И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 22
Текст из файла (страница 22)
188 линепные ппеовплзовлния (гл, и В, == С'ВС. Поэтому, если е„е„..., е„— произвольный базис, то в этом базисе Ое((А,— ЛВ,) = Ве(С*.0е((А — ЛВ) 1)е( С„ т. е. отличается лишь постоянным ганонгнтслем от вырагдения (4). Отс1ода следует, что числа Лы Ль, ..., Л„являгатся карндли сдвдрюи(гго Вравнемилг а„— ЛЬ„а„— ЛЬ„... а„„вЂ” ХЬги где 11агз11 и йбгь(~ — ллатрины форм А(х; х) и В(х; х) в каком-нибудь базисе е,„е„..., е„. 3 в м е я а н и е. Требовзнне положительной определенности одной из фзрм является существенным, о ием свидетельствует следуззший пример: две квадратичные формы А (х; х)=.1$,(з — (йе(', Н(х; х)= — йД~+5зйы из коюрых нн одна не является положвтельно определенной, не мо~ут быть одновременно приведены к сумме квадратов. В самом деле, первой форме соответствует матрица а второй — матрица Рассмотрим матрицу Л вЂ” Ла, где Л вЂ” вещественный параметр.
Ее детерминзвт равен — (Ля+1). Тзк как он не имеет вещесгвениык корней„то, согласно сказанному вьппе, обе формы не могут быть приведены одновременно к сумме квадратов. ф 13. Унитарные преобразования Мы определили в $ 11 унитарные преобразования равенством ((с(' == (1'(1 = Е. Это определение имеет простой геометрический смысл. А именно: 1ЗЭ Унит»Рныв ПРЕОБРАзовяния $1а1 Вояков унитарное преобразование (/ в евклидовом и-мерном просп1ро нстве 11. сохраняет с1саляр нов произведение, т. е. ((/х, (/у) = (х, у) для всех х, уЕ/с.
Обратно, всякое линейное преобразование (/, сохраняющее скалярное произведение, унитарно (т. е. удовлетпворявт условию (1Ц. В самом деле, если дано, что (/ (/=Е, то ((/х„(/у) =(х, (/иу) =(х, у). Обратно, если для любых векторов х и у ((/х, (/у) = (х, у), ((/'(/х, у) = (х„ у), ((/"(/х, у) =(Ех, у). т. е. Так как из равенства билинейных форм следует равенство соответствучощих преобразований, то (/'(/ = Е, т. е. (/ унитарно. В частности, при х=у имеем: ((/х, (/х) =(х, х), т.
е. унитарное преобразование (/ нв мвняе1п длин векторов. У ар а ж не н н е. Локазать, что еслн линейное преобразование сохранает длины всех векторов, то оно унитарно. Запишем условия унитарности линейного преобразования в матричной форме. Для этого выберем какой-либо ортогопальиый нормированный базис в„е„..., е„. Пусть в этом базисе преобразованию (/ соответствует матрица а„а„... а1„~ а„а„... ава 1 (2) 140 линвпныв пгвовялзовлния !гл. и Тогда сопряженному преобразованию 0' ссютветствует матрица а„а„...
а„, а„а„, ... а„, (3) а,„ а,„ ... а„„ Условие унитарности Ы3'=Е означает, что произведение матриц (2) и (3) есть единичная матрица. Если перемножить нх и приравнять элементы произведения соответственным элементам единичной матрицы, то получим: л й ~ч~, а;,а; = (, ~ ата, =О ((Фй). (4) а=! Итак, в ортогональном нормированном базисе условие (Л/*= Е означает, что сумма произведений элементов какой-либо строки матрас(ы преобразования (! на элементы, сопряженные к элементам другой строки, равна нулю, а сумма квадратов модулей элементов любой строки равна единиие. Так как С1*0 =-Е также есть условие унитарности, то мы имеем также: М л ващука = ! ' л~~~ ~ак~аав =-() (! Ф ь).
