И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 38
Текст из файла (страница 38)
аргер У = т)те, 1 = ~а1"а. Тогда 1(х, у; )) —.— 1(йгег, Чге,; Ц 1'а) =- йгт)тьа1 (еь е; га). Итак: при заданных в 11 и соответственно в й' базисах е„е„..., е„и 1', 1з, ..., 1ч полилинейная функция 1(х, у; 1) записывается в ниде 1(х, у; )) =- а,'гйгт)тг,а, где йг, соответственно Чг, соответственно ~а — координаты вектора х, соответственно у, соответственно 1. Числа аап определяющие функцию 1(х, у; )), задаются формулой агат =1(ео еу1 1а) и зависят, таким образом, от выбора базисов в Я н Г. Аналогичная формула имеет место для полилинейной функции общего вида: 1(х, у, "; 1, у...
)=агу::Тт)' ..),р, . (1) где числа аД'", определяющие полилинейную функцию, вычисляются по г)юрмулам агу",' ==1(ео ел ..., 1', 1-", ...). (2) Выясним теперь, как изменяется система чисел, определяющая полилинейную форму, при изменении базиса. 11усть в й задан базис е„е„...„е„и в )т' — взаимный с пнм базис 1т, 1а, ..., 1а. Перейдем к новому ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ 1гл. Рч базису в'„е'„..., е„' в )т и взаимному с ним базису 1ы 1'и в Я Пусть переход от базиса е„е,„..., е„к базису ео е'„..., е'„задается формулами еа =4е .
(3) Тогда переход от базиса 1', 1', ..., 1" к базису 1', ..., ~'" задается формулами 1"в Ьав)а (4) где !! Ь„!! — матрица, транспонироваиная к матрице, обратной к !!св!!. Формула (3) показывает, что числа са при фиксированном и являются координатами вектора е„в базисе е„ е„ ..., е„. Аналогично числа Ь„при фиксированном В являются координатами вектора 1'В в базисе т| та га Найдем систему чисел а„.;, '.", определяющих нашу полилннейную функцию в базисах е'„е,', ..., е„' и ~", Р ~'". Мы знаем, что ац' " = 1 (е~', е~, ...„1", ~",, . ).
Поэтому, чтобы найти а .' мы должны в формулу (1) вместо Д, Ч~, ...; Х„, р„... подставить координаты Ь;, Ь,'„... Ь1ы получаем таким образом: 'та.. а В а к аа... ач",.'=с~с1 ...Ь,Ь,...а з,".,. Итак, система чисел аД'', определюощих полилинейную функцию 1(х, у, ...; 1, д, ...) во взаимных базисах е„е„..., е, и 1', ~', ..., ~", при переходе к новым взаимется по формулам а~~'.,'." = с, с";...
Ь'Ь*,... аЯ."., (б) где !! сД!! — матрица, определяющая преобразование базиса е„е„..., е„, а ((Ь(!! — матрица, определяющая преобразовайие взаимного с ним базиса 1'1 ~' твнзогы Зто можно выразить следующей фразой: на нижние индексы системы чисел аД.; дгйспмугт лииприца )(с(((, на ееркние индексы — матрица )( Ц)~ (ср. $ 23, п. 4, где рассмотрены формулы для преобразования координат ковариантного н контравариантного векторов).
3. Определение тензора. Объекты, с которыми мы встречались на протяжении этой книги (векторы, линейные функции. линейные преобразования, билинейные функции и т. д.), определялись в каждом базисе своей системой чисел. Например, вектор определялся в каждом базисе системой и чисел — своими координатамн. Линейная функция определяется в каждом базисе также системой и чисел — своими коэффициентами. Линейное преобразование определяется в каждом базисе системой и' чисел — матрицей линейного преобразования. Билинейная функпия определяется в каждом базисе системой и' чисел — матрицей этой билинейной формьь При переходе от одной системы координат (базиса) к другой система чисел, определяющая данный объект, преобразуется определенным образом, причем закон преобразования различен для различных объектов.
Например, как вектор из Я, так и линейная функция в К задаются системой и чисел, однако при переходе к другому базису они преобразуются по-разному. Для полной характеристики встречающейся величины мы должны задать не только значения ссютветствующих чисел в какой-либо системе координат, но и закон преобразования соответствующей совокупности чисел при переходе к другой системе координат. В пунктах 1 и 2 этого параграфа мы ввели понятие полилинейной функции, которая определяется в каждом данном базисе системои и" чисел (2), преобразующихся при переходе к другому базису по формулам (5). В связи с ним вводится следующее определение, играющее важную роль во многих разделах физики, геометрии и алгебры. Определение 2. Если каждой системе координат э и-мерном аффинном пространстег отнесгна система пе+е чиогл аЦ; (число нижних индексов обозначено через р, верхних — через д), причем при переходг от одной системы координат к другой эти числа пргобразуются езь ~гл.
