И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 43
Текст из файла (страница 43)
оно меняет знак при перестановке любых двух сомножителей. Среди внешних степеней пространства /г имеется лишь конечное число отличных от нуля. Именно покажем, что Л )с=О при т>п, где п — размерность Я. Для этого зададим базис е„..., е„в пространстве /с. Разлагая векторы из )с по элементам базиса, мы убеждаемся, что любое внешнее произведение х, Л ... Л к„, а значит, и любой элемент из Л )с, является линейной комбинацией выражений ей Л ... Л е;„. Но если т > п, то в каждом выражении е;, Л ... Л е~„совпадают хотя бы два сомнои жителЯ; значит, всегда еп Л ...
Л е~„= О. Итак, Л й = О при т> п. ю Покажем также, что лространслмо Л )т, еде п — размерность )т', является одномерныж пространством. В самом понятие о тензоилх !гл. !н деле, среди элементов ег, Л ... /ч е!„ отличны от нуля только те, у которых индексы г„ ..., г„ попарно различны и, значит, являются перестановками индексов 1, ..., и.
Так как внешнее произведение векторов анти- симметрично, то такие отличные от нуля элементы совпадают, с точностью до знака, с элементом е, у!...г'ге„. л Поскольку любой элемент из уг Я является линейной кокгбинапией векторов ег, /г ... Лег„, то тем самым он кратен вектору е, Л ... Л е„. Упражнения. К Пусть е„..., е„— базис в й и е)= л, а;е; — лкбые л векторов из Й.
Локазать, что е, г!... г! е„= кз /=1 = ае, Г! ... Л е„, где а — определитель матрицы й оп)р 2. Пусть ег, ..., е„— базис в !г. Локазать, что выражения е! г! ... г! е!~, где !, < г, < ... < !ан образукн базис в гч !г. На ы основании етого вычислить размерность пространства Л Й. Задача. Дать (по аналогии со случаем т=-2) определение т-й симметрической степени 5" ()с) пространства Я для любого ль 1О. Тензорное произведение евклндовых пространств. Пусть )с! — евклидово пространство со скалярным произведением (х, х')„)га — другое евклидово пространство со скалярным произведением (д, гг'),.
Тогда в их тензорном произведении К! ® гс„можно естественным образом ввести скалярное произведение. Сначала определим его для пары векторов х(о)р и х'® и', полагая (х ® у, х' Я у') = (х, х') г. (г!, и')е. Если теперь Х=х,фгг!+... +хе(Х)уа, Х'=х!'®у!'+ ... +хгИр; — произвольные векторы ьгз гс,®)с„то положим: (Х, Х')= ~на, ~~.', (х;®ун х!'Яу!).
тензОРБОе ПРоиззедение Читателю предлагается убедиться, что выражение (9) действительно задает скалярное произведение на Я,®Я,. Именно, оно имеет смысл на К,ЯК, (т. е. сохраняетса при замене выражений Х и Х' на равные) и удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
Г1ространство К,ф)г, с введенным в нем так скалярным произведением называется тлензорным произведением ееклидоаых пространств )т, и К„. Заметим, что если е„..., е„— ортонормированный базис в К„а Г„..., Ä— ортонормированный базис в Й„то векторы е~1х)1т образуют ортонормированный базис в тензорном произведении й,®)т,. В самом деле, (е ®б1, е ВЫ=(е. е ),У;, б),. Значит, это выражение равно 1 при 1=1', )=у' и равно нулю во всех остальных случаях.
ДОПЛВЛЕНИЕ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Точное вычисление собственных значений и собственных векторов самосопряженного линейного преобразования часто наталкивается на значительные вычислительные трудности. Одним из распространенных методов приближенного вычисления собственных значений в квантовой механике н во многих задачак теории колебаний является так называемый метод возмущений. Этот метод, применимый к линейным преобразованиям как в вещественном, так и в комплексном пространстве, грубо говори, состоит в след)тощем: пусть известны собственные значения и собственные векторы некоторого самосопряженного линейного преобразования А. Рассмотрим преобразование А +еВ, где  — произвольное самосопряженное преобразование.
Тогда собственные значения А+еВ суть функции от е. Можно показать, что прн е — О собственные значения и векторы А+еВ стремятся к собственным значениям н векторам Л. Задача состоит в нахождении «поправок» к собственным значениям н векторам при замене преобразования А на Л +еВ. й 1. Случай некратных собственных значений Пусть Л имеет различные собственные значения ),„ 1, , Х. и пусть е„ е„ ..., е„ вЂ” соответствукхцие им нормированные собственные векторы.
Пусть, далее,  — какое-либо другое самосопряженное линейное преобразование. Собственные значения преобразования Л + еВ обозначим через Х,(е), Х,(е), ..., )„(е), а соответствующие собственные векторы — через е, (и), е, (е), ..., е„(з). Можно доказать, что 3~„(е) н е„(е) являются непрерывными 1 и сличая накндтных совстввнных зндчвнии вбб и дифференцируемыми функциями от е, причем Лд (О) = Лд, а ед(0) =ее.
Представим эти функции в виде Лд(е)=Л»+еЛ»гг1+... и ед(е)=ед+ее,',"+...*) и будем сначала искать Ц" и е(о, т. е. «главную часть» поправки к е„=ед(0) и Лд=Л (О). Мы имеем (А + еВ) ед (е) = Лд (е) е (е), т. е. (А+еВ) (ее+евдо+...) =— = (Р., + еЦо + ...) (е, + ее'," Ф ...). Сравним члены первой степени относительно е в обеих частях равенства. Мы получим АеЦ' -1- Вед — — Лдед" + Ц"ед. (1) Умножим обе части (1) скалярно на е„: (Ае)о, ед)+(Вед, ед) = Л„(е,'", ед)+Л'„о (е„е,).
Так как, в силу самосопряженности преобразования А, (Ае',", е„) == (е,',", Аед) .= Лд (ед", ед), то (Ве„ед) =Ц" (ед, ед) =Ц". Отсюда Цо=(Вед, е ), (2) и первая половина нашей задачи таким образом решена. Вычислим теперь главный член поправки к собствен- номУ вектоРУ ед (е), т. е. е)п'. ДлЯ этого Умножим скалЯРно обе части равенства (1) на ео где г чь л. Так как векторы е и ег ортогональны, т.
е. (е, ег)=-0 при гней, то мы получим (Ае„'", е,)+(Вед, ег)=-Лд(едг>, ег). *) Многоточие здесь и в дальнейшем означает„что отброшено слагаемое поранив выше первого по сравнению с е. Мы не пишем вместо многоточия о(в), чтобы не загромождать изложения. до БА В ле ни е Но, аналогично предыдущему, мы имеем (Ае(", е,) =(е«', Ае;) =Х;(е),о, е,), поэтому (3) Совокупность этих равенств и определяет вектор е(ч. Запишем формулы (2) и (3) в координатной форме.
Для этого удобнее всего выбрать в качестве базиса собственные векторы е„... е„«невозмущенногоэ преобразования А. Матрицу преобразования В в этом базисе обозначим через Ьь«т. е. Ве =~,Ь«е, и, следовательно, (Ве,, е,) =Ь~г Координаты вектора еш — главного члена «поправки»вЂ” обозначим через 5о ..., $м ..., з„, т.
е. е1о=5,е,+ ... +$„е„ (4) и, значит, $,=(е(о, е;). Формулы (2) и (3) приобретут вид (2') (3') Сам вектор е1о определяется числами $,=(е'„о, е,) по формуле (4). У нас осталась неопределенной а-я координата Рм Она определяется из условия нормировки собственного вектора, т. е. из условия, чтобы длина вектора е„+вези+ ... была равна едннине. Мы имеем (е„+е«««о+...
° е„+е4,"+...) =1, ч г1 слу !дй некратных совстввнных значений 267 се=(еао, е„) =О. (5) Окончательно имеем )"а =-(!аа л Ь.ь о! %! ьч е,=~ " ен г=! гэьа (11) где Ьга=(Веа, е!), а Ха — собственные значения кневозму- шепногоз преобразования А. Лля получения формул (1) и (П) мы выбрали базис, состоящий из собственных векторов преобразования А. При произвольном базисе формулы (2) и (3) также определяют Ха'! и ее". Чтобы получ!ыь формулы, аналогичные (1) и (Н) в произвольном ортогональном базисе, надо знать только координаты векторов еа и матрицу преобразования В в этом базисе. Пусть матрица В есть )) р„„)), а его =- = (с! ', ..., са! ').
Тогда из (2) получаем ри .с!а!с!а1, и. т=! а нз (3) получаем систему уравнений для определения координат вектора еао! ьгс(! +ь,с,'+...+ь„са г,' ))„с!г!с!а! (1=1, 2, ..., е — 1, а+1, ..., л). Недостающее уравнение снова получаем из условия (б) нормировки вектора еа (е): ьгс! )+а!с а)+ ... +1 сл(м =.О. *) В комплексном случае (ер!, !, еь)+(еа, еао) =2!се (еа . а!), и мы могли бы считать (еа, еа) ие только нулем, на н произвольным (! ! чисто мнимым чис,чем. Это связано с тем.
что нормировка собственного вектора определяет его в комплексном случае с точностью до множителя, по модулю равного единице. Сравнивая члены при первых степенях в, имеем (еа!ы, е„) + + (е„, е,',и) = О. Этому условию можно удовлетворить, полагая *) доилвлвннн Так нак векторы ет, ..., е„линейно независимы, то определитель этой снстел1ы отличен от нуля, и числа ьт„ьэ,..., ь„определякпся из нее однозначно.
Найдем теперь собственные значения во втором приближении, т. е. с точностью до членов порядка а'. Мы видели, что, для того чтобы найти собственное значение в первом приближении (формула (2)), достаточно было знать собственный вектор в нулевом приближении. Аналогично, для того чтобы найти второе приближение к собственному значению, нам достаточно будет знать собственные векторы в первом приближении. Мы имеем (А + еВ) е„(е) = Ха (е) еи(е). Подставим в это равенство: е (е)= е„+ ее"'+е'и,'"+..., )а (е) = Ха + еЦо + иЦ" +...
и сравним члены при е'. Получим Вф'+ Аьяея' = )а™ее+ Цт1е,',"+ ), е'„". (6) Для того чтобы найти Ц", умножим скалярно обе части этого равенства на е„. Учитывая, что (Ае~", и ) =(е7", Аеа)= =),а(еээ', е ), мы получим (Ве'„", еа) = Ц" +Ц" (еэо', е ). Так как. в силу (б), (е',о, е„)=0, то Х"' =(Ве,'", и ). Но еао' = ~$еер Подставляя, получаем в силу формулы (3) для первого приближения %э (Веа, еп (Вео еа) Ц" = ~„$, (Вер еа) = ь, 1=! ~=! а— с~а а так как (Ве„, е,) =(Вея еа), то окончательно имеем )... С ИВ" И тть» ф 21 СЛУЧАЙ КРАТНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧВНИЙ 26З где еа — собственные векторы, а ˄— собственные значе- ния преобразования А, нли А — Г >чье 3 а да ч а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
