Главная » Просмотр файлов » И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре

И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 36

Файл №1113352 И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре) 36 страницаИ.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352) страница 362019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

ггг пОнятие о тензоРА х Пусть г". и д — линейные функции. Их суммой называется функция гг, ставящая в соответствие каждому вектору х число ~(х)+й(х). Произведением линейной функции г на число а называется функция, ставящая в соответствие каждому вектору х число сг((х). Очевидно, что сумма линейных функций и произведение линейной функции на число есть снова линейная функция. При этом, если линейная функция 1" задается числами а„ а„..., а„, а й †числа Ь„ Ь,„..., Ь„, то ~+у задается числами а,+Ь„а,+Ь„..., а„+Ь„а и†числами аа„аа,„..., иа„.

Таким образом, множество заданных в Й линейных функций образует линейное пространство. О п р е д е л е н и е 1. П усть Й есть п мерное пространство. Проспгранством Й', сопрязсенньгм к Й, мы назовем линейное пространство, векторами копюроео являются линейные функции, заданные в Й. Сумма в Й' определяется как сумма линейных функций, а пооиэведение вектора из Й' на число — как произведение линейной функции на число. Так как при заданном базисе е„ е„...,е„ в пространстве Й каждая линейная функция однозначно задается системой п чисел а„ а„ ..., а„, причем сумме функций отвечает сумма чисел, произведению функции на а произведение чисел аг на гг, то ясно, что Й' изоморфно пространству, в котором вектор определен как совокупность и чисел.

Значит, пространство Й', сопряженное к п-мерному проспгр нству Й, таклсе п-мерно. Если пространства Й н Й' рассматривают одновременно, то векторы из Й называются контравариантныл.и, а векторы из Й' ковариангпными. В дальнейшем символы х, у, ... будут означать элементы из Й, т. е. контра- вариантные векторы, а ), д, ...

— элементы из Й', т. е. ковариантные векторы. 2. Биортогональные (взаимные) базисы. В дальнейшем мы будем значение линейной функции )' в точке х обозначать черсз (г, х). Таким образом каждой паре ~ ЕЙ' и хЕ Й отнесено число (), х), причем 1' (г", х, +х,) =--(г, х,)+(г, х,), 2" (~, Лх)=Л(~, х), 3' (Ц, х)=),(~, х), 4' ()',+~„~)=(1„х)+(1„). Первое и второе нз этих соотношений — это записанные в новых обозначениях равенства )(х,+х,)=-~(х,)+~(х,) и 1()х)=Ц(х), являющиеся определением линейной функции, а третье и четвертое — определения произведения линейной функции на число и суммы линейных функций.

Соотношения 1' — 4' напоминают по внешнему виду аксиомы 2' и 3' скалярного произведения $2). Надо лишь подчеркнуть, чтов то время, как скалярное произведение есть число, отнесенное паре векторов одного и того же (евклидова) пространства, Ц, х) есть число, отнесенное паре векторов, один из которых принадлежит аффиииому пространству Й, а другой — аффинному пространству )т". Векторы хЕР( и ~Ей' мы назовем орогогональными, если (г„х) = О. Таким образом, хотя в аффинном пространстве П (в отличие от евклидова) нет понятия ортогональности двух векторов х, уЕ)с, можно говорить об ортогональности векторов из )т' к векторам из Й'.

Оп р е деле н не 2. Пусть е„е„..., е„— базис в И, и !"', ~',..., [ — базис в )с'. Мы назовем эти базисы биортогональными (азаимныл)и), если 1 при (=й ()', ~~)=! Ю „„(~й ((, =,... и). при )' Введем символ бь, положив [ 1 при )=-й [ О при (~й (' (3) Тогда У', г,) =-бл. Если г„, г„..., е„— базис в )т, то (1, еь) являются числами а„, определяющими линейную функцию гЕ й' [см. формулу (2Ц, так как ()", еь) есть другая форма записи выражения ) (еь). Р 2Э1 СОПРЯжвниое )двойствеПНОЕ) ПРОстРАнСтВО ЮЗ понятие О тензогкх 1гл.

ш Из этого замечания следует утверждение: если е„ е, . , е„ вЂ произвольн базис в )т, то в Г существует, и припюм только один, базис (', 1'„ такой, что базисы е, е„..., е„и )', ~',..., р" биортогональны (взаимны). Действительно, из равенства (3) имеем (1', е,)=1, (1', е,)=0,..., (~', е„)=.0. Таким образом, здесь заданы числа а, =- 1, а, = О,..., а„=О. Так как по всяким числам а, можно построить единственную линейную функцию, то (' определено, и при этом однозначно. Аналогично определяется ~' равенствами (12, е,) =О, ф', е,) =1,..., (~', е„) =-0 н т. д. Построенные векторы ~', (',..., 1" из )с' (линейные функции) линейно независимы, так как отвечающие каждому из них системы чисел а„а„..., а„линейно независимы между собой. Мы построили, таким образом, базис, биортогональный базису е„ е„ ..., е„, и доказали его единственность. В дальнейшем мы будем пользоваться принятыми в тензорном исчислении обозначениями, а именно, если в некотором выражении один и тот же индекс стоит один раз вверху, а другой раз внизу, то это означает, что по этому индексу производится суммирование (от 1 до и).