ш ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ по формуле а,,' =- с~ с~~... К,Ь',... а,',в';;., (6? гдг ~~с, '~~ — матрица, задающая пергход от одного базиса в ет' к другому, а ~( Ь( 'З вЂ” матрица, транспонированная к матрице, обратной к (~с('ц, то мы говорим, что нам задан тгнзюр. Этот тензор назьвается р раз ковариантным и о раз контравариантным. Число р+о называгтся рангом (валгнтностью) тензора. Сами гасла аД".; называются компонгнтоми тензора. Так как система чисел, определяющих полилинейну~о функцию от р векторов из У~ и д векторов из К', при изменении базиса преобразуется как раз по формуле (6), то каждой такой полилинейной функции однозначно соответствует тензор ранга р+о, р раз ковариантный и о раз контравариантный.
Обратно, каждому тензору однозначно отвечает полилинейная функция. В дальнейшем свойства тензоров и операции над ними мы будем изучать на емоделиь полилинейных функций, хотя, конечно, полилинейные функции являются лишь одвой из возможных реализаций тензоров. Приведем некоторые примеры тензоров. 1, Скаля р. Если каждой системе координат отнесено одно и то же фиксированное число а, то его формально можно также считать тензором, а именно †тензарем нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скалярам. 2. Контр а вариантный вектор. Вектору из й в каждом базисе соответствует совокупность и его координат, которые при переходе к другому базису преобразуются по формулам ц =Ь)цт и, следовательно, представляют собой контравариантный тензор ранга 1.
3. Л и пейн а я функция (ко вариантный ве ктоо р). Числа ап определяющие линейную функцию, преобразуются по формулам а,' =- с,'а~ и, следовательно, образуют ковариантпый тензор ранга 1. тензогы 4. Би линей на я фу н кци я. Пусть А(х; р) — билинейная форма в пространстве 1с. Отнесем каждому базису матрицу данной билинейной формы в этом базисе. Мы получим при этом тензор ранга два, дважды ковариантный. Аналогично, билинейная форма от векторов х ~ 1т, ~~Я' определяет тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный, а билинейная форма от векторов 1, д~ И' определяет тензор, дважды контра- вариантный.
5. Линейные преобразования. Пусть А— линейное преобразование в пространстве К. Отнесем каждому базису матрицу ((а~)) преобразования А в этом базисе, т. е. положим Аг; =- а";е„. Покажем, что 11 а,". ~! есть тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз контравариантный. Действительно, пусть переход к новому базису задается формулой е;= — с;г„, и, следовательно, обратный переход — формулой Тогда Аг~ = Ас;е„=с~ Ае„== с;а ез =с;а,Ьагм в а эй ссзь' Таким образом, матрица ))а;"(( преобразования А в базисе е,' имеет вид 'ь заь а; =а с;Ьг, что и доказывает, что матрица линейного преобразования А есть тензор второго ранга, один раз ковариантный и один раз контравариантный. В частности, единичному преобразованию Е в каждом базисе соответствует единичная матрица, т. е. система чисел ,ь 1 1 при г=-й, Ь,=' 1 О при гчьй. Таким образом, б~ представляет собой простейший тензор ранга два, один раз ковариантный и один раз понятии отвнзопдх ~гл.
1к контравариантный. Тензор 6", интересен тем, что его компоненты в любой системе координат одни и те же. Упражнение. Показать непосредственно, что если в каждой системе координат задать систему чисел ( ~ при ~=я, (Опри ~Фа, то зто будет тензор. Докажем теперь два простых предложения о тевзорах. Пусть имеются два тгнзора одинаксвсгс типа. Тогда для равенспма тензоров достаточно, чтобы их компоненты в каком-нибудь базисг баяли соответственно равны. Другимн словами, из того, что компоненты этих двух тензоров равны в какой-либо системе координат, следует, что их компоненты соответственно равны в произвольной системе координат. Это предложение очевидно; действительно, так как оба тензора одинакового типа (т.
е. имеют одно и то же число ковариантных и контравариантных индексов), то они преобразуются по одним и тем же формулам, и так как их компоненты в одной системе координат по предположению равны, то они равны и в любой другой системе координат. Заметим, что предположение, что оба тензора одинакового типа, является совершенно обязательным. Например, как билинейная форма, так и линейное преобразование определяются в данной системе координат матрицей. Однако из совпадения матриц линейного преобразования и билинейной формы в одной какой- либо системе координат не следует их совпадение в другой.
При заданных р и у мы можем построить тензор типа (р, д), компоненты которого в кахолынибудь одном базисе разны пг+е напгргд заданным числам. Докажем это. Пусть в некоторолс базисе нам задана система чисел аД".;. Этими числами задается полилинейная функция ) (х, у, ...; 7', ...) по формуле (1) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
