И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Можно поэтому дать другое определение пары сопряькенных пространств )с и )с", нри котором их равноправие непосредсгвеино видно. Это определение состоит в следующем: мы рассматриваем пару в-мерных пространств й и )с' и каждой паре векторов х Е й, ( Е Й' относим число (Г, х), требуя при этом, чтобы выполнялись условия з' — 4' предыдущего пункта и условие У Из (Г, х)=0 для любого х следует Г==О и из (Г, х)=-0 для любого г' следует я==О. Коротко говоря, пара сопряжсвных пространств )с и )с' — это пзрз и-мерных пространств с введенной дополнительно операцией (й х), удовлетворяющей перечисленным условиям.
Замечание. В и. и мы доказали. что для каждого базиса в )с существует и притом единственный взаимный с ним базис в й'. Из равноправия гиеисду Рг и )с' следует, что для всякого базиса в )с' существует и притом единственный взаимный с ним базис в гс. 4. Преобразования координат в гг и гс'. Если мы рассматриваем координаты векторов х Е )с в некотором базисе еы е„..., ею то координаты векторов ~Ей' мы будем, как правило, рассматривать в базисе ВэанМНОМ К баЗИСу Еы Ею ..., Рю ПЕрЕйдЕМ В )С От базиса е„е„..., ал к новому базису е'„е'„..., е„', и пусть е,' = сгьез — фордлулы этого перехода.
Обозначая через )', (з, ..., ('" базис, взаимный с базисом е„е„..., В„, а через (", (", ..., ('" — базис, взаимный с базисом е,', е,', ..., е'„, найдем матрицу ((Ьгь'й перехода от базиса ~г к базису ('. понятии о тннзопдх ггл. и Найдем сначала обратную ей матрицу )~)и»-~! перехода о )",Г', ",1'"кР,Р,,)'": )» = и»г) ' . (6') Для этого вычислим двулгя способами выражение ()», е,'.): ((». ег)=(~». сге )=с7()»„е )=сы ()», е„) =(и,".)'г, ег) =иг. Отсюда имеем с» = иг», т.
е. матрица )) иг» ~~ является транспонированной а) к матрице перехода (6). Следовательно, матрица перехода от )г, )з, ..., )" к )", Г", ..., )'" равна матрице, транспснированной к матрице, обратной матрице ((с," )( перехода от е„е„, ..., е„к е'„е,', ..., е'„. Выясним теперь, как преобразуются координаты векторов в )г' и в )с'. Пусть зг — координаты вектора х~К в базисе е„е„..., е„и к"г — его координаты в новом Тогда (Р х)=М' Кге,+Ре,+...+Ге„)=вг и (~'', х) =(у", $"ег+$"ез'+... +р,'"е„') ==5'. Поэтому $'=()', х)=(ггг»)», х)=бг»()», х)=)гД». Итак, В' = ь»р, (8) т.
е. координаты векторов в )т преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в )с'. Аналогично, координаты векторов в )г' преобразуются по тем *) Мы говорим, что матрица янг 'д яввястси транспоггированноя » к матрице перехода (6), так как суммирование в (6') производится по другому индексу. т зз/ сопея>квннов <двонственное> пеостелнство 22З же формулам, что и векторы взаимного базиса в /с, т. е. Ч: =4>1.- (9) Мы можем, таким образом, сформулировать следующее правило: при переходе от старой систел/ы координат к новой объекп>ы, имао/цие нижний индекс, преобразуются матрицей йсз(), объекты, имеющие верхний индекс, преоброзу/опкя матриией йК 2, обратной к ))с/з )~. Тот факт, что матрица ((Ьз~~ нвляется обратной к матрице )! ф)„выра>кается соотношениями а/ ( а/ с//> =- б„б/с = бо 5. Пространство, сопряженное к евклидову. Ограничимся для простоты евклидовым пространством над полем действительных чисел.
Ле м и а. Пусть /т есть и-мерное евклидова пространство. Тогда калсдую линейную функцию в нем можно записать в виде /(х) =(х, у), еде у — фиксированный вектор, оонозначно определяемый линейной функцией /. Обратно, каждый вектор у определяет линейную функцию / (х) =-(х, у). Доказательство. Выберем в >( некоторый ортогональный нормированный базис е„е„, ..., е„. Линейиан функция /(х) в этом базисе может быть записана в виде 1(х) =- аД'+ а,К|+... +аД".
Введем вектор у с координатами а„а„..., а„. Так как базис е„е„..., е„— ортогональный, то (х, у)=а1з'+а с" +... +а„с". Иы доказали, таким образом, существование такого вектора у, что для любого х имеет место равенство /(х) =(х, у). Докажем теперь, что такой вектор определяется однозначно. Пусть )(х)=(х, у,) и /(х)=(х, у,).
Тогда (х у1) =(хю уз)> понятиео тензопдх (Г11. 1У т. с- (х, у,— у,) =-О для любого х. Следовательно, у,— у, =О. Однозначность доказана. Таким образом, в случае евклидова пространства мы можем каждый элемент ) из )с' заменить соответствующим элементом у из )с и при этом вместо ()„х) писать (у, х). Так как при одноврел1внним изучении пространства и сопряженного пространства мы упогпрвбляем лишь обычные для ввкпюров операции и операцию ()', х), свяэываюи(дю элементы ) е)(' и ХС )(, то л1ы лижем в случае евклидова прсс1нранства э мвнить ) на у, )1' на К и (), х) на (у, х), т. е.
