И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Введем еще одно определение. Определение 4. Линейное преобразование А назывсегпсн нормальным, если АА" = А А. Для комплексных чисел нет надобности в аналогичном понятии, так как умножение комплексных чисел коммутативно и, значит, яи всегда равно яа. Нетрудно убедиться. что как самосопряженные, так и унитарные преобразования являются частными случаями нормальных преобразований.
*) В и-мерном пространстве условия !>'чь> =Е н !>г>т=Е зквнвалентны. и бесконечпомерном пространстве это †л разлнчнык условна. линвиныв пгвовихзовхиия 1гл. и Более детальному изучению отдельных классов линейных преобразований в евклкцовом пространстве будут посвящены дальнейшие параграфы этой главы. При этом мы получим для различных типов преобразований весьма простую геометрическую характеристику.
й 12. Самосопряжениые (эрмитовы) преобразования. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов 1. Самосопряжениые преобразования. В этом параграфе мы более подробно изучим класс самосопряженных преобразований и-мерного евклидова пространства.
Эти преобразования часто встречаются в различных приложениях. (Существенную роль самосопряжеииые преобразования, правда в бесконечиомерном пространстве, играютв квантовой механике.) Лемма 1. Собственные значения самосопрзженного преобразования веи(еспгвенны. До к а з а те л ь с т в о. Пусть х — собственный вектор самосопряженного преобразования А н 1.— соответствующее собственное значение, т. е. Ах=-).х; хчаО. Так как А' =-А, то (Ах, х) =-(х, Ах), т.
е. ()х, х)=-(х, )х). Вынося Х за скобки, получим: 1. (х, х) =-г. (х, х), и так как (х, х) чеб, то Х=-)., что и требовалось доказать. Л е м м а 2. Пусть А — самосопряженное линейное преоб разование в и-мерном пространстве Й и е — его собственный вектор, Совокупность Рг векторов х, ортоеональных к е, есть (и — 1)-мерное подггространство, инварианглное опгносительно ггреобразования А. $ >2! СлмосОпРяженные >эРмитозьп пРеОБРлзОвлнкя !ЗЗ До к аз а тельство.
Совокупность П> векторов х, ортогональных к е, Образует (и — 1)-мерное подпространство. Покажем, что П> инвариантно относительно А. Пусть хб)>',. Это значит, что (х, е)=-О. Тогда и (Ах, е)=0, т. е. Ахай,. Действительно, (Ах, е) = (х, А е) =: (х, Ае) = (х, ле) — - Х (х, е) =-О. >(ы доказали, что преобразование А не выводит векторы, принадлежащие Й„из К„т.
е. доказали, что подпространство К, инвариантно относительно А. Т е о р е м а 1. Пусп>ь А — самосопря>кенное преобризование в и-мерном евклидовом пространстве )>>. Тогда существует и попарно орпюгональных собственных веюпоров пра>бразования А. Соответсп>вующие им собственные значения вещественны. Доказательство. Согласно теореме 1 5 10 в (с су>цествует хотя бы Один собственный вектор е, преобразования А. В силу леммы 2 совокушюсть векторов, ортогональных к е„образует (и — 1)-л>ерное инвзриаятное подпространство Й>.
Будел! далее рассматривать наше преобразование А лишь в Р>. В >>г> существует собственный вектор е, (см. замечание к теореме 1 З 10). Совокупность векторов из Я„ортогональных к е., образует (и — 2)-мерное инвариантное подпространство П,. В нем существуег собственный вектор ел н т. д. >>(ы получаем, таким образом, и попарно ортогональных собственных векторов е„г>Р ..., е„. Согласно лемме 1 соответствующие им собственные значения вещественны.
Теорема доказана. Так как произведеяие собственного вектора на любое отличное от нуля число есть снова собственный вектор, то векторы г, можно выбрать так, чтобы их длины равнялись единице. Т е о р е м а 2. Пусть А — самосопрязкгнное преобразование в п-мгрном пространстве. Тогда суи(гствует ортогональный базис, в котором мап>рина преобразования А диагональна и вещественна. Верно таклсе и обратное. Доказательство. Выберем в качестве базиса построенные в теореме 1 попарно ортогональпые собственные векторы е„г„..., е>Р ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОЕРАЗОВАНИЯ ~гл.
и Тогда Ае, = Лге„ Ае, = Л,е„ Ае„= Л„е„, т. е. в этом базисе матрица преобразования А имеет вид Л, О ... 0 0 Л, ... 0 0 0 ... Л„ где все Л; вещественны. Обратно, пусть матрица преобразования А в ортогональном базисе имеет вид (1). В ортогоналыюм нормированном базисе хитрица сопряженного преобразования А* получается из матрицы преобразования А транспоннрованием и заменою каждого элемента комплексно сопряженным (см. 5 11). Проделав эти операции над матрицей вида (1) (где все Л, вещественны), мы получим ту же самую матрицу. Следовательно, преобразованиям А и А' соответствует одна и та же матрица, т. е. А =- А*. Теорема полностью доказана.
