И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть задана билинейная форма ] (х, д) на ]т. Сопоставим ей линейную функцию Р(Х) на ]та ]т. Для элементов Х = =- х®д положим Р(х(]2]д) =]" (х, д); для произвольного Х=х,®д,+... +х„Яд„полагаем Р(Х) =) (х„д,)+... +] (хм да). Чтобы определение Р(Х) было корректным, нужно, чтобы на равных выражениях функция Р принимала одинаковые значения. Убедимся, что это так. Для это~о достаточно показать, что Р(Х)=0 на выражениях вида 1), 2), 3) (стр.
249). Проверим, например, что Р ((х, + х,)Яд — х, Яд — х,®д) =- О. В самом деле, имеем: Р((х,+х,)Яу — х,фд — х,ОХ д) = =~(х,+х„д) +)( — х„д)+)( — х„д)= = ] (хм д) + ] (х., д) — ) (хм д) — ] (х„д) = — О. Очевидно, что построенная по г(х, д) функция Р(Х) на ]т(Х]]с линейна, т. е. Р(Х+У)=Р(Х)-1-Р(У) и Р(ХХ)=-]Р(Х).
Обратно, если Р(Х) — линейная функция на )т(]) К, то ей соответствует билинейная форма на ]т: )(х, д) =-Р(х®д). Итак, мы установили естественное взаимно однозначное соответствие между билинейными формами на ]г и линейными функциями на 12 ®]т. Заметим, что это соответствие линейно; именно, если билинейным формам )„~, отвечают линейные функции Р, и Р„то их линейной комбинации ),~,+).,~, отвечает функция Х,Р, +).Р,. Таким образом, построенное соответствие является изоморфизмом между пространством В(й) билинейных форм на )т и пространством (]т ®Я)' линейных функпий на Йф й. ПОНЯТИЕ О Те!!ЗОРЛХ !Гл. 1ч 3. Размерность тензоряого произведения 1гЯ)т. Докажем, что Й ® К вЂ” консчнол!ерное пространство размерности и', где и — разлгерность Й.
Зададим базис е„..., е„в пространстве й. Пусть х, у — произвольные векторы из Й; разлогкяы их по векторам базиса: х = з,е, + ... + 5„е„, у = т1!е, + ... -1- !)„е„. Тогда х®У=-,'Ь~ $!т1 (е1фет). 1, 1=1 Таким образом, х®у, а значит, и любой другой вектор из 1гК )г является линейной комбинацией и' векторов Е! ® Ег. Убедимся, что векторы е!Яет линейно независимы.
Для этого воспользуемся следующей простой леммой„ доказательство которой предоставляется читателю. Л е ы м а. 1)усть Š— линейное пространство и Х. (а=1, ..., 1т') — век!лоры из Е. Если для каждого а = == 1,...,1т' существуео! лине"ная функция г.(Х) на Е такая, что Г,(Х.)=-1 и г.(ХЕ)=-О при ~Фа, то векторы Х„линейно независимы. Зададим для каждого !'=.-1, ..., и линейную функцшо 11(х) на 1г такую, что 1!(е!)=! и 11(е1)=-О при 1'=Е-!.
Так как векторы е„..., е„образуют базйс в )г, то такая функция существует и единственна. Положим Ь(х. у) = Их) ~у(у), 1,1== 1, ..., и. Функция )О(х, у) является билинейной формой на )г; значит, сог,тасно п. 2 ей соответствует линейная функция Г! (Х) на )т®)г такая, что ру(х®у)=г!(х))' (у). Убедимся, что эта линейная функция г,. (Х) рав.
на 1 на е,фе~ и равна О на остальных векторах е, !Зе;. В самом деле, Р! (ег®ег) =11 (е! )1 (ег), и наше утверждение сразу следует из определения функций 11(х) и ~!(х). В силу леммы этим доказано, что векторы е!(фе линейно независимы. Так как, с другой стороны, по ним 253 ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 1 251 раскладывается любой вектор в Й !",х) Й, то векторы е!®ех образуют базис в Й (х) Й. Таким образом, размерность ЙЯЙ равна числу векторов е!Яеп т. е. равна и'.
4. Тензорное произведение Й,Я... ®Й„. Определяя тензорное произведение ЙЯ Й, мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы х и у в произведении х Я у берутся из одного и того же пространства. Поэтому, повторяя дословно определения и. 1, можно определить также тензорное произведение Й,(Е!Й, двух различных пространств Й, н Й,.
Если е„..., е,„— базис в Й„а )О ...,1„— базис в Й„ то базисом в Й, ® Й, служат тп векторов е! (Х) ~~ (! = 1, ..., пи 1 =- 1, ..., П). Отметим, что пространства Й,®Й, и Й,®Й, различны по определению. Аналогично определяется тензорное произведение любого числа линейных пространств. Так, например, элементами тензорного произведения Й, ® Й,Я Й, явля!отся формальные суммы х,фу,®г,+... +х„Яу„фг, (4) где х; †элемен из Й„ у; †элемен нз Й, и г; †элементы из Й,. Операции сложения и умножения на число определяются так же, как и в случае двух сомножителей.
Читателю предлагается установить, какие выражения вида (4) при этом следует считать равными. Тензорное произведение т линейных пространств Фй Й„..., Й„часто обозначают так: Я ЙР В случае, !=! ' когда все сомножители Й; совпаджот с одним и тем же пространством Й, их тензорное произведение называется т-й тензорной степенью Й и обозначается О1 так: ЯЙ. 5. Связь между теизорами и элементами тензориых произведений. Мы покажем, что любой тензор в пространстве Й можно рассматривать как элемент некоторого тензорного произведения.