(5) и=! я=> Это условие аналогично предыдущему, но вместо строк в нем участвуют столбцы матрицы. Условие (5) имеет простой геометрический смысл. Действительно, скалярное произведение векторов Ое, = а„е, + а„е„+... +а„;е„ и (/ел — — а,„е,+а,„е.,+... +а„„е„ равно ~а„;а л (так как е„е„..., е„— это ортогональный нормированный базис); поэтому ( 1 при (=-. й, (о) Г4! УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ $133 Следовательно, для того чпюбы линейное преобразование (I было унитарным, необходимо и доста пап но, чтобы оно переладило какой-либо ортогональный нормированный базис е„е„..., е, снова в ортогопальный и нормированный базис (1е„~/е„..., (/е„. Матрица йагь(~, элементы которой удовлетворяют условиям (4), либо„что то же самое, условиям (5), называется унитарной матрицей.
Унитарные матрицы являются, как иы видели, матрицами унитарных преобразований в ортогональном нормированном базисе. Так как переход от одного ортогонального нормированного базиса к другому задается унитарным преобразованием, то матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому такому же является унитарной. Посмотрим, к какому простейшему виду можно привести матрицу унитарного преобразования при соответствующем выборе базиса. Л е м м а 1. Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны 1. Доказательство.
Пусть х — собственный вектор унитарного преобразованяя 0 и ),— соответствующее собственное значение, т. е. (1х =- ).х, х Ф О. Тогда (х, х) .= (Ух, (1х) = ().х, ) х) =- ) ).(х, х), т. е. )Х== 1, значит ) Х ) = 1, что я требовалось доказать. Лемма 2. Пусть Б — унитарное линейное преобразование в и-мерном пространспме 14 и е — его собственный вектор, т. е. ив =ке, е- О. Тогда (п — 1)-мерное подпространопво К„ссстояи1ее из векторов х, ортогональных к е, инвариантно относительно (l. Доказательство. Пусть х~й„, т.
е. (х, е)=О. Покажем, что (/х Е Й„т. е. что ((/х, е) = О. В самом деле, (11х, 1/е) =((Т'(/х, е) —.=(х, е) = О. А так как (/е=),е, то 1,((Тх„е)=-О. Но в силу леммы 1 ) ~О, поэтому ((/х, е) ==О, т. е. (/хС йо Следовательно, надпространство 14, инвариантно относительно (/. 142 линеиные пгеовплзовкния 1гл. и Т е о р е и а 1. Пусть Ь' — унитарное преобразование в п-мерном евклидовом пространстве й. 7огда существует и попарно ортогональных собственных векторов преобразования 1/.
Соответствующие им собственные значения по модулю равны единице. Доказательство. В силу теоремы 1 2 10 преобрааование 1/, как и всякое линейное преобразование, имеет в К хотя бы один собственный вектор. Обозначим его е,, Согласно лемме 2, 1п — 1)-мерное подпространство К,, состоящее из всех векторов пространства /7, ортогональных к е„инвариантно относительно 1/. Следовательно, в также имеется хотя бы один собственный вектор е, преобразования 1/. Через К, обозначим инвариантное надпространство, состоящее из всех векторов, принадлежащих Й, и ортогональных к е,. В /с, содержится некоторый собственный вектор е, преобразования 1/ и т.
д.; продолжая этот процесс, мы построим и попарно ортогональных собственных векторов е„ е„ ..., е„ преобразования 1/. Согласно лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам е„е„..., е„, по модулю равны 1. Теорема 2. Для казкдого унитарного преобразования 1/ в и-мерном пространстве /г' существует нормированный ортогональным" базис, в котором матрица преобразования У диагональна, т.
е. имеет вид: Х,О ...О О Х,...О (7) 0 0 ...).„ причем Х„).м ..., Մ— числа, по модулю равные единице. Доказательств о. Пусть 1/ — унитарное преобоазование. Тогда п попарно ортогональных нормированных собственных векторов, построенных в предыдугцей теореме, образуют искомый базис. Действительно, 1/е, =-- г.,ео 1/е, = ).,е„ 1/е„= Х„е„ $ !4! ПЕРЕСтхнсвоЧНЫе Лнннйныв пгвовназовлния !43 и, следовательно, матрица преобразования (/ в базисе е„е„..., е„имеет вид (7).