отождествить евклидово пространство с сопряженным к нему пространством )с' а). Это выражают иногда и так: в евклидовом пространстве можно заменить ковариантные векторы контравариантными. При таком отождествлении пространста )т и сопряженного к нему пространства )е' понятие ортогональности векторов хЕ Й и ~Ей', введенное в пункте 2, переходит в обычное для евклидова пространства понятие ортогональности двух векторов из )г.
Пусгь е„е„..., е„— произвольный базис в гг, а )1, )а, ..., (х — взаимный с ним (биортогональный) базис в гг'. Так как в случае евклидова пространства )т н К' отождествлены, то лгьг можем считать векторы биортогонального к ег базиса )» также векторами из )г. Выясним, как найти в этом случае по базису е„е„..., е„ базис )1, )а, ..., )а. Выразим сначала в; через )»: Ег = д1»)"». Нам нужно найти коэффициенты дг».
Для этого умножим скалярно обе части равенства на в,: (ен е,) = дг» ()», е„). *) ЕСЛИ й — аффнННОЕ П-МЕРНОЕ ПРОСтРаНСГНО, тО гг' таК1КЕ п.мерно и, следовательно, )г и и' иаоморфиы. Но если бы мы отождсствилн й и й', нам прищлось бы аместо (й х) писать (у, х), Гдс у, Х С гг, т. Е. МЫ тсы СаМЫМ ВВЕЛИ бЫ Н гс СКаЛярНОЕ Преааведение. танзоны (ео е„) =д!»б„"=-дм. Итак, если базис )» биортогоналеи к базису еп то е! = у;»~», (10) где матрица д!» вычисляется по формуле Км=(ен е») Отсюда, разрешив соотношение (10) относительно ~', имеем: 1т = ут»е», где Ут» — матРица, обРатнаЯ к дт», т.
е. у'"у„» = — б». Уа раз«не«не. Показать, ато дт т») (1 1) й 24. »ензоры 1. Полилииейные фун«ции. В первой главе мы науч!!ли линейиь!е и билинейные функции в а-мерном аффиниом пространстве. Их естественным обобщением являются полилипейные функции, зависящие от произвольного числа векторов. Прн этом мы будем рассматривать функ- ции, зависящие как от векторов из 1с, так и от векто- ров из )г'. Оп р ел е л е н и е 1. 1толилияейяой функцией 1(х, у, ...; 1, у, ...), зависящей от р векторов х, у, ...
Е тт' и д векторов 1, д, ... ~ Я'(К' — пространство, сопряженное к К), называется срункция, линейная относительно калсдого из аргументов, когда остальные аргументы фиксированы. Например, если зафиксированы все векторы, кроме первого, то 1(х' + х", у, ...; 1„ д, ...) = ='1(х, у,'.'.. 1, у, ...)+1(х", у, ...; 1, у, ...), 1(Хх, у, ...; 1, а, ...) =И (х, у, ...; 1, а, ...). Так как, в силу взаимности (биортогональности) бази- сов !"» и е., (1», е,)=б», то понятие о твнзоехх ~гл. ~ч Аналогично 1(х, у, ...; Г+(", д, ...)= =1(х у, ...; г', я, ...)+1(х у, ...; 1", я, ...), 1(х.у, ...;р~,д, ...) —.н1(х,у, ...;(,д, ...).
То же самое н для других аргументов. Полилинейную функцию, зависящую от р векторов из 1т (контравариантных векторов) и д векторов нз К' (ковариантных векторов) мы будем называть полилияейной функцией шипа (р, д). Рассмотрим некоторые поли- линейные функпии. Простейшие полилинейные функции †э функции типа (1, 0) и типа (О, 1). Полилинейная функция типа (1, 0) — это линейная функция от одного вектора в пространстве Я, т.
е. вектор пространства Й' (ковариантный вектор). Аналогично, как это было показано в п. 3 предыдушего параграфа, полилинейная функция типа (О, 1) задает вектор нз К (контравариаитиый вектор). Полнлинейные функции, зависящие от двух векторов (билинейные функции), бывают трех типов: а) функции, зависящие от двух векторов из пространства 1т,— это введенные в 5 4 билинейные функции в пространстве )т; р) функции, зависящие от двух векторов в пространстве й', †э билинейные функции в К'; у) функции, зависящие от одного вектора из К и одного вектора из Й'.
Функции третьего типа тесно связаны с линейными преобразованиями. Действительно, пусть у= Ах — линейное преобразование в К. Построим билинейную функцию (), Ах), линейно зависящую от векторов х~1т и ~Ей'. Мы можем, таким образом, каждому линейному преобразованию в й однозначно сопоставигь билинейную функцию типа у). твнзоры Как н в $ 11 главы 11, можно доказать н обратное, т. е. что каждой бнлннейной функции типа т) отвечает лнвейное преобразовапке в й.
2. Выражения для полилинейной функции в данной системе координат. Переход от одной системы координат к другой. Выясним. как выражается полилинейная функция через координаты тех векторов, от которых она зависит. Для того чтобы не писать слишком длинных формул, проведем рассмотрение на случае полилинейной функции 1(х, у; 1), зависящей от двух вскторов нз й и одного вектора из 11' (функция типа (2, 1)). Выберем в й некоторый базис е„е„..., е„, а в й'— взаимиый с ним базис 1'г, )а, ..., 1". Пусть х =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
