И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

2 этого параграфа, где й', соотв. т~т и т. д.,— координаты векторов х, соотв. у и т. д. в базисе еа Так как с полилинейной функцией однозначно связан тензор, то мы получили тем самым тензор, удовлетворяющий поставленным условиям. 4. Тензоры в евклидовом пространстве. Если )с есть и-мерное евклидопо пространство, то, как мы видели в п. 5 $ 23, можно установить изоморфное соответствие твнзооы между 11 и Я' так, что если уЕЯ соответствует элементу ~ЕЛ', то (1, х) =(у, х) для любого хЕ Я. Если мы теперь в полилпнейной функции, зависящей от р векторов х, у, ...

из Я и о векторов 1, д, ... из К, заменим векторы из К им соответствующими векторами и, о, ... из Я, то мы получим полилинейную функцию 1 (х, у, ...; и, о, ...), зависящую от р+д векторов из Я. Найдем коэффициенты функции 1(х, у, ...; и, о, ...) по коэффициентам функции 1(х, у, ...; ), у, ...). Пусть а,","' †коэффициен полилинейной функции 1(х, у,,; 1, д, ...), т. е.

аД;; =1(е,, е„...; 1', 1'„...), и пусть Ь;,. „. — коэффициенты полилииейной функции 1(х, у, ...; й, о, ...), т. е. Мы доказали в п. 5 З 23, что в евклидовом пространстве векторы еь базиса, биортогоиального 1', выражаются через векторы базиса 1~ по формулам =уД где угк —— (ен е„). Подставляя вместо е„... их выражения, получаем Ь, „=1(ео е ...; е,. е„...)= =1(ео е,, ...; д„,)", у 1в, ...)= =д.,д„... 1(е„е,,; 1-, )з, ...)= дф... =Иагуз ... ац ,',,'.

Ввиду установленного соответствия между полилинейными функциями и тензорами мы можем сформулировать полученный результат для тензоров: Если аЦ'",— тенэор, построенный в евклидоеом пространстве, р раэ ковариантный и д раэ контравариантный, то по пел~у ложно построить навык тгнэор Ьу являюи(ийся р + д раэ ковариантнылк Эта операция 240 ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ Егл, тч называется операцией опускания индексов.

Она определяется формулой оВ... Ьап .. та... = йотйаз ° - ° ац ... ° н,а является дважды ковариантным тензором. Действительно, д;а= (го г„) представляют собой в данной системе координат коэффициенты некоторой билинейной формы, а именно скалярного произведения. Ввиду его связи со скалярным произведением (метрикой) пространства тгнзор н,а называется мгтричгским тгнзором. Совершенно аналогично операции опускания индексов можно ввести операцию поднимания индексов с помощью формулы (Уь ..

м... и айаг где д'а имеет смысл, указанный в 2 23, п. 5. у и р аж не н не. Показать, что а~а — дважды контравариантныа тензор. 5. Операции над тензорами. Ввиду установленной связи между тензорами и полилинейными функциями мы будем определять операции над полилинейными функциями. Запись полученных результатов в произвольном базисе даст нам соответствующую операцию над тензорами. Сложение тензо ров. Пусть Е'(х, йэ ...; Е, д, ...), Е" (х, р, ...; 1, д, ...) — две полилинейные функции от одного и того же числа векторов из Ет и одного и того же числа векторов из Ег'. Определим их сумму е(х, у, ...; Е, д, ...) формулой Е(х,у, ...;Е,н, ...)= =Г(х,у, ...;Е,д, ...)+Е(х,р, ...;),д,.„,).

Ясно, что эта сумма есть снова полилннейная функпия от того же числа векторов из Ет' и из Я'. С,чожение тензоров определяется поэтому формулой: Г5... 'ж... Гт ац '..'. = ац," ' + ац Умножение тензоров. Пусть Р(х, у, ...; Е, и, ...) и Е'(г, ...; Ен ...) 24$ твнзогы з 24~ — две полилинейные функции, из которых первая зависит от р' векторов из Я и д' векторов из )(", а вторая † р" векторов из К и д" векторов из К'.

Определим функцию 1(х, у, ..., г, ...; ), д, ..., й, ...) формулой 1(х,у, ...,г, ...;~,д, ...,й, ...)= =Г(х, у, ...; ~„д, ...) 1" (г, ...; й, ...). Функция 1 называется произведением полилинейных функций 1' и 1". Покажем, что 1 есть полплинейная функция, зависящая от р'+р" векторов из Я и д'+д" векторов из )с'.

Действительно, при проверке того, что 1(х,у, ...,г, ...;Г,д.....й, ...) есть полилинейная функция, мы фиксируем, по очереди, все век.горы, кроме одного; при этом ясно, что 1 есть линейная функция от вектора, оставшегося незафиксированным. Выразим компоненты тензора, отвечающего произведению полилинейных функций 1' и Г„через компоненты тензоров, отвечающих самим этим полилинейным функциям. Так как ай .. =1" (еы ео ...; 1', )", . ), кми ... г$...

м... ацм '..". = аи ."' уам '..". Эта формула определяет, таким образом, произведение двух тензоров. Свертка те нзора. Пусть 1(х, у, ...; ~, д, ...)— полилинейная функция, зависящая от р векторов х, у, ... из К(р) 1) и д векторов ~, д, ... из Я'(д~ 1). Мы построим по ней полилинейную функцию, ззвисящую от р — 1 векторов из )т и д — 1 векторов из Я'. Выберем для этого какой-либо базис е„ е„ ..., е„ в Я и взаимный с ним базис )', Г', ..., 1" в К'.

