И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Элементы ее й-го столбца окажутся равными минорам й-й строки матрицы А, деленным на ее определитель. Легко проверить, что так составленная матрица А ' удовлетворяет условиям (9). Так как при заданном базисе между матрицами и линейными преобразованиями имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операцию умножения, то„ для того чтобы преображтвание А имело обратное, необходилю и достапшчно, чтобы его магпргтиа в каком-нибудь базисе илтела бы определитель, отличный от нуля, т. е. имела бы ранг п. Преобразование, имеющес обратное, называют невырожденнылг.

С произвольным линейным преобразованием Л связаны два важных подпространства — ядро и образ этого преобразования. О п р е де л е н и е 5. Совокупность М векгпоров вида Ах, где х пробегает все )тг, называется образом пространства йг при преобразовании Л. Другими словами, образ пространства — это множество тех векторов у, для которых уравнение Ах=у имеет хотя бы одно решение. Ясно, что у обратимого преобразованчя образ есть все пространство. Покажем, что М есть подпространство пространен ва )т. Действительно„пусть у,ЕМ и утЕЛ.

Это значит, что существуют х, и х, такие, что у,=Ах, и у,=Ахе Но тогда у,+у,=Ах,+Аха=Л(х,+х,) и, значит, ут+у,Е М. Лналогичтто, если у=Ах, то )у=- =).Ах=А).х, т. е. )уЕ Л. Следовательно, М является подпространстном. Размерность этого подпространства называется рангом преобразования А. П ример. Рассмотрим преобразование А, состоящее в проектировании трехмерного пространства гс в плоскость ХУ (пример 1, п. 2). Очевидно, что образ этого преобразования есть плоскость ХУ.

Уп р а ж не н не. Написать матрицу произвольного преобраэовапия А в базисе, первые я векторов которого являются базисом в образе пространства при этом преобразовании. Другим важным подпространством является ядро преобразования А, состоящее из всех векторов, переходящих при этом преобразовании в нуль. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл.

н Оп редел е н ие б. Ссвскуляссгпь )т' векторов х таках, что Ах=О, называется ядрса! преобразован!я А. Ясно, что ядро также есть подпространство пространства )с. Действительно, если Ах, = О и Ах, =О, то А(х„+х,)=- Ах, +Ах,=О. Точно так же, если Ах=О, то АЛх е ЛАх= О, т. е. )у' есть подпространство. Очевидно, что если А — невырожденпое преобразование, то его ядро состоит из нуля (т. е. система однородных уравнений с отличным от нуля определителем имеет только нулевое решение). У п р а ж и е н и с. Написать матрицу линейного преобразовании А в базисе, первые А векторов которого есть базис илра. П р и м е р. Пусть )с — пространство многочленов степени ( и†1 и преобразование А — дифреренцирование, т.

е. АР (1) = Р' (1). Ядро этого преобразования состоит из многочленов Р (1), для которых Р'(1)-.=-О, т. е. из констант. Таким образом, ядро )т' здесь одномерно. Образ А состоит из многочленов вида Р'(1), где Р(1) имеет степень (и — 1, т. е.

М состоит из всех много- членов степени л — 2. Размерность М равна и†1. Рассмотрим теперь преобразование А', которое задается !рорззулой А'Р (1) = Р" (1). Для преобразования А' ядро )У состоит из всех многочленов не выше первой степени, а образ из всех многочленов степени (и — 3 (проверьте!), т. е. )т' двумерно, а М имеет размерность л — 2. Аналогично у преобразования Аа ядро трехмерно, а образ имеет размерность п — 3 и т. д. Наконец преобразование А" в этом случае есть нулевое преобразование.

Его ядро !и'=)с, а образ состоит только из нуля. На этом примере видно, что при возведении преобразования в степень его ядро расширяется, а образ, наоборот, уменьшается. При этом размерность ядра как бы характеризует степень вырождениости преобразования. Э Ч линвиныв пгвовгьзовьния и опасении нлд ними П6 Чем больше ядро, тем меньше образ и тем «более вырожденным» является преобразование. Крайними случаями являются нулевое преобразование, ядром которого является все Р, а образ равен нулю, и, с другой стороны, обратимое преобразование, образом которого является все пространство, а ядро равно нулю. При этом сумма размерностей ядра и образа всегда остается равной размерности всего пространства.

Имеет место общая теорема. Теор е м а. Пусть А — произвольное линейное преобразоваяие и-меркава пространства»«. Сумма размерностей ядра и образа преобразования А равна размерности всею пространства. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что ядро )«' и реобразования А имеет размерность я. Выберем в У базис из векторов е„..., еь и дополним его до базиса е„..., еь, е„„..., е„во всем пространстве К.

Рассмотрим векторы Ась„, ..., Ае„. Множество линейных комбинаций этих векторов образует подпространство, которое совпадает с М вЂ” образом преобразования А. Действительно, пусть у — произвольный вектор из М. Тогда, по определению, существует вектор х такой, что у — -Ах. Так как е„..., е,— базис в й, то х=у,е,+...

... +у„е„. Но так как Ае, =-... =Аеь=-О (е,, ..., е„— базис в ядре), то у=-Ах=у»,Ае„,+... +Т„Ае„. Покажем, что и — и векторов Аеь „..., Ае„линейно независимы. Действительно, пусть существуют числа п, не равные одновременно нулю и такие, чтоа,Ле,+... +а»»Ае„=- О. Рассмотрим вектор х=а,е„,+... +а„ье„. Тогда Ах= = А (и,е», +...

