И.М. Гельфанд - Лекции по линейной алгебре (1113352), страница 25
Текст из файла (страница 25)
такой, что Аег=)чег). В этол1 базисе ыы имеем: А (х; у) ==- (Ах, у) = =(А (Ц,Е,+В,Е,+... +Ь.гл), 1),Е,+т1„Е,+... +Ч.Е„)= = (ХД,е, + ХД,е, +... + ХД,,еа, Ч,е, + т1,е, +... + Т1„е,) = — Х,~ Ч,+М,Ч,+ +).$.1).. Полагая у =х, получаем следующую теорелгу: Тео р ем а 3. Пусть А (х; х) — квадрапшчная форма в и-мерном евклидовом проспгранстве.
Тогда существует ортогональный нормированный базис, в котором эта квидрапшчная форма имеет итд: А (х; х) = ~Р ~г.Д . Так как Х„Х„, ..., )л являются собственными значениями А, то они™могут быть найдены из характеристического УРавнениЯ ыатРицы 11а;з'11 Для случая трехмерного пространства доказанная здесь теорема рассматривается в аналитической геометрии.
Лействительно, в этом случае уравнение А 1х; х)=-1 есть уравнение центральной поверхности второго порядка. Ортогональный нормированный базис, о котором идет речь в теореме 3, есть в этом случае система координат, в которой поверхносп имеет канонический вид, а векторы е„ ем ез являются направлениями главвых осей поверхноств второго порядка.
4. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. Теорема 4. Пуспть в и-мерном прострпнспие гс заданы две квадрлтичные формы А (х; х) и В(х; х), причем форма О' (х; х) по.толгигпельно определенная. Тогда в Я ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл. и суи(ествует базис, в котором обе зти квадратичные формы загсисся.тотся в виде сулсмы квадратов. До к а з а т е л ь ст во. Пусть В (х; у) — билинейная форма, соответствующая квадратичной форме В (х; х). Определим в )г' скалярное произведение формулой (х, у) = В (х; у). Согласно предыдущей теореме в Я существует нормированный ортогональный*) базис е„е„, ..., е„в котором форма Л (х; х) приводится к сумме квадратов, т. е. Л(х; х) = ~з~ХсД.
(7) с=с Скалярный квадрат в нормированном ортогональном базисе имеет вид: л (х, х) =В(х; х) = ~', 5с. ся) с=г Итак, в базисе е„е„..., е, обе квадратичные формы записываются в виде суммы квадратов. Теорема доказана. 5. Ортогоиальные преобразования. О и р еде ли н не. С7инейное ;"преобразование А веисрственного и-мерного евклидова пространства называется ортогональным преобразованием, если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т.
е. (Ах, Ау)=.(х, у) (9) для всех х, уЕЙ. Полагая в равенстве (9) х=-у, получаем )Ах )а =)х )а, ((О) т. е. ортогональное преобразование сохраняет длины векспоров. У п р а ск н е н и е. Доказать, что условие (10) является достаточным условием ортогональности линейного преобразования.
Так как (х, р) созср= „' и так как и числитель, и знаменатель в этом выражении не меняются при ортогональнсм преобразовании, то ор- *) Б сммсле определенного нами и Сг скалярного произведения. в 161 пРВОВРлзОВлння В вещественном пРОстРАнстВе 159 тогональное преобразование сохраняет углы между век- торами. Пусть е„ е„ ..., е„ вЂ” ортогональиый нормированный базис. Так как преобразование А сохракяет углы между Векторами и их длины, то векторы Ае„ Ае„ ..., Ае„ также образуют ортогональный нормированный базис, т. е. ( 1 при (=й, (Леь Леь) = ~ (11) !( О прн 1~й. Пусть теперь 1(апа(! — Матрнца преобразования в орто- гональном нормированном базисе е„ е„ ..., е„. Так как столбцы этой матрицы являются координатами векторов Аеь то условие (11) записывается следующим образом: ( 1 при (=й, ) О прн 14=у. Ун ражи енне.
Показать, что условии (11), а следовательно, н условия (12), являются достаточными условиями ортогональностн яреобрааовання. Условия (12) можно записать в матричной форме. а Действительно, ~'., а,иа,ь суть элементы произведения а=! матрицы на ее транспонированную. Поэтому условия (12) означают, что произведение матрицы на ее транспониро- ванную есть единичная матраца. Так как определитель произведения матриц равен произведению их определи- телей, то мы получаем также, что квадрат определителя матрицы ортогонального преобразования равен единице, т. е. что определитель матрицы ортогонального преобра- зования равен ~1. Ортогональные преобразования, определитель которых равен +1, называются собственнылш, а те, определитель которых равен — 1, называются несобственными.