Сам знак суммирования Х мы при этом будем опускать. Например, ~'~), означает $'~),+Р'т).,+... +$"т~„. Имея в )т и )т" бнортогональные базисы, легко вычислять координаты любого вектора. Пусть е; и )' — биортогональные базисы. Найдем координаты 5г вектора х~)с в базисе ее Мы имеем х = 5'еь Отсюда (1', х)=Д", йе,.) -К~9~, е,.)=--Щ=$ь.

Следовательно, координаты $ь векпюра х в базисе е„е„..., е„вычисляются по срормулам ~ь (р где ~' — базис, взаимный с базисом еь З ЗЗ1 СОППяжВННОВ <дВОИСтВВННОВГ ПясотпдиСтВО 225 Аналогично получаем, что координаты т)т векптора Г в бизисе ~а вычисляются по формулам т);=((, ег). Пусть е„ею..., е„и )', )з, ..., у" — два взаимных (биортогональных) базиса. Выразим величину (Г, х) через координаты векторов ) и х в базисах е,, е„..., е„и ~', уз,..., )" соответственно.

Пусть х=-й'е,+Гез+ . ° +зве„и ~=т),1'+т),~з+ . +т).1"' тогда (), х) =(т),|'+т)з)з+... +т)„)", $'ег+й-ез+... +5"е„) =- = —.- ((г, ез) т)дз =- Ь*„т)да = т)д'. Итак, если е„е„..., е„— базис в К, )т, взаимный с ним базис в К', то (1, х) =ЧЛт+т~Лз+ ". +Ч.$", (4) где йт, $з,..., 'йч — координаты ведтпора хЕ К в базисе е„ею..., е„, а т)„т)ы..., ть — координагпы вектора (' Е К' в базисе ~' (з 3 а м е ч а и и е. Если е„е„..., е„и у', (з,..., )ч— произвольные базисы в К и К' соответственно, то у, х) =азу)газ, где ай=(р ез).

Мы видим, что во взаимных базисах значение (~, х) записываетси особенно просто. Итак, мы построили соответствие, относящее каждому линейному пространству Ю другое пространство, а именно сопряженное пространство Я'. Мы можем теперь установить соответствие и между пикейными преобразованиями пространств.

Пусть Км Кз †д линейных пространства и Кт, Кз — простран. ства, им сопряженные. Каждому линейному преобразованию А пространства Йт в йз мы поставим в соответствие линейное преобразование А' пространства Кз в Кт, которое определим слелующим образом. Пусть гзЕКз, кто Кт. Рассмотрим (гз, Ахт); при фиксированном зто линейная функция от хм т. е. может быть записана в виде (гз, Ахт)=(гт, хг), где АЕКз. Положим по определению /а=А')з. Получаемое преобразование А' называется сопряженным к А. Итак, если А — линейное преобразование пространства Кт в Кз„то ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ [ГЛ.

[ч сопряженное ему преобразование есть линейное преобразование А' пространства Ва в Кт„задаваеьгое тождеством (Ауа, хг)=(га, Ах,). Установим одно важное свойство операции перехода к сопряженному преобразованию. Пусть А — линейное преобразование пространства Вт в Ва,  — линейное преобразование пространства [сз в Ва. Обозначим через ВА композицию этих преобразований, т. е. линейное преобразование пространства Вг в Ва (по определению ВАх= =-В (Ах) для любого х~)сг). Покажем, что (ВА)' = А'В'. В самом деле, согласно определению имеем: ((ВА)'й х)=(Р, ВАх) для любых х~В и )й)[э.

С другой стороны, (А'В'[, х)=-(В'[, Ах)=(й ВАх). Сопоставляя вти равенства, мы видим, что (ВА)'=А'В'. У п р а ж н е н и е. Доказать, что линейное преобразование, сопряженное к А', есть А. 3. Взанмозаа[еняемость гг и гг'. В предыдущем изложении )г и )с' играли различную роль. Мы покажем, что они совершенно равноправны, т.

е. что все теоремы останутся справедливыми, если мы поменяем Й и )г' ролями. Мь[ определили )г' как совокупность линейных функций в )г. Чтобы установить равноправность )г и )г', докажем, что всякая линейная функция гр([) в й' может быть записана в виде (), х,), где х — фиксированный вектор из )г. Пусть е„е,, ..., е,— некоторый базиса)т и [с,)а, ...,)"— взаимный с йим базис в )с'. Линейная функция гр(Д может быть записана в виде гР([)=атЧГ+азЧ,+...

+а Ч„, где т)„т)„..., ׄ— координаты вектора р в базисе )г, ра, ..., у". Рассмотриьг вектор х„имеющий в базисе е„ е„, ..., еи координаты а', а', ..., а". Тогда, как мы видели в п. 2, ([ ха) =агЧ +а'Ч + ° ° ° +а"Ч, н, следовательно, раи— ж ()', Ха). $23) сопряженное (двойственноег пРОстРАнстВО хху Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными функциямн (р, заданными в К', и векторами х,Е)с. В(ы можем поэтому во всем изложении считать )с пространством линейных функций над )с', задавая эти линейные функции формулой (5). Этим установлено полное равноправие между )с и )с'. Ззьгетим, что при одновременном изучении прострзнсгвз и сопряжению о пространства мы употребляем лишь обычные для векторов оперзцин сложения и умножения нз число в кзждом прасгрзистве и операцию (й к), связыввющую элементы обоих прострвнсгв.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,99 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее