обратно, сходятся ряды (7.34) и (7.35). В (*.илу (7«!О) то!да сходятся и ряды ! (а,', ! н ~~» (а,,(.
откуда, учитывая а=1 » — -! (7.39), выт(кае! сходямос!ь !энда ~ ~а)>(. '!То каса(т(я рав(!яства (7.37), то, вспоминая простейшие свойства ш( ловых рядов, ( ра)у получим сп> из (7.36). 1'а(сл(отрил(, канис (н>е позл(ожны вариан!ы. Вели один из ряз(ов (7.34), (7.35) сходится. а другой расходится, то данный ряд расходится. А вот (юли оба зти ря(га ра(.ходя (ся. то дгп>ный ряд либо расходится, либо сходится условно. Опредслигь, чтб име('1 лн!СТО на (амом де.нэ наибо:нье сложная !(ээ(н"!а. , (э!я что!О .(Окаж(эм ( >цс Один ири:ии)к.
11!хдвари!( лын) дадим ГЛЕДУКЯПОЕ ОПРЕДРЛЕНИЕ. Определение 7.4. Ряд называется >нако и(рсд!!низ(н исл, если с каждым сле>д)'к)>цим нОлиэ!)Ом и(Вк чле'е(а !и!да мш!яег!Гя на противоположный, 1аким Об!)алом, у:П1акО'и'реч!ук)щ(Ч*ОГИ !>яда 'нэ!)едОИВние !Иаков может быль либо таким: +. —, +, —, +, ..., либо противоположныл(: —, +, —, +, —, ...
В('лн, наг!рих!Р!э. )" ряда ид)'т два неи „южит('льных '!ЛРна, НОтОМ диа Ог!)и((агесн н! !х, НОтОм Опя!Яь два положительных и так далее, то такой ряд не подходит нод оиреде:!ение 7:4. Теорема 7.17 (признак Лейбница). Пусть дан ряд ~» а»о » ==1 Причем выполняются (!Ледующие условия: 1) ряд знакоче!х лу>ощийся; 2) но(ледовательность ((а„() мо>ютоппо убывает; 3) !Ип а„=- О, и -.х Тогда зтот ряд сходится. )(Оказ($>$1('.4ь«'з)1(10. 110"!!*мех!»0$Я «)$$1)еле»$(>$(пост!1 слу'(вй. кОГда.
1»Я»1 1(а'$$1$$>!С!С«Я С НСМРОЖИТЕ.И 1101'О '1»К'На., И «6(ХЗР(а'!!!а( ЧЕ'Р('.! Сх ък)дуль и-$ о члена: с „- — — Рп„,'. Т«)17$(з в развернутом виде ряд зани ! не тся (чи дъРОП(им ООразом: 17.41) с 1 — с'> 1 (.',1 . - С,( + Рж"смотрим шечи"Рньиз суммы ряда с и гш !Ми номерами .«>Вь. 0ни Образ> кн* некоп)рью 1К>В!по(Тихи)ватечп ность ИОс.,к ДО!За, тс.п П«ятп ВСЕХ Чаетн ШЫХ СУММ. ПРЕД(сваВИМ Каж !У!О ЗВКУ(О с'ъ ммъ' дВЗ'мя С!!О('«)бам!!: ,чвз.
= '(сз — с)) + ((;1 — г() 6 - ., (Свь ! —. с,з.) (7.42) И '.101; =-: 01 — ('> — сз) — . — (свь з — св1..$) — свь. (7.46) В (.'илу МОИО)'0$И(ОГО ъ'бьЗвания с» вьц)ажсни(' В квжд()Й скОбк«' в (7.42) положи и. 1$ьн«).,'ЗРза ип. с' уж;.Иги пнем колпчессва п>ких ( кобок вели Рина (7Л2) во.зр и гает. Ина*п, суммы »' 1. Езбразуют монс)тонно во зрастаюпРук) послсдошп с*льнос"! ь < О( « ... ,'» 1 < . В силу той ж«1 моРютонносс ги и положительности с„из (7.43) с лс ,Руст, !то при любом А «>'ВЗ .' с (7 46) Соотношения (7,44) и (7.46) озшшают, Зто пос»ич(сиз!1>ЕМРь((ость монотонно возрастающая и (и рани ичшая. 11озтому но Репрев!( ВОЙС(иптрас(вона вм(1Т! Нрс»з(МЗ (7.-16) (ш) 6> в == .'>.
1'вссмотрим теперь суммы с нечетными номерами. »1(«1$0. что '>ВА'! ! ' '>ВВ + Сззз»1 (7.47) 11оскольку по у(чювиРо члены ряда стрем>птя к ну, ио, из (7.46) и (7.17) следуч т, что 1(ш,(>вь( $ =-,(». 1-:х: Итак, чвстичньи суммы с. четными и нечетными номерами стрс' мяпж к одному и гому же числу .'>', а носк«мысу зти сумм(*1 нсчерпыВАРОт В(',к> НО(ми'д(ни)те!Ль$ю("!'ь О»«. Отсюда Вы ГОР(вс'$, 'ЗтО 1пи 6„— — хх Виачит, ряд сходится. В кап с)вс; иллюстрации рап мотрим ряд 1 1 „! 1 — — т à — +(-1)»- + .46) 2;1 ' н Если в Зя и* со(>тветствующий ряд п) мо Зъди Й. т«) получим гармони'некий ряд, коЗОрь$11 1Н«схол1П(я. Одпак( . «Чзх1 ря)$ (7:'!8) удовл('1 воржт Всем ус»Ровня)! призш)ка, 1( йбнпРи и.
лилит, (хо,!итси. 1вким обра к>м, 1»и»1 (7.1>«) зго ъсло)ЗЗН> схо(ящп)ия ряд. Ряды, >Поилегворяющпс Рктм уссювиям т(о!Ямы 7.1 . ш)лывакп 1)л(1(м(ч»7(. (161!(НЗ(х 1астО мОжнО ъслыншп, ч>«) щ)!с!!(ак,.((ЗЙОни1(а В»О признак условной с хс>»11(КЗ(кти. 16) 'п.о не в( рио.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
