Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 26
Текст из файла (страница 26)
'(О(дн „')Л 1йи —.-.. -- ! (.г«! '5 .33 ..ХХ и ь«в ГГО1к ме и ( ия )и иреж . «)н (. <к < к<)1)е «!о мг. И(ми 1«)лу 1им Л(3 — =.= (''(х(3! -, П(ль(у). Где 11)и х(,ЬЯ) = 3). (4.7) <лх аэ -« Умножив Об( "ии-п) )иик нгтна (4.71 иа Лэх полу«им (4.4) с Л вЂ” —. == 7 !.го), гхэ. )(э ! Оказываегея ди<)вф<'ре(ии(1)у<мой и гонке хн, 'г!о н 'эан(рн!а(3!',1окалапу!ьсп3о. "1еорема 4.2 поэполяег. и '!а(ти(в(-г)!. 3«но)их)о!<а!1 гермии ялиффе)в(эиц!!руссос(ь н пвнкеь как сии<вины (уи!ест!)о!33(ния ир(иыиолной н агой ГО !К(ь Откн-т)!К), по и Процесс< локан!)телье)па, теорск!ы усгаиоилеио. 1го коаффици(ип Л н (1.4) (' 13(О()коэи(мо(ть!О ()О!)и(гии(ет с )'(.Г(1). О)на'13(т, Лнффср<НП(ИПЛ())3 ИРИНИМаст НИЛ ((у .=- у~)'х(3')<лх.
Но х мол(но (ли гма! Рина гэ, как (ас(ный с !у !ай .(ин(йпой фу нинин, а тогда (н о ирнраэ пение соппадаст г дифференциалом, т, е. прихолим к гле.(уквинй формуле 13)я ны <и«лепин диффереи))на,)1а: Й) -- (Э'3(йэ' ()л1) ()р .11(а'ип; н«!раж('н)п' "- 3«)ЖИО ПОни!(а Гь и( и)эО<'тО как друг(м' <(.г об(пи!ни ни< !(р(эи н<(элно!31, а как обы эиу(о 131)<х)ь. Таких! Обр!К)ок(, ИРО1(ии<н3ная Функ!г!(и 13 ТО'пи* Риги(а Отиоэи("и!ног(нффсрпэииала фэ:нкцин к диффе)н иц)н)э!у (31)гэ м<'!па. 11рип(д<'и Г()ом('Г)эи'3! Гктк) и<пе)и()к'Гаэгикв уц)((к!)('1)<эи)(ирэемогтн и го !ке. „13!3! Ято! о ргктмотрнм график функпии 1(3:=- Д.г) и Окр(етности го !ки М(), на когором изображены наклонные ирямьн".
проходя!цие и"ре" то*.!ку (;ги. <йв)1, г<нэ эй) =-- )'(гп) (рис. 4.1). )5'раин(и!ия таких прямых можно:ии)игам н вид< У УО ' '1(эс хс) ! )н А прои:(нольпый к<взф()ин!)!е!3 !э у!и уп =- Л(х хй) ! о(!л!'!. у,г у!. =.= о(!'х) (4.13) Ук Уй =-' э1(-'г. 1:е). У!р — У! =- о(гл!'). Нюзовем касотцйьня! к графику й ! о !ке хн прямую (4.9), тйкую. что рейно!"ть ординат графика уп, и этой прямой д„.
есть о(Ьх) прн Ьх — О. т.е. (1, 19) Виоугцп но кйсз!сльпйя это тй и'! Прямь!х (4.9), ко!чй>йя йнйнтгсней!пим обрйчом» п1н!;и мн"г к грйфику н (укро! тпогти точки х!! (! и. рпс. 4.1). Дсжйжеы г! перь !.,чедуюшкв георему, Теорема 4.3 (о геометрическом смысле диффереицируемоети). 1. У графика функции у == ф(.г) пкн.етсг! кис ытльпйя в точк! хо тсндй н только тогда.; когда функция дифференцнруемй н этой то*!ке. 2.!(асйтельпйя единственна, ц е! урйвпение имгют вид у -- уе =- .бхй)(х — хй) (4.11) , (окна!гнгицп!!.!гц!о. Пуси ннй !йл! ) (.! );!иг(!ференпнруе~й и го юке ха, То!гцй спрйведлнйо ! оотношепне (4А), которое шпишем утр — уй == .4(х — хо) + о( 'гг) (4.12) Отбросив н (.1.12) сено.немо! о(Ьх), полу п!м урйвненне прямой (ординйгу коп>рой обоншчнм у„); П!жйя!ек!, по это косам.п,ная в то !ке хо. Лейс!вительно, после по !ле!шого вьг!нтйз!ия (4.13) ип (4.12) иолу*!им Ъ~г! !ит.