Докажем следующее существенное свойство ортого- нальных преобразований. Лемма. Если К,— подпространстю просгпранства )с, инвариантное относительно ортогонального линейного пре- образования Л, то его орпюгональное дополнение Кю т. е. совокупность всех векторов у, ортогональных к каждому хЕ )с, (см. упражнение на стр. 4б), такжеесть инвариант- ное подпрсст анслмо. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ 1гл. и Доказательство, Пусть у~)т'„т. е. (х, у)=0 для всякого хб)т'г. Покажем, что при этом (х, Ау)=0 для всякого хай,. Так как преобразование А ортогонально, то оно невырождено и его образ на любом ннвариантногл подпространстве совпадает с згим подпространством.
Поэтому всякое х Е )г, представимо в виде х=АЕ, где г~йг. Отсюда (х, Ау)=-(АЕ, А(у) =-(г, у) =О, т. е. Арба,. Лемма доказана. У п р а ж н е н и е. Доказать, что произведение двух собственных или двух несобственных ортогональных преобразований есть собственное ортогональное преобразование, а произвеленне собственного иа несобственное есть несобственное ортогональное преобразэзание. 3 а м е ч а н и е. Разделение ортогональных преобразований иа собственные и несобственные связано с тем, что ортогональное преобразование, которое можно получить непрерывным переходом ог единичного преобразования, обязательно собственно.
Действительно, пусть Аг — ортоговалыюе преобразование, непрерывно зависящее от параметра Г (это значит, что элементы матрицы этого преобразования в каком-либо базисе непрерывно зависят от 0. причем Аэ=-Е. Тогда определитель этого преобразования есть такьке непрерывная функция от 1. Так как непрерывная функция, принимающая лишь значения ~-1, должна быль постоянной, а при 1=0 опрелелитель преобразования А, равен 1, то и при Г Ф О определитель преобразования Яг равен 1. Используя теорему 5 этого параграфа, можно показать и обратное, а именно, что всякое собственное ортогональное преобразование может быль получено непрерывным изменением из единичного, Изучиьг ортогональные преобразования в однолгериом и двумерном пространствах.
Ниже мы увидим, что изучение ортогональных преобразований в пространстве любого числа измерений сводится к этим простейшим случаям. Пусть е — вектор, порождающий одномерное пространство, в которолг задано ортогональное преобразование А. Тогда Ае= Ае и так как в силу ортогональности (Ае, Аг)= =(е, е), то ),з(е, е) =(е, е), т. е. Х= ~1. Таким образом, в одномерном пространстве есть лишь два ортогональных преобразования: преобразование Ахп —.: х и преобразование Ах= =— х; первое из них собственное, а второе — несобственное.
Рассмотрим ортогональные преобразования в двумерном пространстве К. Пусть е„е, — артогональный нормированный базис в )г. Пусть далее преобразование А %1б1 ПРЕОБРАЗОВЛНИЯ В ВЕЩЕСТВЕННОМ пРОСТРЛНСтвв 161 (14) в згом базисе задается матрицей (13) Разберем сначала случай собственного ортогонального преобразования, т.
е. положим аб — 1)у=1. Условие ортогональности преобразования означает, что произведение матрицы (!3) на ее транспонированную есть единичная матрица, т. е. что (;(Г=( ) Так как определитель матрицы (13) равен единице, то (:~)'=(-', ) Из (14) и (15) следует. что матрица преобразования А в этом случае имеет вид где а*+()А = 1. Полагая а= созе, р=51п~р, получаем что всякое собственное ортогональное преобразование в двумерном пространстве имеет в ортогональном нормированном баэнсе матрицу вида С05 Я) — 5!П Ц3'~ 51п ~р соз ~р / (поворот в плоскости на угол ~р).
Пусть теперь А †несобственн преобразование, т. е. иб — ру = — 1. В этом случае характеристическое уравнение матрицы (13) имеет вид )А — (я+5)).— 1 и, следовательно, имеет вешественные корни. Значит, у преобразования А имеется собственный вектор е, Ае=- Ае. Из ортогональностн преобразования следует, что Ае = ~ е. Но ортогональное преобразование не меняет углов между векторами и их длин. Значит, ортогональный е вектор е, переходит после преобразования в вектор, ортогональный Ае=~в, т. е. в ~ем Итак, в базисе е, е, матрица |аг ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [гл. м преобразования А имеет вид о ~1)' Так как определитель матрицв~ несобственного преобразования равен — 1, то возможны лишь следующие канонические виды лоатрицы несобственного ортогона,тьного преобразования в двумерном пространстве о — ~)' ( о -~1)' (Зеркальные отражения относительно одной из осей.) Найдем теперь простейший вид матрицы ортогонального преобразования для случая пространства любого числа изл1ерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
