И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Зададим базис е„..., е„в пространстве )с, и базис 1„..., га в пРостРанстве й,. Тогда вектоРы е; ®( образуют базис в тензорном произведении К, (Х) )с,. ") Легко поовеппть, что определение корректно, т. е. равные выражения преобрааукпся в равные. твнзорнов пиоизвадвнив Пусть А=11агу(( — матрица преобразования А в базисе е„..., е„;  — матрица преобразования В в базисе г«$ ° .. у Гп, т.
е. и Ае„= ,'~~ агае„ВГ« = ~~гйу«Г . 1=1 Тогда С=-А®В преобразует базисные векторы еа®1« по следующей формуле: С(еаза)г)=(Ае„)®(ВГг) =~ "Рагьйуг(егф~;). «=1 1=1 Таким образом, матрица линейного преобразования С есть матрица С='йс;.,)! порядка тп, строки и столбцы которой занух«ерованй парами индексов(С 1),1=1,..., гп; 1=1, ..., и. ПРи этом анны=-аебут. ТакаЯ л«атРица С называется кронекеронским парогичеедейиелг лгатриц А и В.
У п ражи ен не. Доказать, что определитель кронекеровского произведения матриц А н В равен произведению определителей матриц А н В, 7. Понятие функтора. В этой главе иы рассмотрелн несколько типов операций над линейными пространствамн, как, например, операции перехода к сопряженному пространству или тензорное умножение. Дадим обшее определение таких операций.
Мы говорим, чпю задан ковариантный функтар (или, более подробно, ковариантний функ«пор в категории линейны пространсгпв*), если задано правило, сопсктавлэюи«гг каждому линейному пространству Я некоторое линейное пространспию Г (К) и каждому линейному преобразованию А: йг — ч)7 некоторое линейны пргабраговапиг Г (А) прасгпранспма Г (Яг) в г'(г(«) (в наших обозначениях, Г (А): Г (Йг) Г (Йэ)). При юпам предполагаются вмполнгнкьочи следуюи1ив условия: 1) если! — единичное преабразовинигв Й, то Г(1) — единя«наг преобразование в пространстве Г Я); 2) если А: 17« — ч )7« и В: 77« — ь Кэ — два липсйнил прсобраэования, то Г(ВА)=Г(В) Г(А). Примером ковариантного функтора является тензорное умножение. Именно пусть 5 — фиксированное просграцство.
Отнесем *) Понятие функтора можно ввести для произвольной ватегорин. Обшие определения кзтегорни и функтора см., например, в книге: С. Лен г, Алгебра, «Мир«„1968. понятие о тензорах 1гл, гч каждому линейному пространству )( пространство р(Н)=)(ОК5 и каждому линейному преобразованию А: )ст — ч. Рз линейное преобРззование Р(А)=А(К)1 пРостРанства Р„(к)5 в !саОК5. НетРУдно проверить, что при этом свойства 1) н 2) выполняются; таким обратом, à — ковзриантный функтор.
Аналогично определяется контравариантный функтор. Мм гоюрим, что задан контраяариантнмй функтор Р, если мя)ано правила, сояостаеляюире каждому линейному пространству й некоторог линейное атас~прилетаю Р (!1) и калсдому линейному нреобразоаанига А: Вт — ~ )т некоторое линейное преобразования с (А): Г ()тз) — 1. Р ()тг). При атом йредполаеаются яьтолнеиньили услолие 1) и услали. 2') есю А: )сг — ь )сз и В! В, йз — даа линейныл преабразогаиия„то Р (ВА) = Г (А) Р (В). Прял!ерем контравариантного функтара является операшгн перехода к сопряженяым пространствам. Именно отнесем каждоиу линейному пространству Й сопряженное ему пространство Р Щ=В' и иаждому линейному преобразованию А: Йт — ~ Йз сопри>некиее преобразование Р (А)=А'.
Нетрудно проверить (см. и. 2 $ 23), что при этом свойства 1) и 2') выполня!отса; такни образом, Р— контраьариантный функтор. 3 а д а ч а. Пусть 5 — фиксированное линейное пространство. обозначим через Ноги ()с, 5) пространство всех линейных преобразований А! )1 5. для л!обого линейного пространства )1 положим с ()1)=Ноги(В, 5). Мы определили, таким образом, операцию г" на мнохсестве линейных пространств. требуется определить Р также на множестве линейных преобразований таким образом, чтобы Р стало контравариантным функтором. 8.
Симметрическая и внешняя степени. Наряду с тензорным произведением И ® )с полезно также рассматривать симметрическую степень и внешнюю степень пространства )с; особенно важным понятием является внешняя степень. Зги пространства строятся аналогично тензорному произведению. Начнем с определения сна!метрического квадрата Б'()(). Напомнили, что элементами пространства )(Е)тг являются выражения х, От) Ут+...
+ха®У„, (6) где хт, у,— элементы из )с. При этом предполагается, что )) (х,+х,)®у — х,®у — х,®у=О; л) х®(у!+у,) — х®у,— х®у,=О; 3) (Лх) ® у — х(()) (Лу) = О. танзОРнОе пРОизведение Элементы х®у к у®х в )с Я)т являются прк у~х, по определению, различными. Однако иногда удобно ввести пространство, в котором х®у=у®х. Для этого дополним условия 1) — 3) следующнм: 4) хв)у — у®х= — О. Пркравняем также нулю и все лннейнь1е комбинации выражений 1), 2), 3) к 4). Два выражения Х к Х' вкда (6) будем теперь считать равными, еслк для ннх существуют такие выражения с=О к Т=О, что Х+2 и Х'+Я' совпадают. В результате мы получим линейное пространство, элементы которого — классы равных между собой выражепкй вида (6), а операции сложения к умножения на чнсло определены, как и для тензорного произведения Я ® )с, по формулам (2) и (3).
