Главная » Просмотр файлов » И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре

И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 17

Файл №1113352 И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре) 17 страницаИ.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352) страница 172019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Элементы ее й-го столбца окажутся равными минорам й-й строки матрицы А, деленным на ее определитель. Легко проверить, что так составленная матрица А ' удовлетворяет условиям (9). Так как при заданном базисе между матрицами и линейными преобразованиями имеется взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операцию умножения, то„ для того чтобы преображтвание А имело обратное, необходилю и достапшчно, чтобы его магпргтиа в каком-нибудь базисе илтела бы определитель, отличный от нуля, т. е. имела бы ранг п. Преобразование, имеющес обратное, называют невырожденнылг.

С произвольным линейным преобразованием Л связаны два важных подпространства — ядро и образ этого преобразования. О п р е де л е н и е 5. Совокупность М векгпоров вида Ах, где х пробегает все )тг, называется образом пространства йг при преобразовании Л. Другими словами, образ пространства — это множество тех векторов у, для которых уравнение Ах=у имеет хотя бы одно решение. Ясно, что у обратимого преобразованчя образ есть все пространство. Покажем, что М есть подпространство пространен ва )т. Действительно„пусть у,ЕМ и утЕЛ.

Это значит, что существуют х, и х, такие, что у,=Ах, и у,=Ахе Но тогда у,+у,=Ах,+Аха=Л(х,+х,) и, значит, ут+у,Е М. Лналогичтто, если у=Ах, то )у=- =).Ах=А).х, т. е. )уЕ Л. Следовательно, М является подпространстном. Размерность этого подпространства называется рангом преобразования А. П ример. Рассмотрим преобразование А, состоящее в проектировании трехмерного пространства гс в плоскость ХУ (пример 1, п. 2). Очевидно, что образ этого преобразования есть плоскость ХУ.

Уп р а ж не н не. Написать матрицу произвольного преобраэовапия А в базисе, первые я векторов которого являются базисом в образе пространства при этом преобразовании. Другим важным подпространством является ядро преобразования А, состоящее из всех векторов, переходящих при этом преобразовании в нуль. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл.

н Оп редел е н ие б. Ссвскуляссгпь )т' векторов х таках, что Ах=О, называется ядрса! преобразован!я А. Ясно, что ядро также есть подпространство пространства )с. Действительно, если Ах, = О и Ах, =О, то А(х„+х,)=- Ах, +Ах,=О. Точно так же, если Ах=О, то АЛх е ЛАх= О, т. е. )у' есть подпространство. Очевидно, что если А — невырожденпое преобразование, то его ядро состоит из нуля (т. е. система однородных уравнений с отличным от нуля определителем имеет только нулевое решение). У п р а ж и е н и с. Написать матрицу линейного преобразовании А в базисе, первые А векторов которого есть базис илра. П р и м е р. Пусть )с — пространство многочленов степени ( и†1 и преобразование А — дифреренцирование, т.

е. АР (1) = Р' (1). Ядро этого преобразования состоит из многочленов Р (1), для которых Р'(1)-.=-О, т. е. из констант. Таким образом, ядро )т' здесь одномерно. Образ А состоит из многочленов вида Р'(1), где Р(1) имеет степень (и — 1, т. е.

М состоит из всех много- членов степени л — 2. Размерность М равна и†1. Рассмотрим теперь преобразование А', которое задается !рорззулой А'Р (1) = Р" (1). Для преобразования А' ядро )У состоит из всех многочленов не выше первой степени, а образ из всех многочленов степени (и — 3 (проверьте!), т. е. )т' двумерно, а М имеет размерность л — 2. Аналогично у преобразования Аа ядро трехмерно, а образ имеет размерность п — 3 и т. д. Наконец преобразование А" в этом случае есть нулевое преобразование.

Его ядро !и'=)с, а образ состоит только из нуля. На этом примере видно, что при возведении преобразования в степень его ядро расширяется, а образ, наоборот, уменьшается. При этом размерность ядра как бы характеризует степень вырождениости преобразования. Э Ч линвиныв пгвовгьзовьния и опасении нлд ними П6 Чем больше ядро, тем меньше образ и тем «более вырожденным» является преобразование. Крайними случаями являются нулевое преобразование, ядром которого является все Р, а образ равен нулю, и, с другой стороны, обратимое преобразование, образом которого является все пространство, а ядро равно нулю. При этом сумма размерностей ядра и образа всегда остается равной размерности всего пространства.

Имеет место общая теорема. Теор е м а. Пусть А — произвольное линейное преобразоваяие и-меркава пространства»«. Сумма размерностей ядра и образа преобразования А равна размерности всею пространства. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что ядро )«' и реобразования А имеет размерность я. Выберем в У базис из векторов е„..., еь и дополним его до базиса е„..., еь, е„„..., е„во всем пространстве К.

Рассмотрим векторы Ась„, ..., Ае„. Множество линейных комбинаций этих векторов образует подпространство, которое совпадает с М вЂ” образом преобразования А. Действительно, пусть у — произвольный вектор из М. Тогда, по определению, существует вектор х такой, что у — -Ах. Так как е„..., е,— базис в й, то х=у,е,+...

... +у„е„. Но так как Ае, =-... =Аеь=-О (е,, ..., е„— базис в ядре), то у=-Ах=у»,Ае„,+... +Т„Ае„. Покажем, что и — и векторов Аеь „..., Ае„линейно независимы. Действительно, пусть существуют числа п, не равные одновременно нулю и такие, чтоа,Ле,+... +а»»Ае„=- О. Рассмотрим вектор х=а,е„,+... +а„ье„. Тогда Ах= = А (и,е», +...

