И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 35
Текст из файла (страница 35)
О) О 1 О ... 0 0 0 1 ... 0 (11) которая также получается из единичной с помощью соответствующего элементарного преобразования. Мы валим, такал~ образом, что матрицы элементарных преобразоваиггя — это матрицы, полученные одним элементарным преобрааованнем из Е, причем, чтобы произвести элементарное преобразование над столбцами, А (Х) надо умножать на лгатрицу преобразования справа, а чтобы преобразовать строки, А (Л) надо умножать на соответсгвукацую матрицу слева.
Можно сосчитать определитель каждой из приведенных матриц (8) †(11) и, таким образом, проверить, что он равен отличной от нуля постоянной; следовательно, все эти матрицы обратимы. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то и произведение матриц элементарных преобразований есть обратимая матрица. Так как мы предположили, что А(Л) и В(Л) эквивалентны, то А (Ч можно получить, применяя к В (Л) некоторую цепочку элементарных преобразований. Каждое элементарное преобразование можно осуществить, умножая В (Л) на обратимую Л-матрицу; следовательно, весь переход от В(Л) к А (Л) ьгожно получить, умножая В (Ц последовательно на некоторую совокупность обратимых Л-матриц слева и аналогично на некоторую совокупность справа.
Так как произведение обратимых матриц также есть обратимая матрица, то первая часть теоремы тем самым доказана. Отсюда следует, что всякая обратимая матрица есть произведение матриц элементарных преобразований. Действительно, всикая обратимая матрица 9 (Л) эквивалентна единичной матрице и поэтому может быть представлена в виде (~ (Л) = Р, (Л) ЕР, (Л), 210 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ(гл. и! где Р,(Л) и Р,(Л) — произведения матриц элементарных преобразований. Но это значит, что и сама (;) (Л) =- = Р, (Л) Рр (Л) есть произведение матриц элементарных преобразований. Этим замечанием можно воспользоваться для доказательства второй половины теоремы. Действительно, пусть дано, что А (Л) = Р (Л) В (Л) д (Л), где Р (Л) и Я (Л) обратимы.
Но, согласно только что сделанному замечанию, умножение слева на Р(Л) и справа на (,) (Л) эквивалентно некоторой совокупности элементарных преобразований, произведенных над В (Л). Таким образом, А (Л) эквивалентна В (Л), что и требовалось доказать. 4. *) В этом пункте мы будем заниматься Л-матрицами вида А — ЛЕ, где А †постоянн матрица. Основной вопрос, который будет решен, это вопрос об эквивалентности Л-матриц первой степени А — ЛЕ и В в ЛЕ **).
Легко видеть, что если матрицы А и В подобны, т. е. сушествует такая невырождеиная постоянная матрица С, что В=С 'АС, то Л-матрицы А — АЕ и  — ЛЕ эквивалентны. Действительно, если В =С-'АС, то  — ЛЕ =- С-' (А — ЛЕ) С. Так как постоянная невырожденная матрица есть частный случай обратимой Л-матрицы, то, по теореме 3, из этого равенства следует эквивалентность А — ЛЕ и  — ЛЕ. Мы покажелг позднее и обратное, что из эквивалентности );матриц А — ЛЕ и  — ЛЕ следует подобие матриц А н В. Отсюда мы получим, в частности, новое *) Этот пункт моною пропустить, так как он содержит другое, не зависимое от 44 19 и 20 доказательство того, что всякую матрицу можно привести к жордановой форме.
*Р) Произвольная Л-матрица первой степени Ар+ЛАл, у которой ()е1 Ал ~ О, эквивалентна некоторой лгатрилге вида А — ЛЕ. Дейстннтельно, в этом случае Ар+ЛА,— — — Ат( — АллАр — ЛЕ) и, обозначая — А,лАр через А, нлкеы Ар-)-ЛА,.= — А, (А — ЛЕ), откуда по теореме 3 следует эквивалентность матриц А — ЛЕ и Ар+ЛАл.