(4.13) э го урйии! ние кйсйтельной. 146 О!6!рагпш пусть у !.рйфпкй у:=- 1(х) икнются кас!ччелышя и то'!ке хо„они!'ынйемш! урашн ншьм (1.13), !де 1 и! ко!ор!и шсло. Олоькш! (4.10) н (4.13). пог!у шм: т. е. ! !ютнонн п)и (4.4). Л это и о:шй шст диффер! йцнруемооп; ф(.г1 в го !к!" ай. Кроки "пн.о. !нсгю Л н урйвненин (1.!3) окй сйло! ь равным коэф!фициснту й,гиффер! нциа н ду., ко!орый, кйк н н5е! тно.
рйн! н г ( го), 1 й киы об)ксЗок!. 1 рйип! нн! кй! й !! пылей !.' необкодимшггьк! нрннимйет нн„! (4,11), что н,юкй;!ь!шн" г нгоро! утнерькдепие теоремы. И Прн ерш!ненни урййнепия к иатглыюй (4.11') с опргдглеш!- !'м диг()ф!г1н',нппькчй як!нкпо он и!'г!и ь.:и'и днгргрерсн!1н!!!! фУнкцин у =- „1[.!.) и пшик! .гй !.аннпдаг'!и "нуа1лн!1гпнгй! ардона!лы ко!отельной к !!г "рафику о хп!о!! )шгчке. 'реорема 4.4.
Пусть функ!гпи и(х ) и ! !',г) днффер! нцируемы и !о'!и! хй, 1ог,гй функции 66!(.! ), н(.г) 3 !(а ), «!,! )! !,! ) тйкже а(х) ,гифферепциру!'мы в этой точке. Функция — ' — .,«ифф!'решшрусмй в точке,гп при лоно,нштельпом условии а(.!н) у:. О. Прн этом в то !ке хп нынолняк!гся с и лующ!и шют !юц!ения: 2) 1н:1. ! 1! =.- и':О гай' и г — нг г а Доьт!.инггсльсн!гю. Дсйстни!е.!ьно, пу<чь у = 1'и. 11!г,ц! Лу:=- у(г) — у(хо) =-- ! "н(х) — С,'а(х!!) .:. « '(и(х) — «Ого)) —.
('Ла. Переходя к пределу прн Лх О. полу шм Лу «'Л!!, Ла 1нн — '- =- 1нн ------ .=- 6 1пп — — =- !.'и . л.! й Лх Л» -й Ь.г Ъ!- й !л.! 11ус!ь да.не у =-. и:1 г, то!дй Лу .=- Ла -1. '~! и -'~у 1пн — — .=- 1пп — ----- — — =-. 1по — -. + 1нп ---- -.— а'+ г'. гь!. -и !~ г л.! й см!' и.! л! л~.!' и!' а нм!' Пусть теперь р — -- ио„тогда и, соотве н твен«ю, Откуда ««олучаем Лй Л(! !пп -- — ' = 1пп — «)(хо)+ а -.о Лх а. --о(зх ! с' (йо) =- —,' '; Х'(хо)' (4.17) нлн, болсе наглядно (4.15) 151 ,(х) = и(хо) + »5п; '( ') = )( 'о) + (5«' ()у — -- (н(хо) + Ьи)(п1хо) .+ ~ьо) — и(хо)о(хо) =- .лгпг((го) 1- ((со)ло + л«(л . (Ь г (хи + и(хо) 1ып — + (пн — )пп а» .