Числа Хо ).„..., ),„по модулю равны 1 в силу леммы 1. Теорема доказана. Уп р аж нен и я. Ц Доказать, что в.рзо и обратное, т. е. если в некотором ортогональном базисе матрица преобразования ь! имеет вид (У), то (! унитарно. 2. Доказать, что если А — самосопряженное преобразование, то преобразование (А — )и) '(А+!Е) суптествует и является унитарным.
3. Пусть (! †унитарн преобразование. Доказать, что если преобразование И вЂ” Е обратимо, то преобразование А=4(0 — Е)-т (О+Е) самосоп раненное. Так как матрица перехода от одного ортогонального норктированного базиса к другому задается унитарной матрицей, то полученный в этом параграфе результат мы можем в матричных терминах сформулировать следующим образом: Пусть ет' — заданная унитарная матрица.
Тогда существует такая унитарная матрица (г, что у представима в виде П= Ъ' 'ВУ, где Ю вЂ диагональн матрица, у котссой по диагонали стоят числа, по модулю равные 1. Аналогично„ основной результат п. 1 3 12 в матрич- ных терминах формулируется так: Пусть А †заданн эрмнтова матрица. Тогда А может быть представлена в виде А=К 'ззУ, где зт — унитарная матрица, а Х) — диагональная матрица, у которой по диагонали стоят вещественные числа. $14. Перестановочиые линейкые преобразования. Нормальные преобразования 1. Берестамовочные преобразования.
Мы видели (5 12), что для всякого самосопряженного линейного преобразования есть свой ортогональный нормированный базис, в котором его матрица диагональна. Может оказаться, что для нескольких саыосопряженпых преобразований 141 линейные пгеовгкзовлння 1гл. и существует один общий базис, в котором матрицы всех этих преобразований диагональны. Яы выясним здесь, при каких условиях это возможно. Разберем в первую очередь случай двух преобразований.
Л ем ма 1. Пусть Л и  — два нерестановочных линейных преобразования, т. е. АВ = ВА. Тогда совокупность всех собственных векторов преобразо- вания А, отвечаюи1их данному собственному значению Х, образует (вместе с нулевым вектором) надпространство Я„, инвариантное относительно преобраммания В. Доказательство. Нам нужно показать, что еслн хай„т. е. Ах=-Хх, Вх Е й„, т. е. ЛВх = ХВх. Но так как АВ =-ВА, то ЛВх=- ВАХ= В) х=- Хвх, н лемма доказана. Лемма 2.
Любые два перестановочных преобразования имеют оби1ий собственный вектор. Доказательство. Пусть ЛВ=ВА и Ȅ— подпространство, состоящее нз всех таких векторов х, что Ах= Хх, где 1.— собственное значение преобразования А. Согласно лемме 1, )с„инвариантно относительно В. Поэтому в нем существует вектор х„собственный для В. Этот вектор является собственным и для А, так как все векторы нз К, являются собственными для А. 3 а м е ч а н н е.
Если АВ = ВЛ, то, вообще говоря, не всякий вектор, собственный для А, является собственным н для В. Например, если А есть единичное преобразование Е, то для него любой вектор х является ссбственным. Однако х вовсе не будет собственным вектором для любого перестановочного с Е преобразования, так как с Е перестановочны все линейные преобразования. Теорема 1. Пусть А и  — два самосопряженных линейных преобразования в комплексном п-мернол1 пространстве й. Для того чтобы в )г существовал ортогональный базис, в котором пргобразгхония А и В одновремен- $ ы1 пспестлноиочные линейные.
ппиовркзоплння Ыб но приводятся к диагональной срорме, необходимо и достаточно, чтобгя они были перестановочны (т. е. АВ = ВА). Доказательство. Достаточность. Пусть АВ=-ВЛ. Тогда, в силу леммы 2, существует вектор е„ собственный и для А и для В, т. е. такой, что Ае, = ),е„Ве, = р,е„. (и — 1)-мерное подпространство й„ортогональное к е„ инвариантно как для А, так и для В (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