.17 ммятгииы $ >21 доказательство того, что всякая матрица подобна магрице, имеющей нормальную жорданову форму. Доказательству предпошлем лемму: Л е и м а. Произвольну>о Л-матрицу Р (Л) .= Р Л" + Р Л"-'+... + Р можно разделить слева на ма>прицу вида А — ЛЕ (где А— любая постоянная матрица), т. е. можно найти такие матрицы 3(Л) и й (й лоспюянна), что, Р (Л) =- (А — ЛЕ) Я (Л) + й. Процесс деления, с помощью которого доказывается лемма, отличается от обычного деления многочленов только тем, что прн умно>кении нельзя изменить порядок сомножителей.
Пусть Р(Л)= Р,Л" +Р,Л"- +... +Р„, где Є— постоянные матрицы. Легко видеть, что Л-матрица Р(Л)+(А — ЛЕ) Р,Л" ' будет иметь степень не выше п — 1. Если Р(Л)+(А ЛЕ) Р Ли-> Р У->+ Р'Л~->+ + Р' то аналогична многочлен Р(Л)+(А — ЛЕ) Р,Л" '+(А — ЛЕ) Р„'Л"-' есть многочлеп степени не выше п — 2. Продолжая этот процесс, мы придем к многочлену Р(Ц+(А — ЛЕ)(Р Л.— +Р;Л»- +...) степени не выше нулевой, т. е. не зависящему от Л. Обозначив полученную постоянную матрицу через й, мы получим Р (Л) = (А — ЛЕ) [ — Р,Л"-' — Р„'Л"-'+...1+ й. Если теперь обозначить многочлен в квадратных скоб- ках через 5(Л), то мы будем иметь Р (Ц = (А — ЛЕ) 5 (Л) + й, т.
е. лемма доказана. К!В КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОВРАЗОВАНИЙ сГЛ. Пе Аналогично доказывается возможность деления справа, т. е. существование матриц Я, (Л) и )с„таких, что Р (Л) = Я, (Л) (А — ЛЕ) + йи Ззнетвм кстати, по здесь, кзк к в обычной теореме Безу, кожно утверксдзть, что Й = Й г= Р (л). Теорема 4. Для пшго чтобы Л-мапьрицы А — ЛЕ и  — ЛЕ были эхвиеал нтны, необходимо и достапючно, чпюбы матрицы А и В были подобны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность была доказана в начале этого пункта. Докажем необходимость. Иам надо доказать, что если Л-матрицы А — ЛЕ и  — ЛЕ эквивалентны, то матрицы А и В подобны. По теореме 3 существуют такое обратимые Л-матрицы Р(Л) и Я (Л), что  — ЛЕ=Р(Л)(А ЛЕ) Ц(Ц. (12) Покажем сначала, что в равенстве (12) Р (Л) и Я (Л) можно заменить постоянными матрицами. С этой целью разделим Р (Л) иа  — ЛЕ слева, 1~ (Л) — справа. Мы получим равенства Р (Л) = ( — ЛЕ) Р, (Л) + Р„, () (Ц= (), (Л) ( — ЛЕ)+ В„ где Р, и О,— постоянные матрицы. Подставим в формулу (12) выражение для Р(Л) и произведем умножение. Мы получим:  — ЛЕ = ( — ЛЕ) Р, (Ц(А — ЛЕ) Я (Л) + Р, (А — ЛЕ) Я (Л).
Во второе слагаемое подставим выражение для 9 (Ч, произведем умножение и перенесем слагаемое Р,(А — ЛЕ) Яе в левую часть равенства. Мы получилц  — ЛŠ— Ро (А — ЛЕ) Яе =(((Л) (14) где К(Л) =( — ЛЕ) Р, (Л) (А — ЛЕ) () (Л)+ + Р, (А — ЛЕ) Я, (Л) ( — ЛЕ). (15) Из рагснства (13) следует, что Р, = Р (Л) — ( — ЛЕ) Р, (Л). Заменив этим выражениел~ Р, во втором слагаемом, ммлтницы получим: К(Л) =( — ЛЕ) Р,(Л)(А — ЛЕ) 0 (Л)+ + Р (Л) (А — ЛЕ) Я, (Л) ( — ЛЕ)— — ( — ЛЕ) Р, (Л) (А — ЛЕ) Я, (Л) ( — ЛЕ). (16) Но из равенства (12) мы имеем (А — ЛЕ) 0(Л) =Р- (Л) ( — ЛЕ), Р(Л) (А — ЛЕ) =( — ЛЕ) а 1(Л). Пользуясь этими равенствами, мы можем ввести множитель  — ЛЕ в конец первого и начало второго слагаемого в выражении для .К (Л), после чего получим окончательно К(Ц=( — ЛЕ) (Р,(Л) Р- (Л)+а- (Л) (),(Л)— — Р, (Л) (А — ЛЕ) 0, (Л)) ( — ЛЕ). Докажем теперь, что К (Л) = О.