О лп!' 5» 0»зх .ъ»' — -о 110 и) ди())ф(ре«п()й)5(гк«(ю«и ((х) в «о )к() .го в«гг«екьн т ьк) н( прерывность н этой точке, т. е. Оо(ггнопн'нне 1пп Л((:=. И. Учил» вЂ” 0 тывьо! это. и;) (4.14) полу шм требуемую формулу. о Пусть, наконец, у =-. —, 'ныгда и' а [ хо ) + (( н 'о ! хо ) ь н(»(го ) — и (го ) ь() 'г!»О) +»А»п 0(хо) о(го)(г(хо) -«лг!') Пе1к)ходя к пределу при (зх - О, получим 0 . Ло — !'(хо) — п(хо) — —. (Зсг „(5:!« гь - О Л.«;ъ:.-о «)(.го)(с(.(о) + (5г) и (хо) ( (хо) — и(:го) 0 (:го) 'о(х ) Здесь вновь воспользовались нспрерывп(к)тьк) !'(,г) в точке хо. ° Теорема 4.5 (правило дифференцирования сложной функции). Пусть 1) 1 (и) диффгренцируема в точке но,.
3)» (х);(иф( ( енин )я(хш в )о~«ке )х)х'1х)н ц«(русы а в точ- 3) й(»)о) =- ао. Тогда(ложная ())уцкц«н! Ых) =- ) (7(х)) ди( КЕ:Го Ы у (хо) -'=- ! («(0)()д(хо). Дох)а.)ап«с)«ьс«!«0(»... 1('йсз вит(льне, о силу диффе1я)н(пй)«емости Функ«!««и;(! =-,1 ',.! ) ,Лй = „('(.го)Ли+и(«3п)Ьп, гле (нп а(Лп) =. О. (4.16) аа- О 3!«х«(г«ик«, по нз (4.16) н("льзя определить зыа кние а(Ли) при Лн = О.
Каково бы ни бы к) это значение, равенство (4. !6) останется сирано»ьоипык!. Пулем счнгаттч что а(О) =- О. При этох« функция (((Ьп) б«щет непрерывной в н«е(е. Положим г(перь и = 7(.г), Тогда Ьп =- »(.г) — (О( )о! =- (()( !.о 4 (зх) — (й(.го).
1»ьс)делим обе щ( ! и (1.16) па Ь«и устремим Ло к нулях Л«(», Ьп,, Лп !пп - — -- з (но) 1ш) —. + )пп и(Ьп) 1«ш а»-"0 'х »х» О Ь;!) а» О а» - -0 Ь.г В силу непрерывности (1)(х) н точке хо, которая вытекает из дифференциру(*.мо(ти. !ш! Ьи —.— О. но то«да и )ш) а(Ьа) = О. От»»» -О а»:--0 куда н получим (4.151. 6 За»нечан((е, Б(ыи оаг.гядпо, но менее го 0(о, раве«к"«00 !'4.15) меж«0) зйпн(тггь «5 вод».' й, == «!'„0». Теорема 4.6 (о производной обратной Функции).
Пи)ть функция р = 1(:г) непрерывна па )йи)межутк( (а, Ь) и строго монотонна ш( )я)м, !«пу(п в (гекоторой '«о«к() хо С *(0.,5 (т«це(«твует 1 (.) 0) (-' О. То! да у обратной ())1 ик«(ни х =-- (()(ф) сущ()сз ву()т про«к«под!«!«я (()'(у(о). (0(е уо =- Пхо). причем 1 'о" »' (Здесь нод симво.к)м (о. !)) понимаем промежу!«Ок прои;)вольного вида.
отто може г бьп ь отрезок, иптерва;!. (н ь, полу(к ь и т. и.) Дока«а«пс»(ьст(«о. В самом деле, в силу теоремы об обрапюй функции (см. теорему 3.34) при данных условиях существует !«ен1я)р! «в!«ая и ('тросе моно««)ш«а)«об!тат««ая ц)ункц)«я х =- ((»(й). Возьмем точку йо и дадим д приращение Л««, то«гла »л«!«1 ~д Лу' ,Л.»« '.).х 1 ам»»-с) лд, ь)д )'«(с!«О) 1пн „.') х Ьд и'" 'л" - а'" Ов! — ' .=.
