И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 23
Текст из файла (страница 23)
лемму 2 2 12). Будем рассматривать преобразования А и В лишь в й,. Согласно лемме 2 в й, существует вектор ею собственный и для А и для В: А ее = ),е„Ве, = р,егс Совокупность векторов нз й„ортогональных к е„ образует (н — 2)-мерное подпространство, инвариантное как относительно Л, так и относительно В, н т. д.
Продолжая этот процесс, мы получим и попарно ортогональных векторов е„е„..., е„, собственных как для А, так и для В: Ае;=ась Вег=рА (г —.1, ..., и). Примем векторы е„е„..., е„за базис в й. Тогда оба преобразования А н В запишутся в диагональной форме. Достаточность условия АВ = ВА доказана.
Необходимость. !1усть в некотором ортогональном базисе матрицы преобразований Л и В диагональны. Любые диагональные матрицы, как это легко проверить, перестановочны между собой. Но если матрицы преобразований в некотором базисе перестановочны, то перестановочны и сами преобразования. Уп ражи ение. Пуси.
Ог и о'я — пересгаиовочиые уиитариые преобразования. Доказать, чго существует базис, в котором они одновременно записываются в диагоиальиой форме. 3 а м е ч а и и е. Теорема ! перепосится иа любое множество попарно пересгаяовочиых самосопряжеииых преобразований. Доказательство повторяется дословно, только вместо леммы 2 еспользу. еяся следующая Л е и и а 2'.
У любого мнслсвстяа попарно пврвстанояонных линвйньж преобразований есть общий собственный вектор. Доказательство будем исти по индукции В одвомериои пространстве (и=1) лемма очевидна. Предположим, что для пространств размерности ( и лемма доказана и докажем ее для и-мерного пространства. линейные преогглзонлния (гл. и Если каждый вектор из И являегса собственным для каждого вз рассмгпрнваемых преобразований*) А, В, С,..., то все доказано. Предполоагнм поэтому, что хотя бы один вектор не является собственным для какого-либо из наших преобразований, например для Л.
Обозначим через Вт совокупность всех собственных векторов преобразования А, отвечающих какому-аибудь собственному значению Х. Согласно лемме П В, инвариантно относительно и, С, ... (н, само собой разумеется, инвариантно относительно А). При атом Вт есп' почпространство, отличное от нулевого и от всего Р и имеющее, следовательно, размсрнос1ь -.л — и Так как по предположению для пространств размерности, меньшей чем л, теорема доказана, то в Вт преобразования А, В, С, ... имеют общий собственный вектор, и лемма доказана.
2. Кормальньге преобразования. В Я 12 и 13 мы ознакомились с двумя классами линейных преобразований, приводимых в некотором нормированном ортогональном базисе к диагональной форме. Сейчас мы выясним, каков общий вид всех таких преобразований. Теорема 2. Для того чтобы сцисзствэвал ортогснальный базис, в котором линейное преобразование А привсдигпся к диагональной б)ормв, необходимо и достаточно, чтобы АА' = А'А. (Такие преобразсвания мы назвали в $ 11 нормальными.) Доказательство. Необходимость.
Пусть в некотором ортогональном нормированном базисе матрица преобразования А диагональна, т. е. имеет вид Х„ О ... О О лч...О О О...Л„ Так как базис ортогональный и нормированный, то матрица преобразования А* имеет вид Х, О ... О О )с,...О О О ...)с„ ') Зто означает, что каждое вз нресбгазований А, и, С, кратно единичному преобрааованию. 4141 пепвстдновочныв линеиные ппеовпдзовдния 147 Иатрипы преобразований А и А* диагональны и, значит, перестановочны между собой.
Следовательно, перестаноаочны и сами преобразования А и А». Достаточность. Пусть А и А* перестановочны. Тогда, согласно лемме 2 этого параграфа, у А и Аа существует общий собственный вектор е„т. е. (п — 1)-мерное подпространство й„состоящее из векторов, эртогопальных к е„инвариантно как относительно А, так и относительно А*. Действительно, пусть х Е )т„ т. е. (х, е,) = О. Тогда (Ах, е,) = (х, А*а,) = (х, )ь,е,) = р, (х, е,) = О, т. е.
АхЕ)с,. Инвариантность )с, относительно А доказана. Аналогично доказывается инвариантность Я, относительно А'. Применяя к )т, ту же лемму 2, получим, что в )т, существует вектор е„собственный одновременно и для А и для Аа. Через )т, обозначим (и — 2)-мерное подпространство, состоящее из векторов подпространства Й„ортогональных к е„и т. д. Продолжая таким образом, мы построим п попарно ортогональных векторов е„е„..., е„, каждый из которых является собственным как для А, так и для А*. Векторы е„е„..., е„образуют ортогональный базис, в котором как А, так и А* приводятся к диагональной форме.