Выражение в квадратных скобках, в силу обратимости Р(Л) и Я(Л), есть много- член относительно Л. Докажем, что он равен нулю. Предположим, что этот многочлен отличен от нуля н имеет степень пь Нетрудно убедиться тогда, что К (Л) имеет степень т+2 и так как т) О, является много- членом не ниже второй степени. Йо из равенства (14) следует, что К(Л) не выше первой степени. Следовательно, выражение в квадратных скобках, а значит, и К(Л) =О. Мы получили таким образом, что  — ЛЕ=-Р,(А — ЛЕ) Д„ где Р, и Я,— постоянные матрицы, т. е.
в равенстве (12) можно матрицы Р (Л), Я (Л) заменить постояннымн матрицами. Сравнивая коэффициенты при первой степени Л в обеих частях равенства (17), мы получаем РА. =- Е. откуда следует невырожденность каждой из матриц Р, и 9, и равенсгво Ра == Юо 22О кАнОнический Вид линейных НРеОБРАЗОЕАний ггл. и! Сравнение свободных членов дает В =- р, АЯ, = Я„'Аг',г„ т. е. В и А подобны. Теорема доказана. Так как условием эквивалентности А — АЕ н  — АЕ служит совпадение их инвариантных ягножителей, то из доказанной теоремы следует, что, для гвоео чтобы маогрицы А и В были подобны, необходимо и дсспгагггочно, чтобы инвариантные множители у А — 'АЕ и  — АЕ совпадали между собой.
Покажем теперь, что всякая матрица А подобна матрице, имтяогцей жорданову нормальную форму. Для этого рассмотрим матрицу А — "АЕ и найдем се инвариантные множители. По этим инварнантным множптеляяг построим, как было указано в 2 21, матрицу В, имеющую жорданову нормальную форму. Тогда  — АЕ имеет те же инвариантные множители, что и А — )Е, и, значит, В подобно А. Как было указано на стр. 216 гсноска), изложенное в п. 4 является другим, заменяюгцим ф 19 н 20, доказательством того, что всякая матрица подобна матрице, имеющей жорданову норягальную форму. С другой стороны, конечно, содержание п. 4 может быть непосредственно выведено из содержания Ц 19 нли 20 и 21.
ГЛАВА 1У ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ 2 23. Сопряженное (двойственное) пространство 1. Определение сопряженного пространства. Пусть (т— линейное Пространство. Одновременно с 1т' часто рассматривают другое, тесно связанное с ним пространство, так называемое сопряженное пространство. Для того чтобы сформулировать определение сопряженного пространства, вернемся к понятию линейной функции„введенному намивп.124. Линейной функцией мы назвали функцию 1(х), хЕтт', удовлетворяющую следующим условиям: 1' ~(х+у)=Г(х)+~(у), 2' 1 (Ах) = А) (х). Пусть е„е„..., е„— базис в п-мериом пространстве )т. Если х=-$'е,+$'е,+...
+в е„ вЂ” вектор из )т„то линейная функция в )т может быть записана в виде (см. $ 4) Г(х) =-~($'е,+$'е,+... +$"е„)= = аД'+аД'+ . +а ф'* (1) где коэффициенты а„а„...,а„, определяющие линейную функцию„ вычисляются по формулам а, =- ~ (е,), а., = 1(е,),..., а„=1(е„). (2) Как это ясно из формулы (1), ари заданном базисе е„ ем..., е„всяким а числам а„а.„..., а„отвечает линейная фунщия, арипшм только одна. 222 ггл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