!))и .Ьт — О»Л,!' ГЬ«" - О Ь:«* 2, (и")' — а' »л:! 7 «лх'( 2ьш - — — сои .га + —- а«.— е Ь.!» и ".3дс)с)ь сели Ьд 7'= О, )о и»л«!«ф О и силу с:трогай монотонно!"ги функции х — -- с()(д). Поатому нреображ>ванне (1.1«]) законно. 1)си- лу нс)прерывности «л(д»), нри «л«» — О и Л:г --, О. зн«шит, ч'!'о и «и)кизывает у гвс)ржденпс! )««орем!«!. 4.3. Некоторые вычислительные формулы 'габлиг(а ))1»оизводиь»к ( л)'-- и !.
" (.,]« сои х 1 »1. (с«!)(» )' =- — — —,—: и)п а' ;1. (ах)' =- ах]иа; 9. ]агс)бп«в)' =— Л --:!' 1 4, (1пх)' =- —; 1О. (агссокх) =---- х ь 1 --;га 1 о. (и]и х) ==- сои.»-, ! 1. (и)с !Й«х) 1 + та' б. (сои.г) == — в]п«г; !2. (агсс(кх) 1 +.га Зсьиечаиие. Приве»(сии).«с! формулы сприисд;швы там.
где с"у)ж сгву)от одиои(и минно левая и праиии исти соотвогс"! иусопщк равс',нс«тж Докажем си!>аведливос ть формуш ))риведс)иль!к в таблице. ° Форждла У. Рассмотрим вначале функции> д =-- х". где и иа! у1кы«»ы)ос чис»кь Возьыс)и! ирои)во»)! иуи) )очку хо и дадим хе приращение».')х. Тогу(а Лд =- (.!«С, + Л.г)и — .«:!) =- )сх,'~ ' л)! + (Л ) сад „..
! . о(«лх) !Ни — = их!) + !)ш — — — =- и:гс! ли" о «З,х Лх--о»лх 1ак *по формула 1 снравс ллииа при и с: !)]. Пусп теперь и цело! отрицательное шсло, тогда / 1 )с 1',г " — (-и).) " ! 1 !. -«««.-2«« . ии! х 1ак что формула 1 справедлива и в лом слу сжь (..'правел:швость формуль! 1 в обгцем с:лучио .сс)кажем чуть ° ФО1)с)1»))с! 3. высмотрим д =: а", выбс'ром ! очку .го и дадим с',Й прорвав;)псе»л«сз ')сида «!' > — 1 о лог1н о =- а'"" !пи — — -- — -:=- а'" 1)ш — — — =.
и'"1на. л.« -- О Л.!«л« — О»Ьх '1 ем самым ос)с)саги!ила с))орасу, и 3. ° Формдла д немсд;и нш) следует из форму пи '.1, если но, и>- жить о, '= с. Формула ф !*ели д:==. 1н х, то х == с", и по правилу 1':1.17) находим 1 ! ! (]ох)„=. — —, 1«р)« и Фораид:ш 1. 1« верь можно дсжиа)! снраведливос! ьформуль! 1 дли лкйо! одейссви»ельного р и.г . О. (х! ) == (е~ ' ) == «» * (д]о х)« = «» )и'р. — .= д «л . —. » «л" Х ° Форидло, о: функшю д =. и]в х.
Ржтмо грим нрслпво,«ьнусо 'точку хо и иолу')им Ьд )Йн(.! и «и и.:» ) — ии! хс, ]ш) — -'- =- 1]ш ъх — и Л.!' а « 'О «.),!« , Ь»! 1)ш — — "- 1ин с'ои хи + —. '=. соих). — Л.»«а« .О ' 2 l е Фарид»»!» 6 докажи п самос! оитс льва. е Формула 7( р =-. (,цх. Имеем с 3 Я!1! ': ( ТНХ); >К:! — К1! . ( ' ВХ)с ((Йх) = () = — — — — — » ('ОВ Х: соьа х ') соя х;+Вп)-'х 1 с<ж" Г СОВ Х ° Формрла 8 доказывается апй;югично формуле 7. ° О<эрму»(а 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