Сначала убедимся в этом для тензоров ранга 2, дважды ковариантных. Согласно 2 24, и. 3, тензор ранга 2, дважды ковариантпый, задается билинейной формой на Й. Но мы ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ 1ГЛ. 1Ч уже знаем, что между билинейными формами на )г и линейными функциями на )ТЯ)г имеется естественное взаимно однозначное линейное соответствие. Значит, в силу этого соответствия любой тензор ранга 2, дважды ковариантный, можно рассматривать как линейную функцию на )г(х)1т, т. е.
как элемент сопряженного пространства ()г®)с)'. С другой®стороны, мы установим сейчас естественный изоморфизм (((®)г)'ж й'(К) й'. В силу этого изоморфизма любой тензор ранга 2, дважды ковариантный, можно рассматривать как элемент из тензорного произведения Й' ® И'. Построим изоморфизм (к Я )г)' ск й1' Я й'. Пусть Г Е й' ® И', т. е. Г 11~й1+ +)т(Рв1 где )', д1 — линейные функции на )т. 1"'1ы должны сопоставить Г элемент из ()т К Р), т.
е. линейную функцию Г(Х) на )г ® й1. Определим эту функцию по формулам Г(хйр) =)1(х) 01(р)+ "+)'1(х) й1(х). Г(х, Яу,+... +ХАфуА)=--Г(х, Яу1)+ ... +Г(ХА(Х3уА). Читателю предлагается убедиться, что эти формулы действительно определяют линейную фупкци;о на Я Я)г и что построенное соответствие — изоморфизм. Рассмотрим теперь тензоры ранга 2, дважды контра- вариантные. Каждый из них задается билинейной формой на й'. Но между билинейными формами на )г' и линейными функциями на й'(х)й' имеется естественное взаимно однозначное линейное соответствие. Значит, тензоры ранга 2, дважды контравариантные, можно рассматривать как элементы пространства (Й' Я) )с')'ы)2 ® 1с. Перейдем к Общему случаю.
Рассмотрим тен®воры ранга р +д, р раз ковариантные и д раз контравариантные. Из 2 23, п. 3, мы знаем, что им однозначно отвечают полилинейные функции ((х, у1 э 1ю и* ) от р векторов х, у, ... из )г и д векторов ), д, из Я'. Подобно тому, как это делалось в п. 2 для билинейных форм, можно установить естественное взаимно однозначное линейное соответствие между такими полилиней- ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ % 251 ными функциями )(х, у, ..., )", и, ...) и линейными функциями на тензорном произведении Й(Х3...
(ХЗЙ® р раз ®й'®... ®й'. З раа Именно, если Г (Х) †линейн функции на тензорном пронзив. денни д®... ®2СОХК'Сх)... ®я', то ей отвечает полвлинейнаи Р Раз а раз Функция ~(», у, ° ° °; й К, ...) от р векторов из я и д векторов на К'." ((» у, "; у, и ...)=Р(»Охуох...®)®а® ").
(З) Обратно, если задана полилинейная функция ((», у, ...; й и, ...)„ то существует (и притом единственная) линейная функция на тенвориом произведении И ®... ОхЛ ® зз'Сх)... Вас', удовлетворвр раз р раз кацая соотношенизо (5). Яоказать.) Значит, тензоры ранга р+з), р раз ковариантные и з) раз контравариантиые, можно рассматривать как ли° » а ас2'...22а ра о...зах нак элементы из сопряженного пространства (ЯВ... ВКЕЛ'В...
ОХЮ' р раз а раз р раз З раз 6. Тензорное произведение линейных преобразований. Мы научипись по каждой паре линейных пространств Я„Я, строить новое линейное пространство — их тензорное произведение Я,(Х) й,. Однако этим задача не заканчивается. Можно еп(е по линейным преобразованиям в каждом из пространств )т„)с, построить линейное преобразование в их тензорном произведении.
Итак, пусть заданы линейное преобразование А пространства )сз в )тз и линейное преобразование В пространства )та в )т', *). Мы построим по ним линейное пре- *) Иногда зто записывают так: А: мз — + мз и йй йа — з Яа. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ ггл. 1к образование пространства )т1,®)с, в И,(х))т„которое будем называть тензорным произведением преобразований А и В и обозначать через А®В. Рассмотрим тензорное произведение )тт СХ) В, пространств )сг и )1,. Напомним, что злементамн тс,®)с, являются форкгальные суммы хтйуг+ ° ° +хлйул где х; б й „уг б )т„г =. 1, ..., й.
Тензорным произведением А ОХ В линейного преобразования А пространства йг в Вг н линейного преобразования В пространства К, в Й, называется линейное преобразование С пространства й. ® йе в )т, ОХ )т„определяемое следующим образом: * С(х,1Х)рг+... +х„®рл)= =(Ах„) ф(Вуг)+... +(Ах,) ®(Ву,) е). Более общо, если имеются два линейных пространства К„В„два других линейных пространства )С„О, н линелшые преобразования А: )т,— 5, и В: К,— В„то можно аналогично определить линейное преобразование АОХВ: )11(Х)И,=В,®Яа.
Отметим, что каждому линейному преобразованию А пространства )тг естественным образом отвечает линейное преобразование пространства )с,®)с„а именно А®1, где 1 — единичное преобразование; аналогично каждому линейному преобразованию В пространства )та можно поставить в соответствие линейное преобразование 1(Х) В пространства Яг® )т,. Установим, как выражается матрица линейного преобразования С=-АОХВ через матрицы преобразований А н В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
