И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из доказанной теоремы следует: Пусть А — сомогопрю«анно« хннгйное преобразование, о  — по»аз«нтехько определенное линейное пргоброзогокнг. Пусть Х, и= )х ... ~ Մ— собстггнные значения Л, а рг ~ рз ~... т. р„— собсп1згкные вночгнпл А+В; тогда Лам Иа. Действительно, всюду (Ах, х) ~ ((А + В) х, х). Следовательно, в любом (и — А+1)-мерном подпространстве Па имеет место неравенство: п))п (Ах, х)( п))п ((А-(-В)х, х). [Х, »)=1 <», «)=1 ХЕ Ла «ея« максимум левой части по всевозможныл) подпространпревосходит максимума правой чзсти. Так нак в силу максимум левой части равен ьэ, а л1аксимум правой )га иь, что и требовалось доказать. Значит, ствам (гь не формулы (3) равен рю то Перенесем полученные результаты на случай колгплексного пространства. Для этого нам придется заменить лишь лемму 1 следующей леммой.
Л е м м а 1. Пусть  — самосопряхгенное преобрааование в колшлексном просгпрансгпве, и своп)веа)сп)ву)ощая 17з линанные ПРеоаехзовхния [Гл. и ему эрлиалооа форма (Вх, х) не отрицательна, т. е. (Вх, х)) О для любь[х х. Тогда, если для мекоеиорого е (Ве, е) =О, то и Ве= — О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть [ — произвольное вещест- венное число, а й †вект. Тогда (В (е+ [й), е+ [й) ) О, илн, так как (Ве, е)=-О, то ЯВе, й)+(Вй, е))+Р(Вй, й)~~0 для любого [. Отсюда следует, что (Ве, й)+(Вй, е) =О.
(4) Так как й произвольно, то, заменяя й на [й, получаем (Ве, [й)+([Вй, е)=О, т. е. — [(Ве, й)+[(Вй, е) =-О. (б) Из (4) и (5) получаем, что (Ве, й)=О, и так как й произвольно, то Ве= — О. Лемма доказана. Все остальные теоремы этого параграфа и их доказа- тельства переносятся на случай комплексного простран- ства без всяких изменений. ГЛЛВА Ш КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЪ|Х ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 8 18.
Нормальная форма линейного преобразования В главе Н мы познакомились с различныл1и классами линейных преобразований а-мерного пространства, имеющих и линейно независимых собственных векторов. Мул знаем, что в базисе, состояшем из собственных векторов такого преобразования, его матрица имеет особенно простой вид, так называемую диагональную форму. Однако число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем и').
Пример линейного преобразования с недостаточным числом собственных векторов мы приведем несколько позже (см. также $ 10, и. 1, пример 3). Такое пуеобразование заведомо не может быть приведено к диагональной форме, так как базис, в котором матрица преобразования диагональна, состоит нз собственных векторов. Возникает вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования? В этой глаге мы для произвольного преобразовании укажем базис, в котором его матрица имеет сравнительно простой вид (так называемая лсорда нова нормальная форма). В случае, когда число линейно независимых собственных *) Напомним, что если все корни характеристического много. члена различны, то преобразование имеет л линейно независимых собственных векторов.
Поэтому, дли того чтобы число собствениы векторов было меныпе чем и, необходимо наличие кратных корнгн у характеристического многочленг. Таким образом, этот случай иьлхетси в некотором сиысле нскжочнтсльным. )72 кхноничвскиг1 вид линейных првоврлзовлний [гл.
гн векторов преобразования равно размерности пространства„ зта нормальная форма совпадает с диагональной. Мы сформулируем сейчас окончательный результат, который докажем в 5 19. Пусть задано произвольное линейное преобразование Л в комплексном пространстве п измерений. Предположим, что у А имеется й (й~п) линеино независимых собственных векторов е„7"„..., )т„ соответствующих собственным значениям ),„).„..., Х . Тогда существует базис, состоящий из й групп векторов а): е„..., ер, )„..- )"о', ..., гг„....
й„(1) в котором преобразование А имеет следующий вид: Ае, =),,е„Аеа =е, +).те„..., Ае =-.е,+Х,ер, А)', =-),~„А~, =~, +),)„..., А)',=)"„,+Х.,~е; (,) Лй,=Хайо Ай,=)г,+).а)т„, ..., Ай,=й,,+)аЬ,- Кы видим, что базисные векторы каждой группы переходят при нагнем преобразовании в линейнуто комбинацию векторов той же группы. Отсюда следует, что каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно преобразования А.
Рассмотрим несколько подробнее преобразовзнне, задаваемое формулами (2). В подпространстве, порожденном каждой группой, есть собственный вектор; например, в подпространстве, порожденном векторами е„ е„ ..., е„, такилт собственным вектором является е,. Вектор е, называют иногда присоединенным собственным вектором первого порядка. Это значит, что Ае, пропорпионально е, с точностью до собственного вектора, ') ясно, что я+о+... +а=-и. Если же Л=л, то каждая группа состоит на одного вектора, а именно собственного вектора.
