И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

ггг пОнятие о тензоРА х Пусть г". и д — линейные функции. Их суммой называется функция гг, ставящая в соответствие каждому вектору х число ~(х)+й(х). Произведением линейной функции г на число а называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору х число сг((х). Очевидно, что сумма линейных функций и произведение линейной функции на число есть снова линейная функция. При этом, если линейная функция 1" задается числами а„ а„..., а„, а й †числа Ь„ Ь,„..., Ь„, то ~+у задается числами а,+Ь„а,+Ь„..., а„+Ь„а и†числами аа„аа,„..., иа„.

Таким образом, множество заданных в Й линейных функций образует линейное пространство. О п р е д е л е н и е 1. П усть Й есть п мерное пространство. Проспгранством Й', сопрязсенньгм к Й, мы назовем линейное пространство, векторами копюроео являются линейные функции, заданные в Й. Сумма в Й' определяется как сумма линейных функций, а пооиэведение вектора из Й' на число — как произведение линейной функции на число. Так как при заданном базисе е„ е„...,е„ в пространстве Й каждая линейная функция однозначно задается системой п чисел а„ а„ ..., а„, причем сумме функций отвечает сумма чисел, произведению функции на а произведение чисел аг на гг, то ясно, что Й' изоморфно пространству, в котором вектор определен как совокупность и чисел.

Значит, пространство Й', сопряженное к п-мерному проспгр нству Й, таклсе п-мерно. Если пространства Й н Й' рассматривают одновременно, то векторы из Й называются контравариантныл.и, а векторы из Й' ковариангпными. В дальнейшем символы х, у, ... будут означать элементы из Й, т. е. контра- вариантные векторы, а ), д, ...

— элементы из Й', т. е. ковариантные векторы. 2. Биортогональные (взаимные) базисы. В дальнейшем мы будем значение линейной функции )' в точке х обозначать черсз (г, х). Таким образом каждой паре ~ ЕЙ' и хЕ Й отнесено число (), х), причем 1' (г", х, +х,) =--(г, х,)+(г, х,), 2" (~, Лх)=Л(~, х), 3' (Ц, х)=),(~, х), 4' ()',+~„~)=(1„х)+(1„). Первое и второе нз этих соотношений — это записанные в новых обозначениях равенства )(х,+х,)=-~(х,)+~(х,) и 1()х)=Ц(х), являющиеся определением линейной функции, а третье и четвертое — определения произведения линейной функции на число и суммы линейных функций.

Соотношения 1' — 4' напоминают по внешнему виду аксиомы 2' и 3' скалярного произведения $2). Надо лишь подчеркнуть, чтов то время, как скалярное произведение есть число, отнесенное паре векторов одного и того же (евклидова) пространства, Ц, х) есть число, отнесенное паре векторов, один из которых принадлежит аффиииому пространству Й, а другой — аффинному пространству )т". Векторы хЕР( и ~Ей' мы назовем орогогональными, если (г„х) = О. Таким образом, хотя в аффинном пространстве П (в отличие от евклидова) нет понятия ортогональности двух векторов х, уЕ)с, можно говорить об ортогональности векторов из )т' к векторам из Й'.

Оп р е деле н не 2. Пусть е„е„..., е„— базис в И, и !"', ~',..., [ — базис в )с'. Мы назовем эти базисы биортогональными (азаимныл)и), если 1 при (=й ()', ~~)=! Ю „„(~й ((, =,... и). при )' Введем символ бь, положив [ 1 при )=-й [ О при (~й (' (3) Тогда У', г,) =-бл. Если г„, г„..., е„— базис в )т, то (1, еь) являются числами а„, определяющими линейную функцию гЕ й' [см. формулу (2Ц, так как ()", еь) есть другая форма записи выражения ) (еь). Р 2Э1 СОПРЯжвниое )двойствеПНОЕ) ПРОстРАнСтВО ЮЗ понятие О тензогкх 1гл.

ш Из этого замечания следует утверждение: если е„ е, . , е„ вЂ произвольн базис в )т, то в Г существует, и припюм только один, базис (', 1'„ такой, что базисы е, е„..., е„и )', ~',..., р" биортогональны (взаимны). Действительно, из равенства (3) имеем (1', е,)=1, (1', е,)=0,..., (~', е„)=.0. Таким образом, здесь заданы числа а, =- 1, а, = О,..., а„=О. Так как по всяким числам а, можно построить единственную линейную функцию, то (' определено, и при этом однозначно. Аналогично определяется ~' равенствами (12, е,) =О, ф', е,) =1,..., (~', е„) =-0 н т. д. Построенные векторы ~', (',..., 1" из )с' (линейные функции) линейно независимы, так как отвечающие каждому из них системы чисел а„а„..., а„линейно независимы между собой. Мы построили, таким образом, базис, биортогональный базису е„ е„ ..., е„, и доказали его единственность. В дальнейшем мы будем пользоваться принятыми в тензорном исчислении обозначениями, а именно, если в некотором выражении один и тот же индекс стоит один раз вверху, а другой раз внизу, то это означает, что по этому индексу производится суммирование (от 1 до и).