(Чктателю предлагается убедиться в корректности определений этих операций к в том, что все аксиомы линейного пространства здесь выполнены.) Это пространство называется симметрическим квадратолг пространства 1т к обозначается через В* (И). у п р а ж н е н и е. доказать, что размерность 5з (й) равна л (л+1) , где л †размернос й.
2 Другим важным понятием является внешпкй квадрат )т. Чтобы это пространство построить, дополннм условия 1), 2) и 3) следующим условием: 4') х®х= — О. После этого мы определим равенство двух выражеккй вцда (6) подобно тому, как это уже делалось для тензорного произведения К(х) 4' к для симметрического квадрата Зз(К). Получаемое линейное пространство, эле менты которого — классы равных между собой выражений вида (6), называется внесиним квадратом пространства гт и обозначается через Я /~ )г (по-другому.
Л гт). Лемма. В пространстве )т' р, )с имеет месгло равенство х®у+ р(х)х=О. (7) ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ (гл. 1У В самом деле, имеем: х СХ) у+ у Я х = (х+ у) ф (х+ у) — х СХ) х — у ® у. Таким образом, выражение х6) у+уфх является линейной комбинацией выражений вида 4'), и, значит, оно равно нулю. Выражение х®у, рассматриваемое как элемент из )( Л йг, называют внегиниж произведением векторов х и у н обозначают так: х Л у. Равенство (7) означает, что внешнее произведение векторов антисимметрнчно: х Л у= у Л". Покажем, что 5з(Н) и Н л Н можно определять и как подпространства в Н®йй точнее, в Н®Н имеются подпрострэнства, естественным образом нзоморфные 5з(Н) и Н л Н.
Для этого зададим в пространстве К(к) Н линейное преобразование о, опрелеляемое по формуле о (х г (к) уг+... + хз ® уа) = — ус (к) х, +... + уз Я хз. Очевидно, что его квадрат есть единичное преобразование: от=1. Рассмотрим два надпространства в Н (я) Н вЂ” подпространство Н, элементов Л', для которых оХ=-Х, и подпространство Н, элементов Л, для которых пХ= — — Х. Этн подпространства имеют нулевое пересечение, так нзк из условий оХ=-Х и оЛ=- — Х следует, что Х==-О.
Покажем, что их прямая сумма есть все пространство Н КН. В самом деле, представим любой элемент Х из Н(к) Н в виде суммы 1 1 Х-.=Х,-1-Хз, где Х,= — —,-(Х-1-оХ) и Х = — (Х вЂ” оХ). Очевидно, 2 2 что оХ, —.Х,, т. е. Х, ~ Нь н аХ,=-.— Х„т. е. Хз С Н,. Покажем теперь, что прв естествевноз1 отображении К® Н на 5Я(й) в нуль переходят все элементы из Н„и притом только онн. В самом деле, пусть Х ~ Н®Н переходит при этом отображении в нуль; тогда Х равно линейной комбинации выражений вида 4), т.
е. выражений х®у — уОХх; следовательно, пХ= — Х, т. е. Х ю Нз. Обратно, пусть Х ю Н, т. е. аХ= — — Х; тогда Х = 1 = — (Х вЂ” оХ); следовательно, Х равно линейной комбинации выра- 2 жений вида 4) и, значит, переходит в нуль при отображении Н®Н на 5з(Н). Поскольку К ® Н является прямой суммой Н, и Нз, то этим доказано, по при отображении Н бс) Н нз 5з(Н) подпространство Н, изоморфно отображается нз 5з(Й). Итак, мы установили изоморфизм между 5з(Н) и подпространсгвом Н, ~ Н (к) я элементов Х, для котг рых аЛ =Х. Аналогично устанавливается изоморфизм между Н д Н и подпространством Нз ~ Н ® Н элементов Х, лля которых оХ=. — Х. У п р з ж не н не.
Пусть е,, ..., е„— базис в Н. Доказать, что элементы е; л ег, где 1 < 1, образуют базис в Н л К. тензояноа пэоизведениа $251 9. Внешняя степень Л )с. Теперь дадим определение внешней степени Л /с пространства Я для произвольного т. Рассмотрим т-ю тензорную степень ®)с. Нан помним, что элементами пространства Я /с являются формальные суммы выражений вида (8) х,®х,О;)... ()Ох, где х, Е )с, причем некоторые из таких сумм считаются равными между собой. Приравняем дополнительно нулю все выражения вида (8), у которых совпадают хотя бы два сомножителя, а также любые их линейные комбинации.
То линейное пространство, которое прн этом получается, называется внешней т-й степенью пространт ства )с и обозначается через Л )с. Выражение х, ® х, ®... (х) х„, рассматриваемое как элемент из Л )с, называется внешним произведением векторов х„..., х„и обозначается х, Л х, Л ... Л х„. Нетрудно убедиться (подобно тому, как это уже делалось для случая двух сомножителей), что внешнее проиэведение векторов антисимметричнс, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