+ а„ье„) =.= а,А е„, +... + а„„А е„= О, т. е. х принадлежит ядру. Мы пришли к противоречию, поскольку, с одной стороны, х как элемент ядра представим как линейная комбинация первых й базисных векторов, а, с другой стороны, х=а,еь,+... +а„ье„ был задан как линейная комбинация еь,, ..., е„.

Это противоречит единственности представления вектора х через векторы базиса. Следовательно, векторы Ае ..., Ле„линейно независимы. Мы показали, что существует и — и линейно независимых векторов таких, что любой вектор образа есть их но ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Гл. и пинейная комбинация, т.

е. резмерность образа равна н — й, что и требовалось доказать. 5. Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах. Одно и то же линейное преобразование может в различных базисах иметь различные матрицы (см., например, упражнение к примеру 1 и. 3 этого параграфа). Выясним, как изменяется матрица линейного преобразования А при переходе от одного базиса к другому. Пусть в )[ даны два базиса: е„е„..., е„и ~„~„... Матрицу перехода от базиса е„е„..., е„к базису )„)„...,)„обозначим через С, т.

е. положим ~,=с„е,+с„е,+... +с„,е„, ~,=с„е, +с„е,+... +с„,е„, (10) ['„=-с„е!+с,„е,+... +с,„е„. Введем вспомогательное линейное преобразование С, положив Се; =)Р Его матрица в базисе е„е„..., е„согласно формулам (2) и (3) и. 3 будет С. Обозначим матрицу линейного преобразования А в базисе е„е„..., е„через А =-~а!А[!!, а в базисе [„)и ..., )„ через В='1Ь[А~. Йпаче говоря, Б Аее — — ~, емеь (10') !=! и А)А= .~, Ь[А~Р (10") !=1 Наша цель — выразить матрицу В через матрицы А и С. Заменим для этого в правой и левой частях формулы (10") )"А через Сее и [! через Сес Мы будем иметь: АСе, =,5, 'Ь;АСее Г=! Применим к обеим частям этого равенства преобразование С-' (оно существует, так как векторы [„[и ..., ~„ $91 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРЛЗОЕЛНИЯ И ОПЕРАЦИИ НЛД НИМИ 111 линейно независимы). Мы получим: С-'АСее= ~ Ь;„ео Мы видим, что интересующая нас матрица 1Ь;9~ есть также матрица преобразования С-'АС в базисе е,, е„..., е„.

При перемножении преобразований их матрицы в данном базисе е„е„..., е„перемножаются. Поэтому В= С 'АС. (11) Матрицы А и В, связанные соотношением (1!), называются подобными. Итак, матрица В преобразования А в базисе 1„)'„..., 1„ получается из матриг(ы А преобразования А в базисе е„е„..., е„по формуле (11), где С вЂ” матрона перехода от базиса е„е„..., е„н базису 1'„1"„..., 1', (формула (10)).

6. Линеиное преобразование пространства К, в пространство К,. Определяя линейное преобразование А, мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы х и Ах принадлежат одному и тому же пространству. Поэтому, повторяя дословно определение 1 и. 1, можно определить также линейное преобразование пространства К, в д1:угое пространство К,. Все сказанное в этом параграфе без каких-либо существенных изменений переносится на такие преобразования. Остановимся на операциях сложения и умножения линейных преобразований.

Пусть А и  †линейн преобразования пространства К, в пространство К,. Тогда, как и в и. 3, можно определить их сумму А + В: С = А-1-В означает„что Сх =- Ах-1 Вх для любого хЕ К,. Произведение АВ в этом случае смысла уже не имеет. Однако мы.. можем определить произведение АВ в том случае, когда  — линейное преобразование пространства К, в К„а А — линейное преобразование пространства К„в К,. В этом случае АВ есть, по определению, линейное преобразование пространства К, в К„состоящее в последовательном выполнении сначала преобразования В, отображающего К, в К„а затем преобразования А, отображающего К, в К,. 1!2 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл.

!! Введенные операции сложения и умножения линейных преобразований удовлетворяют ассоциативному и дистрибутивному законам. Задача. Установить, как изменяется матрица линейного преобразования )с', в )с, при зал.ене базисов в )с, и 1[,. ф 10. Инвариантные надпространства, собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 1. Инвариантные надпространства.

Пусть Я, †подпрастранство пространства )с и А †линейн преобразование в )л'. Вообще говоря, дня произвольного х ~ й,, Ах ~ 1с, и). Например, если с[ — евклидова плоскость, Я,— произвольная прямая и А — поворот на угол ср== —, то очевидно, что для любого хэьО н принадлежащего 1[„Ах а )с,. Однако может случиться, что некоторые подпространства переходят сами в себя при линейном преобразовании А. Введем следующие определения. О и р е д е л е н и е ! . Пусть А — линейное преобразование пространапва К. Линейное !!одпрсстранстю й, назыеаеп!ся инеар[сантныч относительна А, если длл калсдсго ееюпара х из К, вектор Ах также принадлежит )с,.

При изучении линейного преобразования А в инвариантнсм подпространстве )с, можно, таким образом, рассматривать это преобразование толька в 1[,. Тривиальными инвариантными подпространствами являются подпрастранство, состоящее лишь из нуля, и все пространство. Примеры. 1. Пусть )с — трехмерное пространство и А — поворот вокруг некоторой оси, проходящей через нуль. Инвариантными подпространствами при этом являются: а) ась вращения [однол[ерное инвариантное надпространство), б) плоскость, проходящая через начало координат и ортогональная к этой оси (двумерное инвариантное пространство). 2.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,99 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее