И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 40
Текст из файла (страница 40)
245 тензогы 4 ы1 лсптна симметричности полилинейной формы по соответствующей группе векторов. Так как для симметричности полилинейной формы по некоторой группе векторов достаточно, чтобы а,'ь'" были симметричны по соответству1ощим индексам лишь в одной какой-нибудь системе координат, то отсюда следует, что если компоненты тензора сил~л~етричны в одной системе координат, то такая лсе сил~л4етрия будет иметь л1есню и в любой другой системе координеип. О в р е д е.п е н и е. Знаконерел~енным (антисил1лизприческим) называется тензор, который меняет знак нри перемене любых двух индексов лыс~пали.
Прн этом предполагается, конечно, что у этого тензора все индексы одинакового характера, т. е. либо все ковариантные, либо все контравариаптные. Из определения знакопеременного тензора непосредственно следует, что при любой перестановке индексов компоненты тензора не меняются, если перестановка четная, в меняют знак, если перестановка нечетная.
Знакопеременным тензорам соответствуют знакопсременные полилинейные функции. 1)олилинейная функция 1(х, у, ...), зависни(ая от р векторов х, у, ... из Й, называется знакопеременной, если нри перестановке любой пары из векгпоров х, у, ... знак функции меняется. Для проверки знакопеременности полилинейной функции достаточно проверить знакопеременность компонент соответствующего ей тензора в какой-либо одной системе координат, как это непосредственно следует из форму.пы (9). С другой стороны, из знакопеременности полилинейной функции следует знакоперсменность соответствующего ей тензора (в любой системе координат). Следовательно, если компоненты тензора знакопеременны в какой-либо одной системе координат, то это же имеет место и в любой другой системе координат, и, значит, тензор является знакопеременным (антисимметрическим).
Выясним чис,по независимых компонент антисимметрнческого тензора. Пусть, например, асл есть знакопеременный тензор ранга 2. Тогда ам — — — алги, следовате,пьно, и (и — 1) число различных компонент равно — —. Лналогично, »аз ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ (гл.
ш для знакопеременного тензора ей „ число различных а (л — !) (а — 2) компонент равно . , так как компоненты с Ы одинаковыми индексами равны нулго, а компоненты, отличающиеся лишь порядком индексов, определяются одна через другую. Аналогично, число независимых компонент знакопеременного тензора с й индексами (й ~ и) равно Са. (Отличных от нуля знакоперемеиных тензоров с числом индексов больше, чем и, не сушествует, так как у знакопеременного тензора компоненты хотя бы с двумя одинаковыми индексами равны нулю, а если число индексов превышает и, то у каждой компоненты совпадают, по крайней мере, два индекса.) Рассмотрим более подробно знакоперемеиный тензор с и индексами.
Так как все группы по л различных индексов, принимающих значение от 1 до и, отличаются лишь порядком, то у такого тензора есть лишь одна независимая компонента и он имеет, таким образом, следующий вид. Пусть г„г'„..., 1„— некоторая перестановка чисел 1, 2, ..., и. Положим а„„=-а. Тогда (10) где + отвечает четной подстановке, а — нечетной. У и ражи ел не.
Пакааать, что при переходе к другой системе координат число ада „вЂ”вЂ” а умножитсн на определитель матринм перехода. Напишем полилинейную функцию, соответствующую знакопеременному тензору с и индексами. В силу формулы (10) она имеет вид: Ч1 Ча ° ° ° Ч» 1(х, у, ..., Е) =сгг,;, г„~с ЧЧ ... ~г»=п Мы дчгказзли, таким образом, что определитель из координат векторов есть, с точностью до множителя, единственная знакопеременная полилинейная функция от и векторов в л-мерном линейном пространстве. 247 тензогы 2 241 Операция симметри рован и я.
Мы можем по всякому тензору построить новый тензор, симметричный по некоторой наперед заданной группе индексов. Эта операция назь1вается симметрированием и состоит в сле- дующем. Пусть задан некоторый тензор, например ап и . 1„., симметрнрование его, например, по первым й индексам, состоит в построении тензора 1 а!Пй М1~, = —,~ апа ПМ+, где сумма распространяется по есем перестановкам )н )„..., )„индексов 1„1„..., 1„. Например, 1 ап„п>= 2 (апы+апп). Операция симметрирования тензора по группе из й индексов 1„!»„..., 1„обозначается следующим образом: О!»!» - Л 1» Ь -.
»»! "° ' Опер аци я альтер пирования вводится аналогично операции симметрнровання и дает возможность по данному тензору построить тензор, знакопеременный по данной группе индексов. Она определяется следующим образом: ! пп П- »2!»»+ " = 1,! ~~', ~п!»!»" !»2»+».- где сумма распространяется по всем перестановкам !'„)„..., )2 индексов 1„(„..., !м а знак определяешься четностью или нечетностью этой перестановки. Например, ! Операция альтернирования обозначается скобками ( ); в них заключаются те индексы, по которым тензор альтернируется. По всяким А векторам Р»,2)4, ..., ЬМ можно построить антисимметрический тензор П»»»».
° '2=$Н»2)!» ... ~а»1, (! 1) где через $!!»2)'»... ь»»! обозначен тензор, полученный альтернированием тензора ~'»т!!» ... Ьм. Как нетрудно ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ ~ГЛ. Ю усмотреть из написанной формулы„компонентамн этого тензора являются миноры й-го порядка следующей матрицы из л столбцов: р р р 2)1 2)2 Т)л Построенный тензор ()!) обладает тем свойством, что если к какому-либо из векторов $'ч 2)1п ... добави1ь линейную комбинащпо остальных, то тензор ап " ' от этого не изменится. Рассмотрим й-мерное подпространство а-мерного пространства )11. Поставим вопрос о том, чтобы охарактеризовать это Й-мерное подпространство системой чисел, т.
е. ввести координаты подпространства. й-мерное подпространство порождается Й линейно независимыми векторами 51ч 11"...,, ~". При этом разные системы из Й векторов могут породить одно и то же подпространство. Однако нетрудно показать, и мы предоставляем это читателю, что если две системы векторов порождают одно и то же подпространство, то построенные по каждой из них тензоры ар..
12 — Д1 2)1Ч ~Ы с точностью до множителя. образом, тензор а1 '.-', построенный по век- 2)'», ..., ~'1ч порождающим некоторое подпро- определяет это подпространство. совпадают Таким торам $', странство, й 25. Тензорное произведение $. Тензорное произведение гсЯ го В первой главе мы изучали билинейные функции в аффинном пространстве К. Здесь мы покажем, что билинейные функции можно трактовать и как линейные функции в некотором новом пространстве. Эго пространство, играющее очень важну2о роль, называется тепзорным произведением гг' н Й (по-другому, тепзорным квадратом й) и обозначается 2 РЯД или ®)с. Дадим его определение. 949 тензОРное пРОизВедение 4 25) Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары х, у элементов из й.
Каждую такую пару будем называть тензорным произведением х и у и обозначать х Яу. Образуем формальные конечные суммы таких пар: Х=-х,Яу,+... +хл(О1у». (1) Г1ри этом формальные суммы, отличающиеся только по- Г.Едком слагаемых, мы не будем различать между собой. Запись (1) означает, таким образом, только то, что нам задано множество й пар х„у,; ...; ха, ул. Введем для выражений вида (1) операпии сложения и умножения на число. Сумму двух таких выражений определим как результат формального дописывания к первому выражению второго: (х, Я у, +... +х„Яу )+ (к,+, Я у„„+...
+ха+, Яу, +,) = = х Я у~ +... + к«+э Я уа+а (2) Г!роизведение на число ). определим так: ) (х, Яу, + ... +ха Я уа) =-()х,) Я у, + ... + (Хха)Яу . (3) Элемент 0 Я 0 будем называть нулем тензорного произведении и обозначать коротко через О. Мы должны еще объяснить, какие выражения вида (1) считаются равными. Будем предполагать, что 1) (х,+х,) Яу — х, Яу — х, Яу=О*); 2) хЯ(у,+у,) — х®у,— хЯу,=О; 3) ()х) Яу — «Я().у).—.0. Кроме того, приравняем нулю любое выражение, получающееся из выражений 1), 2) и 3) сложением и умножением на число. Теперь два выражения Х и Х' вида (1) будем считате равньглщ, если их можно превратить в одинаковые, прибавляя к Х и Х' выраженат, равные нулю, т.
е. если существуют такие выражения #=0 и 2' =О, что Х+2 совпадает с Х'+Г. Очевидно, что введенное отношение равенства рефлексивно (т. е. Х = — Х) и симметрично (т. е. из Х = У следует У = Х); легко проверить, что оно ') Более подробно, это означает, что !х,+ха) ю)у+( — «д О~у+ -)- ! — хэ) (ч)у=о. понятие о тензоидх [Гл. !ч обладает также и свойством транзитивности (т.
е. из Х=-У и У=л следует Х =г). В результате мы получаем пространство, э,пементы которого — классы равных между собой выражений вида (1), а сложение и умножение на число определены по Срормулаат (2) н (3). Заметим, что операции сложения и умножения на число мы авеле до того, как было определено отношение равенства двух выражений (1). Поэтому нам нужно было бы убедиться в корректности определений этих операций; именно нужно показать, что сумма выражений (1) и произведение на число не меняются при замене этих выражений на равные. Эта простан проверка предоставляется читателю. 11етрудно убедиться, что построенное пространство является линейным пространством. Покажем, например, что для каждого Х суп[ествует элемент, ему поотивополажный. Это достаточно проверить для элементов вида Х=-.х(у)д.
Из условия 3) при ) .=1 поиучаем хфд+ + ( — х)(~~д=-О, т. е. 1'= ( — х)фд является элементом, протнвоположнтнм Х. Построечное линейное пространство называется тензсрныл[ произведением )т на )с и обозначается через )1 (Х) К. Итак, льы определили тензорнсе произведение Й 6) )с как линейног прсстрансгпво, элементами которого явлшотся формально[в выражения вида хг[зд,+... +ха®да, где хн дг — влгменгпы из Й. Точнее, злементалти пространства )г(х) Й являются классы равных между собой выражений вида х, ®д, +... +ха Яда (условие равенства дано выше).
Слолсенле в )т'Я й и дмножение на число определяются по фзрмдлам (2) и (3). Отметим, что из условий 1) — 3) следует: (х,+х,)Я)д= — хт[б)д+х,®д; хф(д,+д„)=-хфдт+хфд,; ) (х®д) =()х) ~()д=хОХР.д). Поэтому в тензорном произведении можно раскрывать скобки по обычному правилу: (Хххх+... +) х )К)(рхдт+... +р„д„)=- -;Е;Е )Р,(хну,). $25] ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 2. Связь между билинейными формамн в простракстве )т и линейными функциями в ДЯД. Покажем теперь, как по билинейной форме на ]т можно построить линейную функцию на тензорном произведении ]т (б1]т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