Другое доказательство достаточнести. Положим А А+А' А А — А' 2 ' а 21 Преобразования А, и А,— самосопряженные. Если А и Л" перестановочны, то А, и А, также перестановочны. В силу теоремы 1 настоящего параграфа преобразования А, и Аа могут быть одновременно приведены к диагональной форме. Но тогда и Л =: А, +(А, также записывается в диагональной форме. Если А — самосопряженное преобразование, то АА*= АаА = А', ') Упражненне: доказать, что р,—— ас ыв линввные пнеовплзовдння ггл.
и т. е. А нормально. Нормальным является также всякое унитарное преобразование, так как в этом случае Ы/а= =(/е(/=-Е. 1)оэтому теорема 2 этого параграфа содержит как частный случай результаты ч !2 (п. !) и 5 13. У п р а ж н е н и я. К Локазать, что лобов множество попарно перестаноаочных нормальных преобразований приводится одновременно к диагональной форме. 2. доказать, что всякое нормальное преобразование А может быть записано в виде А=НУ =НН, где Н вЂ” самосопряжеяное преобразование, а // — унитарное, причем Н и Н перестаноеочны. У к а з а н н е: выбрать базис, в котором А н А* приводятся к диагональной форме. 3. Локазатгь что если А= — НИ, где Н н Н перестановочны, Н вЂ” зрмнтово, Н вЂ унитар, то А †нормальн преобразование. й 15.
Разложение линейного преобразования в произведение унитарного и эрмитова Всякое комплексное число можно разложить в произведение положительного числа и числа, по модулю равного единице (так называемая тригонометрическая форма комплексного числа). Мы хотим получить для линейных преобразований аналог такого разложения. /аналогом чисел, по модулю равных единице, являются унитарные линейные преобразования. Аналогом положительных действительных чисел являются так называемые положительно определенные линейные преобразования. Определен не 1. Линейное преобразование Н н зывзется положительно определенным.
если Н самосопрялсенно и (Нх, х)) О для любого х. Т е о р е м а 1. Всякое нееырожденное линейное преобразование А может быть представлено в виде А=Н(/ (либо А=..(/тН,), где Н (соотв. Н,) — невырожденное пололсительно оггределенное, а 1/ (соотв. (/т) — унитарное преобразование. Само доказательство мы проведем несколько позже: сейчас мы выясним, как по А найти соответствуюгцие Н и 1/, если указанное в теореме 1 разложение возможно; это подскажет нам путь для доказательства теоремы. Ф ~з! ьлзложениа линвяного пьеовььзовхння !Л Пусть Л = НН, где Н вЂ” положительно определенное невырожденное преобразование, а У вЂ” унитарное преобразование. Н легко выразить через А; в самом деле, А« = [/*Н« =Н 'Н, откуда АЛ« — На Следовательно, для того чтобы найти Н, нужно «извлечь квадратный коренья из АА*.
Зная А и Н, легко получить и У, полагая У = Н 'А. Доказательству теоремы 1 прецпошлем трн леммы. Л е и м а 1. Каково бы ни было линейное преобразование А, преобразование АА* — пололсительно определенное. Если А не вырождено, то АА* также не вырозкдено. Доказательство. Преобразование АА* положительно определенно. Действительно: (АА*х, х) = (А*х, Л*х) ) О для любого х. Кроме того, (АА*)*=А'«Ль =АА«, т. е.
АА* — самосопряженное преобразование. Если преобразование А не вырожцено, то детерминант матрицы ((а;ь !! преобразования А в любом ортогональном базисе не равен нулю. Детерминант матрицы !!аы)! преобразования А«в том жебазисе является комплексно сопряженным к детерминанту матрицы !!а«ь!! и, следовательно, также не равен нулю. Поэтому в данном случае детерминант матрицы, соответствуюсций преобразованию АА*, не равен нулю, а это означает, что преобразование АА* — невырожденное.
Л е м м а 2. Если  — положительно определенное преобразование, то его собственные значения неотрииательны. Обратно, если все собственные значения самосопряжениого преобразования В кеотрицательны, пю  — положительно определенное преобразование. Доказательство. Пусть В положительно определено и Ве=-Хе. Тогда (Ве, е) =- Х (е, е) итак как (Ве, е)) О и (е, е) ) О, то 1~ ~О. 1БО ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРХЗОБЛНИЯ [ГЛ. 11 Обратно, пусть все собственные значения самосопряженного преобразования В неотрицательны, е„е„..., е„— нормированный ортогональный базис, состоящий из собственных векторов преобразования В.
Пусть к= 5,е, +4,е,+... +$„е„ вЂ” произвольный вектор из й. Тогда (Вх, х)= = (ь ВЕ1+ 5,ВЕ, +... + Ч„ВЕ„, $1Е1+5,Е, +... + $РЕ„)= =($,Л1е,+$,Х,е,+... +$„Х„е„, $,е1+$,,е,+... +$„е„) = = Х,)$,") "+Х,)$',)~+'.'.. +Х„($„)~" (!) и так как все Х1 неотрицательны, то (Вх, х) ~ О. 3 а меча н ие. Из равенства (1) непосредственно видно, что если все Ц положительны, то преобразование В не вырождено и обратно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
