И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если поставить себе целью приведение матрицы к какому-нибудь диагональному виду, отбросив требование делимости, то задача решается проще. Действительно, для того чтобы обратить в нуль все элементы первой строки и первого столбца кроме а„(Л), достаточно, чтобы эти элементы (а не все элементы 210 каь!Оь!Нческип вид линейных ЙРеоБРАзовднии[гл, гн матрицы) делились на а„(е ).
Как видно из доказательства леммы, для того чтобы этого достигнуть, требуется гораздо меньшее число элементаоных преобразований, чем для приведения к нормальной диагональной форме. Обратив в нуль все элементы первой строки и первого столбца кроме диагонального, мы можем проделать то же самое с оставшейся матрицей (и — 1)-го порядка и т. д., пока матрица не будет приведена к диагональному виду. Этим путем можно привести матрицу к различным диагональным формам, т. е. диагональная форма не определена однозначно. В следующем пункте этого параграфа мы покажем, что нормальная диагональная форма данной )г-матрицы определяется уже однозначно. Ун ражи ение.
Приаеетн "ь-матрицу и нормальной диагональной форме. Ответ. 2. В этом пункте мы докажем, что нормальная диагональная форма данной матрицы определена однозначно. Для этого мы построим систему многочленов, связанных с данной е.-матрицей, которые не меняются при элементарных преобразованиях и которыми, как мы увидим, нормальная диагональная форма е,-матрицы вполне определяется. Пусть дана произвольная ),-матрица.
Наибольший обший делитель всех миноров й-го порядка данной ).-матргсцы обозначим через геа().). Так как наибольший оощий делитель определен с точностью до постоянного множителя, то будем считать, что старший коэффициент у 1еа(Ц ранен единице. В частности, если общий наибольший делитель миноров й-го порядка равен постоянной, то мы полагаем е)а(г,) ---1.
Докажем, что элементарные преобразования не меняют многочленов т) (1,), т. е. что у эквивалентных ).-матриц многочлены 1еа(),) совпадают. ммлтгнцы Для элементарных преобразований вида !', переставляющих строки или столбцы, это очевидно, так как при нвх каждый минор А-го гюрядка либо вовсе не меняется, либо меняет знак, либо заменяется другим минором й-го порядка, что, конечно, не меняет общего наибольшего делителя всех таких миноров.
Аналогично„не меняют 0„(Л) элементарные преобразования вида 3', так как при этйх преобразованиях миноры самое большее умножаются па постоянное. Рассмотрим теперь элементарное преобразование вида 2', например, прибавим к 1-му столбцу 1 й, умноженный на ~р(Л). При этом минор й-го порядка вовсе не изменится, если он содержит и 1-й и 1-й столбцы, либо если ои не содержит нн одного из них. В случае же, если минор содержит 1-й столбец и пе содержит 1-го столбца, то его можно представить как комбинацшо двух миноров, которые имелись у исходной матрицы.
Таким образом, наибольший общий делитель миноров й-го порядка и в этом случае не изменится. Если все миноры порядка й, а следовательно, и более высоких порядков, матрицы А(Л) равны нулю, то мы будем считать г) (Л) =— Ох+, (Л) = †.. = =г)„(Л) =О. Заметим„ что из совпаденйя у всех эквивалентных матриц многочлевов Р (Л) следует, что эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Найдем многочлены Вь(Л) для матрицы, приведенной к нормальной диагональной форме: Е,(Л) О ...
О О Е.,(Л) ... О О О ... Е (Л) Заметим, что у диагональной матрицы отличны от нуля только главные миноры, т. е. миноры, в которые входят строки и столбпгы с одинаковыми номерами. Эти миноры имеют вид Е;, (Л) Ец(Л) ... Е;„(Л). Так как Е,(Л) делится на Е,(Л), Е,(Л) делится на Е„(Л) и т. д., то наибольший общий делитель миноров первого порядка О,(Л) равен Е,(Л). Так как все много- члены Ев(Л) делятся на Е,(Л), а все многочлены кроме Е, (Л) делятся на Е, (Л), то произведение Е1 (Л) Е- (Л) (1 ( () 212 КАноническии Вид линейных пРеОБРА3ОВАний[гл, [н всегда делится на минор Е,(Л) Е, (Л). Таким образом, Т1,(Л)=Е,(Л) Е,(Л).
Так как, кроме того, все Е»(Л) кроме Е,(Л) и Е,(Л) делятся на Е,(Л), то Е;(Л) Е,(Л) Е»(Л) (1<1(й) делится на минор Е,(Л)Е,(Л)Е,(Л) и, следовательно, О,(Ц=-Е,(Л) Е,(Л) Е,(Л). Таким жс образом для матрицы (4) »)»(Л)=Е,(Л)Е,(Л) ... Е»(Л) (й=1, 2, ..., и). (6) Очевидно, что если, начиная с некоторого г, Е,„, (Л) =- =Е„,(Л)=... =Е„(Л)=0, то О,+,(Л)=0,+,(Л)=...