Отметим еще следующее свойство собственных векторов самосопряженного преобразованвя: собственные векторы, соответспггядошфе различным собственны.и значениям, взаимно орпюгональны. Действительно, пусть Ае, = Л,г„Ае, = Л,е„)., ='- Л,. Имеем: (Ае„е,) = (е„А*г,) = (е„Ае,), т. е. )п (е„е,) = Л, (е„е,) или (Лг — Лз) (е„е,) = О. Так как Л, Ф Лз, то (е„ее) = О.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что наглядно- геометрический смысл произвольного саз<осопряженного преобразования таков; в пространстве выделяется я попарно оргогональных % ГЭ1 СЛМОСОПияжвиныв <эимитовы1 пиновивэсвання 135 направлений (собсгвенных направлений). Каждому нз этих направлений ставится в соответствие действительное число (собственное значение). По каждому из этих направлений производится растяжение (сжатие) пространства в 1)ч ) раз и, кроме того, зеркальное отражение в плоскости, ортогональной к данному направлению, если соотнетсгвующее ХГ отрицательно. Параллельно с понятием самосопряжеииого преобразования вводится понятие эрмитовой матрицы. Матрица ()аы(~ называется эрмигпоеой, если аг„= — азр Ясно, что для того чтобы преобразование А было самоеопряженным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь ортогональном базисе была эрмнтовой.
У и р аж не вне Возвести матрицу в 28-ю степень. Указание. Прквестн эту матрицу к диагональной форме, затем возвести ее в указанную степень и, наконец, вернуться к прежнему базису. 2. Приведение к главным осям. Одовременное приведение пары квадратичных форм н сумме нвадратоп. Применим полученные в п. 1 результаты к квадратичным формам. Мы знаем, что всякой эргвитовой билинейной форме соответствует самосопряженное линейное преобразование.
Из теоремы 2 этого параграфа вытекает важная Теор е ма 3. Пусть К вЂ” евклидова и-мерное пространсгпво и пусть А (х; у) — эрмитова билинейная форма в )т'. Тоеаа в )т' сущее пвует ортоаональный нормированный базис, в котором соответствующая А(х; у) квадратичная форма записыеаеп1ся в виде суммы квадрапюсс А(х; х)=-~).г151) з, еде )'г еещесгпвенны, а йг — координаты вектора х *). *) В $8 мы доказали, что в оффинном пространстве можно всякую квадратичную (нли, что то же самое, всякую эрмитову билинейную) форму прнвесги к сумме квадратов. Здесь мы для ввклидово пространства доказываем более сильное утверждение, змеино существование нормированного ортогонального Гиэнсо, в котором данная эрмитова форма приводится к сумме квадратов.
гзя 1гл. и ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Доказательство. Если А(х; у) — эрмитова билинейная форма, т. е. А (х; у) = А (у; х), то (см. $ 11) существует такое самосопряженное линейное преобразование А, что Л(х; у)==(Ах. у). Выберем в )т' в качестве векторов ортогонального нормированного базиса систему попарно ортогональных собственных векторов самосопряженного преобразования Л (зто возможно в силу теоремы 1). Тогда Ае, =) ге„Ае,=Л,е„..., Ав„=Х„е„. Пусть х=-$,е,+$,е,+... +$„е„, у=т),е,+т),е,+... +т1„е„, Так как ( ! при г=-К ( О при гчьй, то Л(х; у)— = (Ах, у)= =ЙгЛе, + Б,Ае,+ ... +$„Ае„, т) е, +т1 е,+ ...
+т(„е )= =-(ХД,е,+ХД,е,+... +Х„$„егп т1,е, +т(,е,+ .. +т1„е„)=- =')тттт( +)тттт)т+ . +М.т) ° В частности, Л(х; х) =. (Лх, х) =Х, ($,('+А,($,('+... +Х„(е (', Теорема доказана. Нахождение в евклидовом пространстве ортогонального нормированного базиса„ в котором данная квадратичная форма приводится к сумме квадратов. называется приведением этой формы к главным осям. Теорема 4. В усть К вЂ” агрфинное п-мерное гг ространство и А(х; х) и В(х; х) — две эрмшповы кетдратичнме 4ормш, причем Форма В(х; х) — положительна определенная.
Тогда существует базис, в котором обе эти формы зописыеаюгсся в виде сумлгы квадрггтов. э 12) сАмосОпР51)кБиные 1эРмитовы1 пРБОБРАЗОБАния !37 Воказательство. Введем в В скалярное произведение, положив (х, у) = =В (к; у), где В(к; у) — отвечающая В(х; х) билинейная форма. Зто является законным, так как аксиомы скалярного произведения означают, что (х, у) есть эрьиитова билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме 8 8).
Пространство В станет, таким образом, евклидовым. Согласно теореме 3 в В существует ортогональный *) нормированный базис е„в,, е„, в котором форма Л(х; х) приводится к сумме квадратов, т. е. к виду А (х: х) =). 1 $з ! '+) е) В ! в+ +) ~ В ) в (2) В нормированном ортогональном базисе скалярное произведение имеет вид (х, к) =1ьь)в+)ь",1в+... +15„1', т. е. В(х; х) =1$, [в+) $., ! '+... +13„1' (3) Мы нашли, таким образом, базис, в котором обе квадратичные формы А (х; х) и В(х; х) одновред5еано приводятся к сумме квадратов, что и требовалось.
В теореме 4 показано, что в И существует базис, в котором эрмитовы квадратичные формы А и В имеют вид (2) и (3). Покажем, как найти числа А„ Л„ ..., 7„. В каноническом виде матрицы квадратичных форм Л н В имеют вид О ... О ' 1 О ... О О Х, ... О О 1 ... О А = , В = О О ... Х, О О ... 1 Следовательно, Пе( (А — АВ) =- ()5, — А) ()5, — Х) ... (А.„— Х). (4) При переходе к другому базису матрицы эрмитовых квадратичных форм Л и В переходят в А, = С*АС и *) С5тноснтельно введенного нами скалярного произведении (к, р) = В (к; у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
