И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 31
Текст из файла (страница 31)
+х е )— — А (р,~, +... + р,~,) —... — А (ы,й, +... + в,й,). (3) Коэффициенты х„..., х; р„..., ре, ..., ы,; ..., ы, мы можем выбирать произвольно. Подберем их так, чтобы В правой части формулы (3) осталось как можно меньше слагаемых. Мы знаем, что каждой группе базисных векторов и-мерного подпространства )с', в котором преобразование А имеет нормальную форму„ отвечает свое собственное значение А„ Х, и т. д. Мы рассмотрим отдельно два случая, а именно разберем сначала случай, когда ни одно из этих собственных значений не равно нулю, а затем случай, когда это не так.
Разберем первый случай, когда Х, ~ О, )., ~ О, ... ..., Х„=,е=О. В этом случае, мы покажем, что вектор е' можно выбрать так, чтобы Ае' ==О, т. е. подобрать х„... ..., в, так, чтобы все слагаемые в правой части (3) сократились. Так как векторы каждой группы переходят при преобразовании в комбинацию векторон той же 1руппы, то векторы различных групп можно уничтожать независимо друг от друга. Покажем, как подобрать коэффициенты х„х.„..., хр, чтобы в правой части (3) сократились векторы е„е„..., ер. Члены, содержащие !94 кАнОнический Вид линейных пРеОБРАзОВАний 1гл. П1 эти векторы, имеют вид ае,+... +а е — А(х,е,+...
+х е )= =а,е,+... +а е — х,),е,— — х, (е, + Х,е,) —... — х (е, + Х,е ) =.— = (а,— х,Х,— х,) е,+(а,— х,Х,— х,) е,+... Приравнивая нулю коэффициент при е, определяем хр что возможно, так как ),4=0, за~ем, йриравнивая нулю коэффициент при е „определяем х, и так далее до х,.
Таким образом, мы уничтожили в (3) члены с е„е„... ..., е . Аналогично вычисляем другие группы коэффициентов, Мы получили, таким образом, вектор е', для которого Ае' =- О. Добавляя этот вектор к имеющемуся базису, получаем базис е', е„е„..., ер; 1„1„..., )е; ...; ЬО Ь„, ..., й, в (и+1)-мерном пространстве, в котором преобразование имеет канонический вид. Вектор е' образует прн этом отдельную группу с собственным значением, равным нулю (следовательно, с собственным значением т, если бы мы не рассматривали вместо А преобразование А — тЕ).
рассмотрим теперь второй случай, а именно пусть некоторым группам векторов базиса в п-мерном пространстве )с' соответствуют собственные значения преобразования А, равные нулю. Тогда в правой части формулы (3) у нас будут слагаемые двух сортов — соответствующие группам с отличным от нуля собственным значением и группам, для которых собственное значение равно нулю. С группами, у которых собственные значения отличны От нуля, мы можем поступить так же, как и в первом случае, т.
е. подбором коэффициентов уничтожить векторы в правой части (3). Допустим, что после этой операции у нас останутся, например, три группы слагаемых е„ значением, равным нулю, т. е. что )ч=-Х,=-Х,=-О. Тогда Ае' =- а е, +... + аре + (1,/, +... + (1,~„+ у,а, + ... — А(р,г,+... 1- р 1) — А(т,д,+... +ъ я„). (4) 1ЗЕ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [ГЛ.
ПИ Заменим теперь векторы е', е„е„..., е базиса векторами Е'„Е,', ..., Ее, Е'+„ а остальные оставим без изменения. Мы получим тогда нормальную форму преобразования, причем размеры первой клетки увеличились на единицу. Теорема полностью доказана. Мы видим, что в процессе построения нормальной формы нужно было различать два случая. 1. Случай, когда добавленное собственное значение т (мы его полагали равным нулю) не совпадает ни с одним из прежних собственных значений Х„..., 3„.
В этом случае добавлялась отдельная клетка первого порядка. 2. Случай, когда добавленное собственное значение совпадало с одним из уже имевшихся. В этом случае, вообще говоря, размер одной нз имевшихся клеток увеличивался на 1. Если же коэффициенты а, 11, у равны нулю, то, как н в первом случае, добавлялась яовая клетка. й 21. Иивариантные множители В этом параграфе мы укажем способ, дающий возможность находить жорданову нормальную форму линейного преобразования.
Из результатов этого параграфа будет также вытекать до сих пор еще не доказанная единственность этой формы. Определение 1. Матрицы А и А,=С 'АС, гдв С вЂ” произвольная невыргжденная матраца, называются подобными. Если матрица А„ подобна матрице А„ то и обратно, А, подобна А,. Действительно„ пусть А, =- С-'А,С. Тогда отсюда А,=-СА,С ', т. е. если положить С-'=-С„имеем: А,==С,'А,С, и, следовательно, А, подобна А,. иналгилнтные множители З 211 Легко также показать, что если две матрицы А, и А, подобны одной и той же матрице А, то они подобны между собой.
Действительно, пусть л=с л,с~ л=-с;~л,с~ Тогда С,'А,С,=С,'А,С„т. е. А, = С,С,'А,С,С,', и если положить С,С,' = С, то получим: А, =- С-'А,С, т. е. А, и А, подобны. Пусть А — матрица преобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица А заменяется подобной ей матрицей С-'АС, где С вЂ матри перехода от первого базиса ко второму Я 9).
Таким образом, подобные матрицы †э матрицы одного и того же линейного преобразования в различных базисах. Наша задача — по матрице преобразования построить инварианты самого преобразования, т. е. выражения, зависящие лишь от самого преобразования А. Другими словами, нам нужно построить функции от элементов матрицы, совпадающие для подобных матриц. Один такой инвариант установлен уже в ~ 10. Именно, там было доказано, что характеристический многочлен матрицы А„т. е. определитель матрицы А — ХЕ: О„(Х) = ~ А — ХЕ'1 не меняется при замене матрицы А подобной матрицей. Мы построим здесь ряд инвариантов, среди которых будет содержаться и характеристический многочлен; они будут полной системой инаариантое, в том смысле, что нз их совпадения для двух матриц следует подобие этих матриц.
Пусть А †произвольн матрица п-го порядка. Миноры й-го порядка матрицы А — ХЕ суть некоторые многочлены от ),. Обозначим через Вл (Х) их наибольший 198 <[АноннчеСКии Внд ЛИНЕЙНБ х ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [гл. ! <1 оби[ий делитель *). В частности, 0, (А) — определитель матрицы А — )Е, т. е. характеристический многочлен матрицы А.
В дальнейшем мы покажем, что все 0а(А) являются инвариантами. Заметим, что 0„(А) делится па 0„,(А). Действительно, по определению 0„,().) все миноры (и — 1)-го порядка делятся на 0„, (А). Разлагая определитель на сумму произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения, мы получаем, что и определитель 0а()) делится на 0 ,().). Аналогично, 0„ ,(),) делится на 0„ь(А) н т. д.
У яр аж пение. найти [2а[2) (ы=-.!, к, 3) для матрины (! ! Е) Юзчееаь [2а(2)=(А йе)а [2! (А)=[2! (!)=1' Л ем м а 1. Если С вЂ” прсч<зззльная невырожденная мап<рица, то общие наибольиьие делил<ели миноров й-го порядка матриц А — ).Е и С(А — )Е) совпади<от. Анало- ги и<се утверз<сдгние имеет места и для (А — 'АЕ) С. Доказательство. Строки матрицы С(А — )Е) являются линейными комбинапиямн строк матрицы А — ),Е с коэффициентами, являющимися элементами матрицы С, т. е.
не зависящими от )ь. Действительно, обозначим через ам элементы матрицы А — )Е и через па элементы матрицы С(А — ЛЕ). Тогда, например, а<ь = ~;смита, <=! т. е. элементы первой строки матрицы С(А — ).Е) явля<отея линейными комбинациямн строк матрицы А — ),Е с коэф- ф<ециентамн с<р Аналогично показываем это и для дру- гих строк. Поэтому минор матрицы С(А — ).Е) разлагается на сумму миноров матрицы А — ).Е с некоторыми числен- *) Наибольший общий делитель определен с точностью до чнслоаого множителя.
Мы выбираем 0ь(ь) так, чтобы старший козффиниент был ранен 1. И частности, если миноры й-го порядка взаимно просты, то гза(А)=-1. инаагихнти!ле иноиитвли а 2!! ными козффициентаыи. Следовательно, всякий делитель миноров й-го порядка матрицы А — ЛЕ будет такгке делителем миноров того же порядка матрицы С(А — ЛЕ).
Так как ог л!атрицы С(А — ЛЕ) мы можем перейти к матрице А — ЛЕ умножением на С-', то и сбратно, ка>кдый делитель миноров й-го порядка матрицы С(А — ЛЕ) является делителем миноров й-го порядка матрицы А — ЛЕ. Следовательно, у А — ЛЕ и С(А — ЛЕ) общие делители миноров й-го порядка совпадают. Л е и м а 2. У подобных л!ап!ри!1 ли!огсчлены Рь (Л) совпадаюа!. Доказательство. Пусть А и А'= — С 'АС вЂ” две подобные матрицы. Согласно предыдущей лемме, общие наибольшие делители миноров й-го порядка у А — ЛЕ и (А — ЛЕ) С совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