... — "'й„(Л) = О. Отсюда получается, что для 1;матрицы, имеющей нормальную диагональную форму (5), диагональные элементы Е„(Л) вычисляются по формулам ) в,[л) » ' =В»,[Л). При этом, если 1)„,(Л)=... =О„(Л)=0, то надо положить Е„,(Л)=-... =Е„(Л)=0. Многочлейьи Е (Л) называются инвариантными мнолсителями. В $ 20 мы уже определили их для матриц вида А — ЛЕ. Теорема 2.
Нормальная диагональная форма данной Л-матрицы А (Л) определяется по ней однозначно. Если Т1»(Л) (й=2, 3, ..., т) — наибольший общий делатель миноров й-го порядка матрицы А (Л), а В,+, (Л) =... ... =- Р„(Л) = О, то элементы нормальной диагональной формы (5) определяются по формулам Е„, (Л) =Е,,(Л) =... =-Е„(Л) =О. Доказательство.
Мы показали, что при элементарных преобразованиях многочлены В» (Л) не меняются. Поэтому, если матрица А (Л) эквивалентна диагональной нормальной матрице (5), то 0„(Л) у них совпадают. Так как для матрицы (5) мы получили, что Ет» (Л) = Е,(Л) ... Е, (Л) И = 1, 2, ..., г; г ( п) ммхтоицы 2!3 и что В,+,(Х)=-Р,,(Х)=... =Е!,(Х)=-0, то теорема доказана.
Следствие. Для того чтобы две Хматрицы А(Х) и В (Х) были вквивалентны, необходимо и достаточно, !тобы для них сот!вдали многочлены О,(Х), г),(7,), ..., В„(Х). Действительно, если многочлепы Е1в(1.) у А (Х) 'и В(Х) совпадают, то эти матрицы эквивалентйы одной и той же нормальной диагональной Х-матрице и, следовательно, эквивалентны между собой. 3. Назовем Х-матрицу Р (Х) обратимой, если матрица 1Р (Х)]-' также есть ),-матрица. Если Ве1 Р (Х) ранен постоянной, отличной от нуля, то Р(Х) обратима. Действительно, элементы обратной матрицы равны минорам (и — 1)-го порядка, деленным на Е!е(Р(Х), т. е. в нашем случае опи будут многочленами от Х и, значит, 1Р(Х)1 будет Х-матрицей.
Обратно, если Р (1,) обратима, то Е!е( Р (Х) =сонэ(~0. В самомделе, пусть 1Р(Х)) ' =... Р,(Х). Тогда Ве1Р (Х)Ие(Р,(Х)=1, а произведение двух много- членов может быть тождественно равно единице лишь в том случае, если многочлены суть отличные от нуля постоянные. Таким образом, мы показали, что Х-матрица обратима пюгда и только тогда, когда ее определитель есть постоянная, отличная оо! нуля. Все обратимые матрицы эквивалентны единичной матрице. В самом деле, определитель обратимой матрицы равен постоянной, отличной от нуля, и, значит, 0„(Х) =-1. Так как В (Х) делится на (л„(к), то и Е!л(Х)=-1 (я=-1, 2, ..., п).
Поэтому все инвариантные множители Е (Х) обратимой матрицы равны 1, и нормальная диагональная форма для них будет совпадать с единичной матрицей. Теорема 3. Для того чтобы Х-л!атрицы А(Х) и В(Л) были эквивалентны л!глоду собой, необходимо и достаточно, чтобы существовали обратимые Х-матрицы Р (1.) и !,'~ (Ц такие, что А (Х) = Р (Х) В (Х) 1~ (Х). (7) Доказательство.
Докажем сначала, что если матрицы А (Х) и В (Х) эквивалентны, то можно подобрать обратимые матрицы Р(1,) и Я (Х) так, чтобы выполнялось равенство (7). Для этого заметим, что каждое элементарное преооразование Х-матрицы А (к) можно 214 КХНОНИЧВСКИИ ВИД ЛИНВПНЫХ ПГЕОВГХЗОВЛНИИ 1гл. гн осуществить, умножая А(Л) слева или справа на некоторую обратимую Л-матрицу — матрицу этого элементарного преобразования. Покажем это для всех трех типов элементарных преобразований.
Пусть дана Л-матрица а„(Л) а„(Л) ... а,„(Л) а„(Л) а„„(Л) ... а (Л) а„(Л) а„, (Л) ... а„„(Л) Чтобы поменять местами, например, первый н второй столбцы (соответственно строки) этой матрицы, надо умножить А (Л) справа (соответственно слева) па матрицу 010 ...0 1 О 0 ... 0 0 0 1 ... 0 (8) ООО ...1, полученную из единичной перестановкой тех же столбцов (или, что все равно, строк). Чтобы умножить второй столбец (соответственно строку) матрицы А(Л) на число а, нужно умножить А(Л) справа (соответственно слева) иа матрицу 1 0 0 ... 0 ~ 0 а О ...
0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 1, полученную из единичиои также умножением на а второго столбца (или, что все равно, второй строки). Наконец, чтобы прибавить к первому столбцу А (Л) второй, умноженный иа Ч~ (Л), надо умножить А (Л) справа на матрицу 1 О О ... 0 ~ р(Л) 1 О ... О 0 О 1 ... 0 (10) з!5 ммдтпицы полученную с помощью той же операции из единичной„ а чтобы прибавить к первой строке вторую, умноженную на гр(Л), нужно умножить А(Л) слева на матрицу 1р(Л)О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