Сам знак суммирования Х мы при этом будем опускать. Например, ~'~), означает $'~),+Р'т).,+... +$"т~„. Имея в )т и )т" бнортогональные базисы, легко вычислять координаты любого вектора. Пусть е; и )' — биортогональные базисы. Найдем координаты 5г вектора х~)с в базисе ее Мы имеем х = 5'еь Отсюда (1', х)=Д", йе,.) -К~9~, е,.)=--Щ=$ь.

Следовательно, координаты $ь векпюра х в базисе е„е„..., е„вычисляются по срормулам ~ь (р где ~' — базис, взаимный с базисом еь З ЗЗ1 СОППяжВННОВ <дВОИСтВВННОВГ ПясотпдиСтВО 225 Аналогично получаем, что координаты т)т векптора Г в бизисе ~а вычисляются по формулам т);=((, ег). Пусть е„ею..., е„и )', )з, ..., у" — два взаимных (биортогональных) базиса. Выразим величину (Г, х) через координаты векторов ) и х в базисах е,, е„..., е„и ~', уз,..., )" соответственно.

Пусть х=-й'е,+Гез+ . ° +зве„и ~=т),1'+т),~з+ . +т).1"' тогда (), х) =(т),|'+т)з)з+... +т)„)", $'ег+й-ез+... +5"е„) =- = —.- ((г, ез) т)дз =- Ь*„т)да = т)д'. Итак, если е„е„..., е„— базис в К, )т, взаимный с ним базис в К', то (1, х) =ЧЛт+т~Лз+ ". +Ч.$", (4) где йт, $з,..., 'йч — координаты ведтпора хЕ К в базисе е„ею..., е„, а т)„т)ы..., ть — координагпы вектора (' Е К' в базисе ~' (з 3 а м е ч а и и е. Если е„е„..., е„и у', (з,..., )ч— произвольные базисы в К и К' соответственно, то у, х) =азу)газ, где ай=(р ез).

Мы видим, что во взаимных базисах значение (~, х) записываетси особенно просто. Итак, мы построили соответствие, относящее каждому линейному пространству Ю другое пространство, а именно сопряженное пространство Я'. Мы можем теперь установить соответствие и между пикейными преобразованиями пространств.

Пусть Км Кз †д линейных пространства и Кт, Кз — простран. ства, им сопряженные. Каждому линейному преобразованию А пространства Йт в йз мы поставим в соответствие линейное преобразование А' пространства Кз в Кт, которое определим слелующим образом. Пусть гзЕКз, кто Кт. Рассмотрим (гз, Ахт); при фиксированном зто линейная функция от хм т. е. может быть записана в виде (гз, Ахт)=(гт, хг), где АЕКз. Положим по определению /а=А')з. Получаемое преобразование А' называется сопряженным к А. Итак, если А — линейное преобразование пространства Кт в Кз„то ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ [ГЛ.

[ч сопряженное ему преобразование есть линейное преобразование А' пространства Ва в Кт„задаваеьгое тождеством (Ауа, хг)=(га, Ах,). Установим одно важное свойство операции перехода к сопряженному преобразованию. Пусть А — линейное преобразование пространства Вт в Ва,  — линейное преобразование пространства [сз в Ва. Обозначим через ВА композицию этих преобразований, т. е. линейное преобразование пространства Вг в Ва (по определению ВАх= =-В (Ах) для любого х~)сг). Покажем, что (ВА)' = А'В'. В самом деле, согласно определению имеем: ((ВА)'й х)=(Р, ВАх) для любых х~В и )й)[э.

С другой стороны, (А'В'[, х)=-(В'[, Ах)=(й ВАх). Сопоставляя вти равенства, мы видим, что (ВА)'=А'В'. У п р а ж н е н и е. Доказать, что линейное преобразование, сопряженное к А', есть А. 3. Взанмозаа[еняемость гг и гг'. В предыдущем изложении )г и )с' играли различную роль. Мы покажем, что они совершенно равноправны, т.

е. что все теоремы останутся справедливыми, если мы поменяем Й и )г' ролями. Мь[ определили )г' как совокупность линейных функций в )г. Чтобы установить равноправность )г и )г', докажем, что всякая линейная функция гр([) в й' может быть записана в виде (), х,), где х — фиксированный вектор из )г. Пусть е„е,, ..., е,— некоторый базиса)т и [с,)а, ...,)"— взаимный с йим базис в )с'. Линейная функция гр(Д может быть записана в виде гР([)=атЧГ+азЧ,+...

+а Ч„, где т)„т)„..., ׄ— координаты вектора р в базисе )г, ра, ..., у". Рассмотриьг вектор х„имеющий в базисе е„ е„, ..., еи координаты а', а', ..., а". Тогда, как мы видели в п. 2, ([ ха) =агЧ +а'Ч + ° ° ° +а"Ч, н, следовательно, раи— ж ()', Ха). $23) сопряженное (двойственноег пРОстРАнстВО хху Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными функциямн (р, заданными в К', и векторами х,Е)с. В(ы можем поэтому во всем изложении считать )с пространством линейных функций над )с', задавая эти линейные функции формулой (5). Этим установлено полное равноправие между )с и )с'. Ззьгетим, что при одновременном изучении прострзнсгвз и сопряжению о пространства мы употребляем лишь обычные для векторов оперзцин сложения и умножения нз число в кзждом прасгрзистве и операцию (й к), связыввющую элементы обоих прострвнсгв.

Характеристики

Список файлов лекций