+ а„ье„) =.= а,А е„, +... + а„„А е„= О, т. е. х принадлежит ядру. Мы пришли к противоречию, поскольку, с одной стороны, х как элемент ядра представим как линейная комбинация первых й базисных векторов, а, с другой стороны, х=а,еь,+... +а„ье„ был задан как линейная комбинация еь,, ..., е„.

Это противоречит единственности представления вектора х через векторы базиса. Следовательно, векторы Ае ..., Ле„линейно независимы. Мы показали, что существует и — и линейно независимых векторов таких, что любой вектор образа есть их но ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Гл. и пинейная комбинация, т.

е. резмерность образа равна н — й, что и требовалось доказать. 5. Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах. Одно и то же линейное преобразование может в различных базисах иметь различные матрицы (см., например, упражнение к примеру 1 и. 3 этого параграфа). Выясним, как изменяется матрица линейного преобразования А при переходе от одного базиса к другому. Пусть в )[ даны два базиса: е„е„..., е„и ~„~„... Матрицу перехода от базиса е„е„..., е„к базису )„)„...,)„обозначим через С, т.

е. положим ~,=с„е,+с„е,+... +с„,е„, ~,=с„е, +с„е,+... +с„,е„, (10) ['„=-с„е!+с,„е,+... +с,„е„. Введем вспомогательное линейное преобразование С, положив Се; =)Р Его матрица в базисе е„е„..., е„согласно формулам (2) и (3) и. 3 будет С. Обозначим матрицу линейного преобразования А в базисе е„е„..., е„через А =-~а!А[!!, а в базисе [„)и ..., )„ через В='1Ь[А~. Йпаче говоря, Б Аее — — ~, емеь (10') !=! и А)А= .~, Ь[А~Р (10") !=1 Наша цель — выразить матрицу В через матрицы А и С. Заменим для этого в правой и левой частях формулы (10") )"А через Сее и [! через Сес Мы будем иметь: АСе, =,5, 'Ь;АСее Г=! Применим к обеим частям этого равенства преобразование С-' (оно существует, так как векторы [„[и ..., ~„ $91 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРЛЗОЕЛНИЯ И ОПЕРАЦИИ НЛД НИМИ 111 линейно независимы). Мы получим: С-'АСее= ~ Ь;„ео Мы видим, что интересующая нас матрица 1Ь;9~ есть также матрица преобразования С-'АС в базисе е,, е„..., е„.

При перемножении преобразований их матрицы в данном базисе е„е„..., е„перемножаются. Поэтому В= С 'АС. (11) Матрицы А и В, связанные соотношением (1!), называются подобными. Итак, матрица В преобразования А в базисе 1„)'„..., 1„ получается из матриг(ы А преобразования А в базисе е„е„..., е„по формуле (11), где С вЂ” матрона перехода от базиса е„е„..., е„н базису 1'„1"„..., 1', (формула (10)).

6. Линеиное преобразование пространства К, в пространство К,. Определяя линейное преобразование А, мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы х и Ах принадлежат одному и тому же пространству. Поэтому, повторяя дословно определение 1 и. 1, можно определить также линейное преобразование пространства К, в д1:угое пространство К,. Все сказанное в этом параграфе без каких-либо существенных изменений переносится на такие преобразования. Остановимся на операциях сложения и умножения линейных преобразований.

Пусть А и  †линейн преобразования пространства К, в пространство К,. Тогда, как и в и. 3, можно определить их сумму А + В: С = А-1-В означает„что Сх =- Ах-1 Вх для любого хЕ К,. Произведение АВ в этом случае смысла уже не имеет. Однако мы.. можем определить произведение АВ в том случае, когда  — линейное преобразование пространства К, в К„а А — линейное преобразование пространства К„в К,. В этом случае АВ есть, по определению, линейное преобразование пространства К, в К„состоящее в последовательном выполнении сначала преобразования В, отображающего К, в К„а затем преобразования А, отображающего К, в К,. 1!2 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл.

!! Введенные операции сложения и умножения линейных преобразований удовлетворяют ассоциативному и дистрибутивному законам. Задача. Установить, как изменяется матрица линейного преобразования )с', в )с, при зал.ене базисов в )с, и 1[,. ф 10. Инвариантные надпространства, собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 1. Инвариантные надпространства.

Пусть Я, †подпрастранство пространства )с и А †линейн преобразование в )л'. Вообще говоря, дня произвольного х ~ й,, Ах ~ 1с, и). Например, если с[ — евклидова плоскость, Я,— произвольная прямая и А — поворот на угол ср== —, то очевидно, что для любого хэьО н принадлежащего 1[„Ах а )с,. Однако может случиться, что некоторые подпространства переходят сами в себя при линейном преобразовании А. Введем следующие определения. О и р е д е л е н и е ! . Пусть А — линейное преобразование пространапва К. Линейное !!одпрсстранстю й, назыеаеп!ся инеар[сантныч относительна А, если длл калсдсго ееюпара х из К, вектор Ах также принадлежит )с,.

При изучении линейного преобразования А в инвариантнсм подпространстве )с, можно, таким образом, рассматривать это преобразование толька в 1[,. Тривиальными инвариантными подпространствами являются подпрастранство, состоящее лишь из нуля, и все пространство. Примеры. 1. Пусть )с — трехмерное пространство и А — поворот вокруг некоторой оси, проходящей через нуль. Инвариантными подпространствами при этом являются: а) ась вращения [однол[ерное инвариантное надпространство), б) плоскость, проходящая через начало координат и ортогональная к этой оси (двумерное инвариантное пространство). 2.

Характеристики

Список файлов лекций