а 1В! НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ЛИНЕПНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 173 как это видно из равенства Ае, = )д,е, + е,. Аналогично е„е„... называют присоединенными векторами второго, третьего и т. д. порядков. Каждый из них является «как бы собственным», т. е. собственным с точностью до присоединенного вектора низшего порядка Ае„=. Хдее+ ее,. Таким Образом, базис каждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора и такого количества присоединенных, которое нужно добавить, чтобы получить базис данного подпространства, Покажем, что в каждом из этих подпространств имеется, с точностью до множителя, лишь один собственный вектор. ддействятед!ьно, рассмотрим, например, подпространетво, порожденное векторами е,, ед, ..., е„.
Адопустим, что некоторый вектор иа етого подпространства, т. е. некоторая линейнан коддбинация вида с,е,+еде„+... +с,е, где не все са равны нулю, является собственным вектором, т. е. А (се+с е +... -)с ер)=Х (се,-~с е -р... -)с е ). Подставлня вместо левой части ее выражение по формулам (2), по- лучаем равенство с!к!ад+се(ед+)де )+...
+с., (е д+).,е,).= =- Хсде! + Хсдед+... + Ас е . Отсюда, приравнивая коаффициенты при каждом иа базисных векторов, имеем систол1у уравнений для нахождения величин Х, с„ се ... ср. сдьд+с ==)с„ Сел!+Се —" Аед, с. ддд+е ='дс С Ад =Хер.
$74 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [ГЛ, ГН Г!окажем прежде всего, что Л=лг. Действнтельно, еслн бы Л М: Лп го на последнего равенства мы вмелн бы с.,=о н Затем на остальных равенств с,=с а=от=от=о. Итак, Х=ЛН тогда на первого уррвненнн нмееьг се=О, на второго се=о н т. д. до с =О. р Значит, собственный вентор равен стет н, следовательно, с точвостью до множвтелв совпадает с первым вектором соответствующей группы. Выпишем матрицу преобразования (2).
Так как векторы каждой группы преобразуются в линейные комбинации векторов той же группы, то в первых р столбцах матрицы преобразования могут быть отличны от пуля лишь элелгенты первых р строк, в следующих д столбцах могут быть отличны от нуля лишь элементы, стоящие в строчках с теми же номерами, что и у этих столбцов, и т. д. Таким образом, в данном базисе матрица преоб1тазоваиия будет состоять из а клеток, расположенных по главной диагонали, а есе элементы, не принадлежащие нп одной из этих клеток, будут равны нулю. Для того чтобы понять, что стоит в каждой клетке матрицы преобразования А, достаточно еще раз написать, как преобразуются векторы одной группы. Мы имеем: Ае, =- Л,е„ Ае, = — е, -1-Л,е„ Ае Ае = р ер,+Л,е ер, +Лге,.
(Л, 1 О...О О ОЛ,1...00 А,= 0 0 О...Л, 1 (, О 0 О ... О Л Вся же ыатрица оказывается составленной из таких Вспоминая, как строится матрица, отвечающая данному преобразованию базиса, получаем, что клетка матрицы, соответствующая данной группе векторов, имеет вид клеток порядков )г, г), ..., з соответственно, т. е.
имеет вил А, 1 0...0 0 ).,)...0 0 0 0...)., 0...0 0 )„1...0 0 0 0...)., 0 ... 0 0 ),„1...0 0 0 0...)3 где псе элементы ене клеток — нули. Заметизя также, что пе все ) г Обязаны быть различными. " и р а ж н е н и е. Найти все инваркантные подпрсстранства преобразования с матрицей (3). Хотя приведенная здесь нормальная форма выгладит сложнее, чем, например, диагональная матрица, однаио и с ней можно достаточно просто производить алгебраические операции. Мы покажем, нагример, как вычислить многочлсн ст матрицы (4). Матраца (4) имеет впд А, А где А; — отдельные клетки. а всс невыписанные злсмеяты — нуля.
Тогда 1 Аз" ( А1 Ав Аз= ~ а гз) нОРМАльндя ФОРМА линейнОГО пРеОБРАВОВАния !73 (76 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (ГЛ. Н! т. е. для того, чтобы возвести в некоторую степень матрицу А, достаточно уметь возвести в эту степень каждую из клеток. Пусть теперь Р(1)=-аз+а,/+... +а /м — произвольный многочлен. Тогда легко видеть, что Р (А).= Р (Аа) Покажем теперь, как вычислить Р (А!), т. е. многочлен от одной клетки нормальной формы матрицы [3). Для этого запишем матрицу (3) в виде Ат=-ХтЕ+/, где Š— единичная матрица порядка р„а матрица / имен! вид 0 ! 0 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