Будем теперь вместо х и ) подставлять соответственно е„г', г„)', ...; а„, )" ПОНЯТИИ О ТВИЗОРАХ сгл. 1ч и рассмотрим сумму *) У(у, ...; ц, ...)=((е„у, ...; )"', у, ...). (7) Ясно, что каждое слагаемое, а значит и вся сумма, есть полилинейная функция от у, ... и у, ... Покажем, что, хотя каждое слагаемое зависит от выбора базиса, построенная нами сумма от выбора базиса уже не зависит. Перейдем для этого к другому базису е'„г,', ..., е„' и соответственно к взаимному с ним базису г", г'е, ..., )'".

Так как мы не меняем при этом векторов и, ... и д, ..., то мы можем их фиксировать и доказывать наше утверждение для билинейной формы А (х; )). Итак, нам нужно доказать, что если А(х; Г) — билинейная форма, то А (е; га) =- А (е; гчх). Если переход от базиса е„е„..., е„к базису е'„е,', ... ... „г', задается формулой е,: =-- с,"ее, то переход от базиса )", )'а, ..., Г'" к базису Г", )з, ..., Гч задается формулой )" = се)'г. Поэтому Л (е„", Гте) = А (с„'г„; Г'о) = с" А (ее., Г'о) = = Л (е; со("*) =- А (ее; га), т. е. А (е„; г'") действительно не зависит от системы координат.

Найдем по коэффициентам формы ( (х, у, ...; (, д, ...) коэффициенты формы (7). Так как а~' ..". = у (Егч ...; 1', ...) н '('~* " ' )' " ) =((Еч '» ". ' ~ ~' " ) то й (8) *) Напоминаем, что если в некотором выражении один и тот же индекс (в данном случае а) встречаетси вверху и внизу, то по нему производится суммирование. 243 тензоеы 4 24] Тензор а~',";, полученный из ич'''" по г)зормуле (8), нажиаетоя сеерткой тензорп аД ' ' '. Ясно, что свертку мы можем провести не обязательно по первому верхнему и первому нижнему индексам. Обязательно лишь„чтобы суммирование производилось по одному ковариантному и одному контравариантному инзексу. Если бы мы суммировали, например, по двум нижним индексам, то получеяиая система чисел не обраювывала бы тензора (так как при переходе от одной "истемы координат к другой эти числа не преобразовывались бы по предписанному тснзору закону преобразования).

Заметим, что в случае свертки тензора ранга два мы получаем тензор нулевого ранга (скаляр), т. е. число, не зависящее от системы координат. Рассмотренная нами в п. 4 операция опускания индексов есть не что иное, как свертка произведения данного тензора и метрического тензора д;„(взятого сомножителем соответствующее число раз). Аналогично, поднимание индексов есть свертка произведенияданного тензора и тензора а'л. Приведем еще пример. Пусть аФ~ — тензор ранга три, а Ц" — тензор ранга два.

Их произведение есть тензор сф=апЬ'," ранга пять. Если теперь свернуть этот тензор, например, по индексам з' н т, то мы получим тензор ранга три. Если мы полученный теизор еще раз свернем, например, по индексам ) и й, то мы получим теизор ранга один (вектор). Пусть а) и Ь~ — два теизора ранга два. Умножением и свертыванием можно построить по иим новый тензор ранга два: сс ! с) = гч Ьа- Если тензоры а~; и Ь'„трактовать как матрицы линейных преобразований, то полученный тензор есть матрица произведения этих преобразований. Мы можем также построить поданному тензору ранга два а) ряд инвариантов (т. е. чисел, не зависжцих от системы координат,— скаляров), а именно: ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ (Гл.

1у Введенные нами операции над тензорами дают нам возможность по данным тензорам строить ряд новых, инвариантно связанных с ними, тензоров. Приведем некоторые примеры. Операцией умножения мы можем из векторов построить тензоры сколь угодно высокого ранга. Пусть, например, 5' †координа контравариантного, а т). — координаты КОВаРНаитНОГО ВЕКтОРа. ТОГДа й т)у ЕСТЬ тЕНЗОР РаНГа Дна. у Аналогично, взяв ббльщее число векторов, можно получить тензоры более высокого ранга. Заметим, что не всякий тензор можно получить умножением векторов. Можно, однако, доказать, что всякий тензор может быть получен из векторов (тензоров ранга один) операциями сложения и умножения.

Целым рациональным инвариантом от данной системы тензоров называется многочлен от компонент тензора, который не меняется прн замене компонент тензоров в какой-нибудь системе координат их компонентами в другой системе координат. Имеет место следующан теорема, которую мы не будем доказывать: Если задана некоторая система тензоров, то всякий целый рациональный инвариант, построенный по данным тенаорам, можно получить нз них операциями перемнозкения тензоров, сложения и умножения на числа и полного свертывания (т. е. св ртывания по всем индексам). 6. Симметрические и зиакопеременные (антисимметрические) тензоры.

Определение. Тензор наживается симметрическим по данным индексам, если при любой перестановке зпшх индексов компоненты тензюра не меняются*). Например, симметричность тензора по первым двум индексам означает, что имеет место равенство и... и... а)а",, '= ам".... Если ) (х, у, ...; у, д, ...) — соответствующая тензору агь'" полилинейная форма ((х, у, ; у, д, ) = ага'...йгт)а ... К,)зг .... (9) то симметричность тензора по некоторой группе индексов, как это непосредственно видно из формулы (9), эквива- *) Само собой разумеется, что речь идет лишь об индексах одной и той же группы (верхней нли нижней).

Характеристики

Список файлов лекций